Упростите систему из пяти дифференциальных алгебраических уравнений (ДАУ) в четырех переменных состояния к системе из двух уравнений в двух переменных состояния.

Создайте следующую систему из пяти ДАУ в четырех переменных состояния x1(t), x2(t), x3(t), и x4(t). Система также содержит символические параметры a1, a2, a3, a4, b, c, и функции f(t) которые не являются переменными состояния.

syms x1(t) x2(t) x3(t) x4(t) a1 a2 a3 a4 b c f(t)
eqs = [a1*diff(x1(t),t)+a2*diff(x2(t),t) == b*x4(t),
       a3*diff(x2(t),t)+a4*diff(x3(t),t) == c*x4(t),
       x1(t) == 2*x2(t),
       x4(t) == f(t),
       f(t) == sin(t)];
vars = [x1(t),x2(t),x3(t),x4(t)];

Использование reduceRedundancies для исключения избыточных уравнений и соответствующих переменных состояния.

[newEqs,newVars] = reduceRedundancies(eqs,vars)

newEqs = 
$$\left(\begin{array}{c}{a}_1\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }{x}_1\left(t\right)+\frac{a_2\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }{x}_1\left(t\right)}{2}-b\hspace{0.17em}f\left(t\right)\\ \frac{a_3\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }{x}_1\left(t\right)}{2}+a_4\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }{x}_3\left(t\right)-c\hspace{0.17em}f\left(t\right)\end{array}\right)$$

newVars = 
$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\left(t\right)\\ x_3\left(t\right)\end{array}\right)$$

Задайте вход переменных состояния, чтобы выбрать, какие переменные возвращаются при исключении ДАУ.

Создайте систему из четырех ДАУ в четырех переменных состояния V_ac(t), V1(t), V2(t), и I(t). Система также содержит символические параметры L, R, и V0.

syms V_ac(t) V1(t) V2(t) I(t) L R V0
eqs = [V_ac(t) == V1(t) + V2(t),
       V1(t) == I(t)*R,
       V2(t) == L*diff(I(t),t),
       V_ac(t) == V0*cos(t)]

eqs = 
$$\left(\begin{array}{c}{V}_{\mathrm{ac}}\left(t\right)=V_1\left(t\right)+V_2\left(t\right)\\ V_1\left(t\right)=R\hspace{0.17em}\text{I}\left(t\right)\\ V_2\left(t\right)=L\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }\text{I}\left(t\right)\\ V_{\mathrm{ac}}\left(t\right)=V_0\hspace{0.17em}\cos \left(t\right)\end{array}\right)$$

vars = [V_ac(t),I(t),V1(t),V2(t)]

vars = $$\left(\begin{array}{cccc}{V}_{\mathrm{ac}}\left(t\right)& \text{I}\left(t\right)& V_1\left(t\right)& V_2\left(t\right)\end{array}\right)$$

Использование reduceRedundancies для исключения избыточных уравнений и переменных. reduceRedundancies определяет приоритеты, чтобы сохранить переменные состояния в векторе vars начиная с первого элемента.

[newEqs,newVars] = reduceRedundancies(eqs,vars)

newEqs = 
$$-L\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }\text{I}\left(t\right)-R\hspace{0.17em}\text{I}\left(t\right)+V_0\hspace{0.17em}\cos \left(t\right)$$

newVars = $$\text{I}\left(t\right)$$

Здесь, reduceRedundancies возвращает уменьшенное уравнение в термине переменной I(t).

Когда существует несколько способов сокращения ДАУ, задайте другой входной порядок переменных состояния, чтобы выбрать, какие переменные возвращаются. Задайте другой вектор, который содержит другой порядок переменных состояния. Снова удалите ДАУ.

vars2 = [V_ac(t),V1(t),V2(t),I(t)]

vars2 = $$\left(\begin{array}{cccc}{V}_{\mathrm{ac}}\left(t\right)& V_1\left(t\right)& V_2\left(t\right)& \text{I}\left(t\right)\end{array}\right)$$

[newEqs,newVars] = reduceRedundancies(eqs,vars2)

newEqs = 
$$-\frac{L\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }{V}_1\left(t\right)+R\hspace{0.17em}{V}_1\left(t\right)-R\hspace{0.17em}{V}_0\hspace{0.17em}\cos \left(t\right)}{R}$$

newVars = $$V_1\left(t\right)$$

Здесь, reduceRedundancies возвращает уменьшенное уравнение в терминах переменной состояния V1(t).

Объявить три выходных аргументов при вызове reduceRedundancies для упрощения системы уравнений и возврата информации об исключённых уравнениях.

Создайте следующую систему из пяти дифференциальных алгебраических уравнений (ДАУ) в четырех переменных состояния x1(t), x2(t), x3(t), и x4(t). Система также содержит символические параметры a1, a2, a3, a4, b, c, и функции f(t) которые не являются переменными состояния.

syms x1(t) x2(t) x3(t) x4(t) a1 a2 a3 a4 b c f(t)
eqs = [a1*diff(x1(t),t)+a2*diff(x2(t),t) == b*x4(t),
       a3*diff(x2(t),t)+a4*diff(x3(t),t) == c*x4(t),
       x1(t) == 2*x2(t),
       x4(t) == f(t),
       f(t) == sin(t)];
vars = [x1(t),x2(t),x3(t),x4(t)];

Функции reduceRedundancies с тремя выходными аргументами.

[newEqs,newVars,R] = reduceRedundancies(eqs,vars)

newEqs = 
$$\left(\begin{array}{c}{a}_1\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }{x}_1\left(t\right)+\frac{a_2\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }{x}_1\left(t\right)}{2}-b\hspace{0.17em}f\left(t\right)\\ \frac{a_3\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }{x}_1\left(t\right)}{2}+a_4\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }{x}_3\left(t\right)-c\hspace{0.17em}f\left(t\right)\end{array}\right)$$

newVars = 
$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\left(t\right)\\ x_3\left(t\right)\end{array}\right)$$

R = struct with fields:
      solvedEquations: [2x1 sym]
    constantVariables: [1x2 sym]
    replacedVariables: [1x2 sym]
       otherEquations: [1x1 sym]

Функция reduceRedundancies возвращает информацию об устраненных уравнениях в R. Здесь, R - массив структур с четырьмя полями.

The solvedEquations поле содержит уравнения, которые устраняются reduceRedundancies. Исключенные уравнения содержат эти переменные состояния из vars которые не появляются в newEqs. Правая сторона каждого исключенного уравнения равна нулю.

R1 = R.solvedEquations

R1 = 
$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\left(t\right)-2\hspace{0.17em}{x}_2\left(t\right)\\ x_4\left(t\right)-f\left(t\right)\end{array}\right)$$

The constantVariables поле содержит матрицу с двумя столбцами. Первый столбец содержит переменные состояния от vars что reduceRedundancies заменяется постоянными значениями. Второй столбец содержит соответствующие постоянные значения.

R2 = R.constantVariables

R2 = $$\left(\begin{array}{cc}{x}_4\left(t\right)& f\left(t\right)\end{array}\right)$$

The replacedVariables поле содержит матрицу с двумя столбцами. Первый столбец содержит переменные состояния от vars что reduceRedundancies заменяется выражениями в терминах других переменных. Второй столбец содержит соответствующие значения исключенных переменных.

R3 = R.replacedVariables

R3 = 
$$\left(\begin{array}{cc}{x}_2\left(t\right)& \frac{x_1\left(t\right)}{2}\end{array}\right)$$

The otherEquations поле содержит эти уравнения из eqs которые не содержат ни одних переменных состояния vars.

R4 = R.otherEquations

R4 = $$f\left(t\right)-\sin \left(t\right)$$