Синхронизация вейвлетов

Что такое Синхронизация Вейвлет?

Вейвлет преобразование является методом частотно-временного анализа, который полезен для анализа многокомпонентных сигналов с колеблющимися режимами. Примеры сигналов с колеблющимися режимами включают формы речевых сигналов, вибрации машины и физиологические сигналы. Многие из этих реальных сигналов с колеблющимися режимами могут быть записаны как сумма амплитудно-модулированных и частотно-модулированных компонентов. Общее выражение для этих типов сигналов с суммированными компонентами является

$\sum_{k = 1}^{K} A_{k} (t) \cos (2 π ϕ_{k} (t)),$

где $A_{k} (t)$ - медленно изменяющаяся амплитуда и $ϕ_{k} (t)$ - мгновенная фаза. Усеченный ряд Фурье, где амплитуда и частота не изменяются со временем, является частным случаем этих сигналов.

Вейвлет и другие методы линейного частотно-временного анализа разлагают эти сигналы на их компоненты путем корреляции сигнала со словарем атомов временных частот [1]. Вейвлет-преобразование использует переведенные и масштабированные версии материнского вейвлета в качестве его атома временной частоты. Некоторое частотно-временное расширение связано со всеми этими частотно-временными атомами, что влияет на резкость анализа сигнала.

Вейвлет преобразование является частотно-временным методом, который переопределяет энергию сигнала по частоте. Это переназначение компенсирует эффекты расширения, вызванные материнским вейвлетом. В отличие от других методов частотно-временного переназначения, синхронизация переопределяет энергию только в частотном направлении, что сохраняет временное разрешение сигнала. Путем сохранения времени алгоритм обратной синхронизации может восстановить точное представление исходного сигнала. Чтобы использовать синхронизацию, каждый термин в выражении сигнала суммированных компонентов должен быть функцией типа внутреннего режима (IMT). Для получения дополнительной информации о критериях, составляющих IMT, см. [2].

Алгоритм

Алгоритм синхронизации использует эти шаги.

Получите CWT входного сигнала. Для использования с синхронизацией, CWT должен использовать аналитический вейвлет, чтобы захватить мгновенную информацию о частоте.
Извлеките мгновенные частоты из выхода CWT, $W_{f}$ , с использованием фазового преобразования, $ω_{f}$ . Это фазовое преобразование пропорционально первой производной CWT относительно трансляции, u. В этом определении преобразования фазы s является шкалой.

$ω_{f} (s, u) = \frac{\partial t W_{f} (s, u)}{2 π i W_{f} (s, u)} .$
Шкалы заданы как $s = \frac{f_{χ}}{f}$ , где $f_{χ}$ - пиковая частота, и f - частота.
Чтобы извлечь мгновенную частоту, рассмотрим простую синусоиду, $e^{i 2 π f_{0} t}$ .
1. Получите вейвлет,
  
  $W_{f} (e^{i 2 π f_{0} t}) = e^{i 2 π f_{0} u},$
  где $\hat{χ} (s f_{0})$ - преобразование Фурье вейвлета при _sf0.
2. Возьмем частную производную предыдущего уравнения относительно перевода, u:
  
  $\frac{\partial}{\partial u} W_{f} (e^{i 2 π f_{0} t}) = i 2 π f_{0} \hat{χ} (f_{χ}) e^{i 2 π f_{0} u}$
3. Разделите частную производную на вейвлет и $i 2 π$ для получения мгновенной частоты, _f0.
«Сжать» CWT над областями, где преобразование фазы является постоянным. Получившееся значение мгновенной частоты переопределяется на одно значение в центроиде частотно-временной области CWT. Это переназначение приводит к обострению выхода от синхронизированного преобразования при сравнении с CWT.

Как описано, синхронизация использует непрерывное вейвлет (CWT) и его первую производную относительно трансляции. CWT является инвертируемым, и поскольку синхронизированное преобразование наследует свойство инвертируемости CWT, сигнал может быть восстановлен.

Необходимое разделение компонентов

При синхронизации компоненты сигнала должны быть IMT, которые хорошо разделены в частотно-временной плоскости. Если это требование выполнено, можно отследить траекторию мгновенных частот вдоль кривой. Кривые показывают положение максимальной энергии, так как она изменяется со временем для каждого режима сигнала. Посмотрите wsstridge для описания алгоритма траектории кривых.

Это неравенство определяет необходимые критерии разделения:

$| ϕ_{k}^{'} (t) - ϕ_{k - 1}^{'} (t) | \geq \frac{1}{4} | ϕ_{k}^{'} (t) + ϕ_{k - 1}^{'} (t) |$

где $ϕ^{'}$ - мгновенная частота, и d является положительной константой разделения [2]. Чтобы определить это необходимое разделение, предположим, что bump wavelet, x, имеет преобразование Фурье с поддержкой в области значений $[ε_{x} - Δ, ε_{x} + Δ]$ . Потому что вейвлет имеет центральную частоту $\frac{5}{2 π}$ Гц, использование $[\frac{5}{2} π - \frac{1}{2}, \frac{5}{2} π + \frac{1}{2}]$ как интервал. Затем решите $Δ < ε_{x} \frac{d}{1 + d}$ для d, чтобы получить $d > \frac{1}{4}$ для bump вейвлет.

Чтобы показать это требование разделения для вейвлет, рассмотрите сигнал, состоящий из $\cos (2 π (0.1 t)) + \sin ((2 π (0.2 t))$ . Используя вейвлет для получения CWT, мгновенная фаза косинуса является $ϕ_{1} (t) = 0.1 t$ , и мгновенная частота является первой производной, 0,1. Аналогично, для синусоидального компонента мгновенная частота составляет 0,2. Неравенство разделения, $| 0.1 | \geq \frac{1}{4} | 0.3 |$ , верно. Поэтому два компонентов сигнала являются функциями IMT и разделены достаточно, чтобы использовать синхронизированное преобразование.

Если вы используете более высокие частоты, такие как 0,3 и 0,4 для мгновенных частот, неравенство является $| 0.1 | \geq \frac{1}{4} | 0.7 |$ , что не соответствует действительности. Поскольку эти компоненты сигнала не являются хорошо разделенными IMTs, сигнал, $\cos (2 π (0.3 t)) + \sin ((2 π (0.4 t))$ , не подходит для использования с синхронизированным преобразованием.

Примеры

CWT по сравнению с синхросканированным мазком преобразования

Открыть Live Script

Сравнение CWT с синхронизированным преобразованием квадратичного щебета показывает уменьшение мазка энергии для результата синхронизированного преобразования.

load quadchirp;
Fs = 1000;
[wt,f] = cwt(quadchirp,'bump',Fs);
subplot(2,1,1)
hp = pcolor(tquad,f,abs(wt));
hp.EdgeColor = 'none';
xlabel('Time (secs)')
ylabel('Frequency (Hz)')
title('CWT of Quadratic Chirp')
subplot(2,1,2)
wsst(quadchirp,Fs,'bump')

Figure contains 2 axes. Axes 1 with title CWT of Quadratic Chirp contains an object of type surface. Axes 2 with title Wavelet Synchrosqueezed Transform contains an object of type surface.

Низкочастотное и высокочастотное разделение компонентов

Открыть Live Script

Этот пример показывает разделение, необходимое между компонентами сигнала, чтобы получить полезные результаты синхронизируемого преобразования. Компоненты сигнала составляют 0,025, 0,05, 0,20 и 0,225 циклов на выборку. Высокочастотные компоненты, 0,20 и 0,225, не имеют достаточного разделения, поэтому вы не можете выразить весь сигнал как сумму хорошо разделенных IMT.

Определите сигнал и постройте график синхронизируемых компонентов.

t = 0:2000;
x1 = cos(2*pi*.025*t);
x2 = cos(2*pi*.05*t);
x3 = cos(2*pi*.20*t);
x4 = cos(2*pi*.225*t);
x =x1+x2+x3+x4;
[sst,f] = wsst(x);
contour(t,f,abs(sst))
xlabel('Time')
ylabel('Normalized Frequency')
title('Inadequate High-Frequency Separation')

Figure contains an axes. The axes with title Inadequate High-Frequency Separation contains an object of type contour.

Увеличьте разделение высокочастотных компонентов, а затем снова постройте график синхронизируемых компонентов.

x4 = cos(2*pi*.3*t);
x =x1+x2+x3+x4;
[sst,f] = wsst(x);
figure
contour(t,f,abs(sst))
xlabel('Time')
ylabel('Normalized Frequency')
title('Adequate High-Frequency Separation')

Figure contains an axes. The axes with title Adequate High-Frequency Separation contains an object of type contour.

Все компоненты сигнала теперь являются хорошо разделенными IMT и разделены достаточно, чтобы отличать друг от друга. Этот сигнал подходит для использования с алгоритмом синхронизации.

Область с неадекватным разделением

Открыть Live Script

Этот пример показывает сигнал с двумя линейными щебетаниями. Линейный щебет определяется как

$f (t) = \cos (ϕ + 2 π (f_{0} t + \frac{m t^{2}}{2})) .$

Его первая производная, $f_{0} + m t$ , задает мгновенную частотную линию. Используйте bump вейвлет и его константу разделения 0,25. Чтобы определить область, где два щебета-сигнала с мгновенными частотами 0,4 и 0,1 цикла на выборку недостаточно разделены, решите это уравнение:

$| y_{1} - y_{2} | = 0.25 | y_{1} + y_{2} | .$

$y_{1} = \frac{- 0.15}{1000} x + 0.4$ и $y_{2} = \frac{0.15}{1000} x + 0.1$ являются мгновенными частотными линиями щебета.

t = 0:2000;
y1 = chirp(t,0.4,1000,0.25);
y2 = chirp(t,0.1,1000,0.25);
y = y1+y2;
wsst(y,'bump')
xlabel('Samples')
h1 = line([583 583], [0 0.5]);
h2 = line([1417 1417], [0 0.5]);
h1.Color='white';
h2.Color='white';

Figure contains an axes. The axes with title Wavelet Synchrosqueezed Transform contains 3 objects of type surface, line.

Вертикальные линии являются границами области. Они указывают, что недостаточно разделения происходит в выборке 583 и выборке 1417. В области между вертикальными линиями сигнал не состоит из хорошо разделенных IMT. В областях вне вертикальных линий сигнал имеет хорошо разделенные IMT. Вы можете получить хорошие результаты от синхронизированного преобразования в этих областях.

Ссылки

[1] Mallet, S. A Wavelet Tour of Signal Processing. Сан-Диего, Калифорния: Академическая пресса, 2008, с. 89.

[2] Daubechies, I., J. Lu, and H. T. Wu. Synchrosqueezed Wavelet Transforms: a empirical mode decomposition-like tool (неопр.) (недоступный инструмент). Прикладной и вычислительный гармонический анализ. Том 30 (2), стр. 243-261.

[3] Thakur, G., E. Brevdo, N. S. Фучкар, и Х. Т. У. «Алгоритм синхронизации для изменяющегося во времени спектрального анализа: свойства робастности и новые приложения палеоклиматов». Обработка сигналов. Том 93, стр. 1079-1094.

Документация