Вычислите Дигамму и Полигамму для числовых входов

Вычислите функции дигаммы и полигаммы для этих чисел. Поскольку эти числа не являются символическими объектами, вы получаете результаты с плавающей точкой.

[psi(1/2) psi(2, 1/2) psi(1.34) psi(1, sin(pi/3))]

ans =
   -1.9635  -16.8288   -0.1248    2.0372

Вычислите Дигамму и Полигамму для Символьных Входов

Вычислите функции дигаммы и полигаммы для чисел, преобразованных в символические объекты.

[psi(sym(1/2)), psi(1, sym(1/2)), psi(sym(1/4))]

ans =
[ - eulergamma - 2*log(2), pi^2/2, - eulergamma - pi/2 - 3*log(2)]

Для некоторых символических (точных) чисел psi возвращает неразрешенные символические вызовы.

psi(sym(sqrt(2)))

ans =
psi(2^(1/2))

Вычисление производных функций Digamma и Polygamma

Вычислите производные этих выражений, содержащих функции дигаммы и полигаммы.

syms x
diff(psi(1, x^3 + 1), x)
diff(psi(sin(x)), x)

ans =
3*x^2*psi(2, x^3 + 1)
 
ans =
cos(x)*psi(1, sin(x))

Развертывание функций Digamma и Polygamma

Разверните выражения, содержащие дигамма-функции.

syms x
expand(psi(2*x + 3))
expand(psi(x + 2)*psi(x))

ans =
psi(x + 1/2)/2 + log(2) + psi(x)/2 +...
1/(2*x + 1) + 1/(2*x + 2) + 1/(2*x)
 
ans =
psi(x)/x + psi(x)^2 + psi(x)/(x + 1)

Предел функций дигаммы и полигаммы

Вычислите пределы для выражений, содержащих функции дигаммы и полигаммы.

syms x
limit(x*psi(x), x, 0)
limit(psi(3, x), x, inf)

ans =
-1
 
ans =
0

Вычислите Дигамму для матричного входа

Вычислите дигамма-функцию для элементов матричных M и векторные V.

M = sym([0 inf; 1/3 1/2]);
V = sym([1, inf]);
psi(M)
psi(V)

ans =
[                                          Inf,                     Inf]
[ - eulergamma - (3*log(3))/2 - (pi*3^(1/2))/6, - eulergamma - 2*log(2)]

ans =
[ -eulergamma, Inf]

Вычисление полигаммы для матричного входа

Вычислите полигамма-функцию для элементов матричных M и векторные V. psi функция действует элементарно на нескалярных входах.

M = sym([0 inf; 1/3 1/2]);
polyGammaM = [1 3; 2 2];
V = sym([1, inf]);
polyGammaV = [6 6];
psi(polyGammaM,M)
psi(polyGammaV,V)

ans =
[                               Inf,           0]
[ - 26*zeta(3) - (4*3^(1/2)*pi^3)/9, -14*zeta(3)]
 
ans =
[ -720*zeta(7), 0]

Потому что все элементы polyGammaV иметь то же значение, можно заменить polyGammaV скаляром этого значения. psi расширяет скаляр в нескаляр того же размера, что и V и вычисляет результат.

V = sym([1, inf]);
psi(6,V)

ans =
[ -720*zeta(7), 0]