Поиск расширения серии Puiseux

Найдите расширения серии Puiseux одномерных и многомерных выражений.

Найдите расширение ряда Puiseux этого выражения в точке x = 0.

syms x
series(1/sin(x), x)

ans =
x/6 + 1/x + (7*x^3)/360

Найдите расширение ряда Puiseux этого многомерного выражения. Если вы не задаете переменную расширения, series использует переменную по умолчанию, определяемую как symvar(f,1).

syms s t
f = sin(s)/sin(t);
symvar(f, 1)
series(f)

ans =
t
 
ans =
sin(s)/t + (7*t^3*sin(s))/360 + (t*sin(s))/6

Чтобы использовать другую переменную расширения, задайте ее явным образом.

syms s t
f = sin(s)/sin(t);
series(f, s)

ans =
s^5/(120*sin(t)) - s^3/(6*sin(t)) + s/sin(t)

Задайте точку расширения

Найдите расширение серии Puiseux psi(x) вокруг x = Inf. Точка расширения по умолчанию 0. Чтобы задать другую точку расширения, используйте ExpansionPoint Пара "имя-значение".

series(psi(x), x, 'ExpansionPoint', Inf)

ans =
log(x) - 1/(2*x) - 1/(12*x^2) + 1/(120*x^4)

Кроме того, укажите точку расширения как третий аргумент series.

syms x
series(psi(x), x, Inf)

ans =
log(x) - 1/(2*x) - 1/(12*x^2) + 1/(120*x^4)

Построение приближения ряда Puiseux

Найдите расширение серии Puiseux exp(x)/x использование различных порядков усечения.

Найдите последовательное расширение до порядка усечения по умолчанию 6.

syms x
f = exp(x)/x;
s6 = series(f, x)

s6 = 
$$\frac{x}{2}+\frac{1}{x}+\frac{x^2}{6}+\frac{x^3}{24}+\frac{x^4}{120}+1$$

Использование Order для управления порядком усечения. Например, аппроксимируйте одно и то же выражение до порядков 7 и 8.

s7 = series(f, x, 'Order', 7)

s7 = 
$$\frac{x}{2}+\frac{1}{x}+\frac{x^2}{6}+\frac{x^3}{24}+\frac{x^4}{120}+\frac{x^5}{720}+1$$

s8 = series(f, x, 'Order', 8)

s8 = 
$$\frac{x}{2}+\frac{1}{x}+\frac{x^2}{6}+\frac{x^3}{24}+\frac{x^4}{120}+\frac{x^5}{720}+\frac{x^6}{5040}+1$$

Постройте график исходного выражения f и его приближения s6, s7, и s8. Обратите внимание, как точность приближения зависит от порядка усечения.

fplot([s6 s7 s8 f])
legend('approximation up to O(x^6)','approximation up to O(x^7)',...
            'approximation up to O(x^8)','exp(x)/x','Location', 'Best')
title('Puiseux Series Expansion')

Задайте направление расширения

Нахождение приближений ряда Puiseux с помощью Direction аргумент. Этот аргумент позволяет вам изменить область сходимости, которая является областью, где series пытается найти сходящееся расширение ряда Puiseux, аппроксимирующее исходное выражение.

Найдите приближение ряда Puiseux этого выражения. По умолчанию, series находит приближение, которая действительна в небольшом разомкнутом круге в комплексной плоскости вокруг точки расширения.

syms x
series(sin(sqrt(-x)), x)

ans =
(-x)^(1/2) - (-x)^(3/2)/6 + (-x)^(5/2)/120

Найдите приближение ряда Puiseux того же выражения, что и в небольшом интервале слева от точки расширения. Затем найдите приближение, которая действительна в небольшом интервале справа от точки расширения.

syms x
series(sin(sqrt(-x)), x)
series(sin(sqrt(-x)), x, 'Direction', 'left')
series(sin(sqrt(-x)), x, 'Direction', 'right')

ans =
(-x)^(1/2) - (-x)^(3/2)/6 + (-x)^(5/2)/120
 
ans =
- x^(1/2)*1i - (x^(3/2)*1i)/6 - (x^(5/2)*1i)/120
 
ans =
x^(1/2)*1i + (x^(3/2)*1i)/6 + (x^(5/2)*1i)/120

Попробуйте вычислить приближение ряда Puiseux этого выражения. По умолчанию, series пытается найти приближение, которая действительна в комплексной плоскости вокруг точки расширения. Для этого выражения такого приближения не существует.

series(real(sin(x)), x)

Error using sym/series>scalarSeries (line 90)
Unable to compute series expansion.

Однако приближение существует вдоль действительной оси с обеих сторон x = 0.

series(real(sin(x)), x, 'Direction', 'realAxis')

ans =
x^5/120 - x^3/6 + x