В этом примере вы сгенерируете коэффициенты симлетного масштабирования фильтра, норма которых равна 1. Вы также подтвердите, что коэффициенты удовлетворяют необходимому отношению.

Вычислите коэффициенты масштабирующего фильтра симлета порядка 10, сумма которого равна$\sqrt{2}$.

n = 10;
w = symaux(n,sqrt(2));

Подтвердите, что сумма коэффициентов равна $\sqrt{2}$ и норма равна 1.

sqrt(2)-sum(w)

ans = 0

1-sum(w.^2)

ans = 1.1324e-14

Поскольку целочисленные преобразования функции масштабирования образуют ортогональный базис, коэффициенты удовлетворяют отношению ${\sum }_{\mathit{n}}\mathit{w}\left(\mathit{n}\right)\mathit{w}\left(\mathit{n}-2\mathit{k}\right)=\delta \left(\mathit{k}\right)$. Подтвердите это, взяв автокорреляцию коэффициентов и построив график результата.

corrw = xcorr(w,w);
stem(corrw)
grid on
title('Autocorrelation of scaling coefficients')

stem(corrw(2:2:end))
grid on
title('Even-indexed autocorrelation values')

Этот пример показывает, что симлетные и Daubechies масштабирующие фильтры одного и того же порядка являются решениями одного и того же полиномиального уравнения.

Сгенерируйте порядок 4 масштабирующий фильтр Daubechies и постройте его график.

wdb4 = dbaux(4)

wdb4 = 1×8

    0.1629    0.5055    0.4461   -0.0198   -0.1323    0.0218    0.0233   -0.0075

stem(wdb4)
title('Order 4 Daubechies Scaling Filter')

wdb4 является решением уравнения: P = conv (wrev (w), w) * 2, где P является фильтром «Lagrange trous» для N = 4. Оцените P и постройте график. P является симметричным фильтром, и wdb4 является минимальным фазовым решением предыдущего уравнения на основе корней P.

P = conv(wrev(wdb4),wdb4)*2;
stem(P)
title('''Lagrange trous'' filter')

Сгенерируйте wsym4, фильтр симлетного масштабирования порядка 4 и постройте его график. Симлеты являются «наименее асимметричными» вейвлетами Доубехи, полученными из другого выбора между корнями P.

wsym4 = symaux(4)

wsym4 = 1×8

    0.0228   -0.0089   -0.0702    0.2106    0.5683    0.3519   -0.0210   -0.0536

stem(wsym4)
title('Order 4 Symlet Scaling Filter')

Вычислите conv (wrev (wsym4), wsym4) * 2 и подтвердите, что wsym4 является другим решением уравнения P = conv (wrev (w), w) * 2.

P_sym = conv(wrev(wsym4),wsym4)*2;
err = norm(P_sym-P)

err = 1.8677e-15

Для заданной поддержки ортогональный вейвлет с фазового отклика, наиболее близко напоминающей линейную фазу фильтр, называется наименее асимметричным. Симлеты являются примерами наименее асимметричных вейвлеты. Это модифицированные версии классических вейвлетов Daubechies db. В этом примере вы покажете, что симлет порядка 4 имеет почти линейный фазовый отклик, в то время как вейвлет порядка 4 Daubechies не имеет.

Сначала постройте график порядка 4 symlet и порядка 4 функции масштабирования Daubechies. Хотя ни один из них не является совершенно симметричным, обратите внимание на то, насколько симметричен симлет.

[phi_sym,~,xval_sym]=wavefun('sym4',10);
[phi_db,~,xval_db]=wavefun('db4',10);
subplot(2,1,1)
plot(xval_sym,phi_sym)
title('sym4 - Scaling Function')
grid on
subplot(2,1,2)
plot(xval_db,phi_db)
title('db4 - Scaling Function')
grid on

Сгенерируйте фильтры, сопоставленные с симлетами порядка 4 и вейвлетами Daubechies.

scal_sym = symaux(4,sqrt(2));
scal_db = dbaux(4,sqrt(2));

Вычислите частотную характеристику фильтров масштабирующего синтеза.

[h_sym,w_sym] = freqz(scal_sym);
[h_db,w_db] = freqz(scal_db);

Чтобы избежать разрывов зрения, раскройте углы фазы частотных характеристик и постройте их график. Обратите внимание, как хорошо угол фазы фильтра symlet аппроксимирует прямую линию.

h_sym_u = unwrap(angle(h_sym));
h_db_u = unwrap(angle(h_db));
figure
plot(w_sym/pi,h_sym_u,'.')
hold on
plot(w_sym([1 end])/pi,h_sym_u([1 end]),'r')
grid on
xlabel('Normalized Frequency ( x \pi rad/sample)')
ylabel('Phase (radians)')
legend('Phase Angle of Frequency Response','Straight Line')
title('Symlet Order 4 - Phase Angle')

figure
plot(w_db/pi,h_db_u,'.')
hold on
plot(w_db([1 end])/pi,h_db_u([1 end]),'r')
grid on
xlabel('Normalized Frequency ( x \pi rad/sample)')
ylabel('Phase (radians)')
legend('Phase Angle of Frequency Response','Straight Line')
title('Daubechies Order 4 - Phase Angle')

The sym4 и db4 вейвлеты не симметричны, но биортогональный вейвлет. Постройте график функции масштабирования, связанной со bior3.5 вейвлет. Вычислите частотную характеристику фильтра масштабирования синтеза для вейвлета и проверьте, что он имеет линейную фазу.

[~,~,phi_bior_r,~,xval_bior]=wavefun('bior3.5',10);
figure
plot(xval_bior,phi_bior_r)
title('bior3.5 - Scaling Function')
grid on

[LoD_bior,HiD_bior,LoR_bior,HiR_bior] = wfilters('bior3.5');
[h_bior,w_bior] = freqz(LoR_bior);
h_bior_u = unwrap(angle(h_bior));
figure
plot(w_bior/pi,h_bior_u,'.')
hold on
plot(w_bior([1 end])/pi,h_bior_u([1 end]),'r')
grid on
xlabel('Normalized Frequency ( x \pi rad/sample)')
ylabel('Phase (radians)')
legend('Phase Angle of Frequency Response','Straight Line')
title('Biorthogonal 3.5 - Phase Angle')

Этот пример демонстрирует, что для заданной поддержки совокупная сумма квадратов коэффициентов масштабирующего фильтра увеличивается более быстро для экстремального вейвлета фазы, чем другие вейвлеты.

Сгенерируйте коэффициенты масштабирующего фильтра для db15 и sym15 вейвлеты. Оба вейвлета имеют поддержку ширины $2\times 15-1=29$.

[~,~,LoR_db,~] = wfilters('db15');
[~,~,LoR_sym,~] = wfilters('sym15');

Затем сгенерируйте коэффициенты масштабирующего фильтра для coif5 вейвлет. Этот вейвлет также имеет поддержку ширины $6\times 5-1=29$.

[~,~,LoR_coif,~] = wfilters('coif5');

Подтвердите сумму коэффициентов для всех трех вейвлет равной $\sqrt{2}$.

sqrt(2)-sum(LoR_db)

ans = 2.2204e-16

sqrt(2)-sum(LoR_sym)

ans = 0

sqrt(2)-sum(LoR_coif)

ans = 2.2204e-16

Постройте график совокупных сумм квадратов коэффициентов. Обратите внимание, как быстро сумма Daubechies увеличивается. Это связано с тем, что его энергия сосредоточена в небольших абсциссах. Поскольку вейвлет Daubechies имеет экстремальную фазу, совокупная сумма его квадратов коэффициентов увеличивается быстрее, чем два других вейвлета.

plot(cumsum(LoR_db.^2),'rx-')
hold on
plot(cumsum(LoR_sym.^2),'mo-')
plot(cumsum(LoR_coif.^2),'b*-')
legend('Daubechies','Symlet','Coiflet')
title('Cumulative Sum')