Поиск аппроксимации паде для символьных выражений

Найдите аппроксимацию sin(x). По умолчанию, pade возвращает аппроксимацию Паде третьего порядка.

syms x
pade(sin(x))

ans =
-(x*(7*x^2 - 60))/(3*(x^2 + 20))

Задайте переменную расширения

Если вы не задаете переменную расширения, symvar выбирает его. Найдите аппроксимацию sin(x) + cos(y). symvar функция выбирает x как переменная расширения.

syms x y
pade(sin(x) + cos(y))

ans =
(- 7*x^3 + 3*cos(y)*x^2 + 60*x + 60*cos(y))/(3*(x^2 + 20))

Задайте переменную расширения следующим y. pade функция возвращает аппроксимацию Паде относительно y.

pade(sin(x) + cos(y),y)

ans =
(12*sin(x) + y^2*sin(x) - 5*y^2 + 12)/(y^2 + 12)

Приблизительное значение функции в конкретной точке

Найдите значение tan(3*pi/4). Использовать pade чтобы найти аппроксимацию Padé для tan(x) и заменить его с помощью subs для поиска tan(3*pi/4).

syms x
f = tan(x);
P = pade(f);
y = subs(P,x,3*pi/4)

y =
(pi*((9*pi^2)/16 - 15))/(4*((9*pi^2)/8 - 5))

Использовать vpa в преобразование y в числовое значение.

vpa(y)

ans =
-1.2158518789569086447244881326842

Увеличение точности аппроксимации Паде

Можно увеличить точность аппроксимации Паде, увеличив порядок. Если точкой расширения является полюс или нуль, точность также может быть увеличена путем установки OrderMode на relative. The OrderMode опция не влияет, если точка расширения не является полюсом или нулями.

Найдите аппроксимацию tan(x) использование pade с точкой расширения 0 и Order от [1 1]. Найдите значение tan(1/5) путем подстановки в аппроксимацию Паде с помощью subs, и использовать vpa в преобразование 1/5 в числовое значение.

syms x
p11 = pade(tan(x),x,0,'Order',[1 1])
p11 = subs(p11,x,vpa(1/5))

p11 =
x
p11 =
0.2

Найдите приближение ошибку путем вычитания p11 от фактического значения tan(1/5).

y = tan(vpa(1/5));
error = y - p11

error =
0.0027100355086724833213582716475345

Увеличьте точность аппроксимации Паде путем увеличения порядка использования Order. Задайте Order на [2 2], и найти ошибку.

p22 = pade(tan(x),x,0,'Order',[2 2])
p22 = subs(p22,x,vpa(1/5));
error = y - p22

p22 =
-(3*x)/(x^2 - 3)
error =
0.0000073328059697806186555689448317799

Точность увеличивается с увеличением порядка.

Если точкой расширения является полюс или нуль, точность аппроксимации Паде уменьшается. Установка OrderMode опция для relative компенсирует снижение точности. Для получения дополнительной информации смотрите Паде Аппроксимация. Потому что tan функция имеет нуль в 0, установка OrderMode на relative повышает точность. Эта опция не влияет, если точка расширения не является полюсом или нулями.

p22Rel = pade(tan(x),x,0,'Order',[2 2],'OrderMode','relative')
p22Rel = subs(p22Rel,x,vpa(1/5));
error = y - p22Rel

p22Rel =
(x*(x^2 - 15))/(3*(2*x^2 - 5))
error =
0.0000000084084014806113311713765317725998

Точность увеличивается, если точка расширения является шестом или нули и OrderMode установлено в relative.

Точность графика аппроксимации Паде

Постройте график различия между exp(x) и его паде-аппроксимации порядков [1 1] через [4 4]. Использование axis сосредоточиться на необходимой области. График показывает, что точность увеличивается с увеличением порядка аппроксимации Паде.

syms x
expr = exp(x);

hold on
grid on

for i = 1:4
    fplot(expr - pade(expr,'Order',i))
end

axis([-4 4 -4 4])
legend('Order [1,1]','Order [2,2]','Order [3,3]','Order [4,4]',...
                                            'Location','Best')
title('Difference Between exp(x) and its Pade Approximant')
ylabel('Error')