О границах сектора и индексах сектора

Конические секторы

В его самой простой форме конический сектор является 2D областью, разграниченной двумя линиями, y=au и y=bu.

Теневая область характеризуется неравенством (y-au)(y-bu)<0. В более общем плане любой такой сектор может быть параметрирован как:

(yu)TQ(yu)<0,

где Q 2x2 симметричная неопределенная матрица (Q имеет одно положительное и одно отрицательное собственное значение). Мы вызываем Q матрица сектора. Эта концепция делает вывод к более высоким размерностям. В N-мерном пространстве конический сектор является набором:

S={zRN:zTQz<0},

где Q снова симметричная неопределенная матрица.

Границы сектора

Границы сектора являются ограничениями на поведение системы. Получите ограничения, и ограничения пассивности являются особыми случаями границ сектора. Если для всех ненулевых входных траекторий u(t), выходная траектория z(t)=(Hu)(t) из линейной системы H(s) удовлетворяет:

0TzT(t)Qz(t)dt<0,T>0,

затем выходные траектории H лгите в коническом секторе с матрицей Q. Отличающийся выбор Q матрицы налагают различные условия на ответ системы. Например, рассмотрите траектории y(t)=(Gu)(t) и следующие значения:

H(s)=(G(s)I),Q=(0-I-I0).

Эти значения соответствуют связанному сектору:

0T(y(t)u(t))T(0-I-I0)(y(t)u(t))dt<0,T>0.

Этот связанный сектор эквивалентен условию пассивности для G(s):

0TyT(t)u(t)dt>0,T>0.

Другими словами, пассивность является конкретным сектором, привязал систему, заданную:

H=(GI).

Условие частотного диапазона

Поскольку условие временного интервала должно содержать для всех T>0, получение эквивалентного связанного частотного диапазона проявляет немного заботы и не всегда возможно. Позвольте следующему:

Q=W1TW1-W2TW2

будьте (любым) разложением неопределенной матрицы Q в его положительные и отрицательные части. Когда W2TH(s) квадратная и минимальная фаза (не имеет никаких нестабильных нулей), условие временного интервала:

0T(Hu)(t)TQ(Hu)(t)dt<0,T>0

эквивалентно условию частотного диапазона:

H(jω)HQH(jω)<0ωR.

Поэтому достаточно проверять неравенство сектора на действительные частоты. Используя разложение Q, это также эквивалентно:

(W1TH)(W2TH)-1<1.

Обратите внимание на то, что W2TH является квадратным когда Q имеет столько же отрицательных собственных значений, сколько вход образовывает канал в H(s). Если это условие не соблюдают, это больше не достаточно (в целом), чтобы только посмотреть на действительные частоты. Отметьте также это если W2TH(s) является квадратным, затем это должна быть минимальная фаза для сектора, обязанного содержать.

Эта характеристика частотного диапазона является базисом для sectorplot. А именно, sectorplot строит сингулярные значения (W1TH(jω))(W2TH(jω))-1 в зависимости от частоты. Связанному сектору удовлетворяют, если и только если самое большое сингулярное значение остается ниже 1. Кроме того, график содержит полезную информацию о диапазонах частот, где связанному сектору удовлетворяют или нарушают, и степень, до которой этому удовлетворяют или нарушают.

Например, исследуйте график сектора системы с 2 входами, с 2 выходами для конкретного сектора.

rng(4,'twister');
H = rss(3,4,2); 
Q = [-5.12   2.16  -2.04   2.17
      2.16  -1.22  -0.28  -1.11
     -2.04  -0.28  -3.35   0.00
      2.17  -1.11   0.00   0.18];
sectorplot(H,Q)

Figure contains an axes object. The axes object contains 2 objects of type line. This object represents H.

График показывает что самое большое сингулярное значение (W1TH(jω))(W2TH(jω))-1 превышает 1 ниже приблизительно 0,5 рад/с и в узкой полосе приблизительно 3 рад/с. Поэтому H не удовлетворяет сектору, связанному представленный Q.

Относительный индекс сектора

Мы можем расширить понятие относительного индекса пассивности к произвольным секторам. Пусть H(s) будьте системой LTI, и позвольте:

Q=W1TW1-W2TW2,W1TW2=0

будьте ортогональным разложением Q в его положительные и отрицательные части, как с готовностью получен из разложения Шура Q. Относительный индекс сектора R, или R-индекс, задан как самое маленькое r>0 таким образом это для всех выходных траекторий z(t)=(Hu)(t):

0TzT(t)(W1TW1-r2W2TW2)z(t)dt<0,T>0.

Поскольку увеличение r делает W1TW1-r2W2TW2 более отрицательный, для неравенства обычно удовлетворяют r достаточно большой. Однако существуют случаи, когда этому никогда нельзя удовлетворять, в этом случае R-индекс R=+. Безусловно, исходному связанному сектору удовлетворяют если и только R1.

Чтобы изучить геометрическую интерпретацию R-индекса, рассмотрите семейство конусов с матрицей Q(r)=W1TW1-r2W2TW2. В 2D, коническом наклонном углу θ связан с r

tan(θ)=rW2W1

(см. схему ниже). В более общем плане, tan(θ) пропорционально R. Таким образом, учитывая конический сектор с матрицей Q, значение R-индекса R<1 средние значения, которые мы можем уменьшать tan(θ) (сузьте конус) фактором R перед некоторой выходной траекторией H покидает конический сектор. Точно так же значение R>1 средние значения, которые мы должны увеличить tan(θ) (расширьте конус) фактором R включать все выходные траектории H. Это ясно делает R-индекс относительной мерой как хорошо ответ H помещается в конкретный конический сектор.

В схеме,

d1|W1Tz|W1,d2|W2Tz|W2,R=|W1Tz||W2Tz|,

и

tan(θ)=d1d2=RW2W1.

Когда W2TH(s) квадратная и минимальная фаза, R-индекс может также быть охарактеризован в частотном диапазоне как самое маленькое r>0 таким образом, что:

H(jω)H(W1TW1-r2W2TW2)H(jω)<0ωR.

Используя элементарную алгебру, это приводит к:

R=maxω(W1TH(jω))(W2TH(jω))-1.

Другими словами, R-индекс является пиковым усилением (устойчивой) передаточной функции Φ(s):=(W1TH(s))(W2TH(s))-1, и сингулярные значения Φ(jw) могите рассматриваться как "основные" R-индексы на каждой частоте. Это также объясняет, почему графический вывод R-индекса по сравнению с частотой похож на график сингулярного значения (см. sectorplot). Существует полная аналогия между относительным индексом сектора и системным усилением. Обратите внимание, однако, что эта аналогия только содержит когда W2TH(s) квадратная и минимальная фаза.

Направленный индекс сектора

Точно так же мы можем расширить понятие направленного индекса пассивности к произвольным секторам. Учитывая конический сектор с матрицей Q, и направление δQ, направленный индекс сектора является самым большим τ таким образом это для всех выходных траекторий z(t)=(Hu)(t):

0TzT(t)(Q+τδQ)z(t)dt<0,T>0.

Направленная пассивность индексирует для системы G(s) соответствует:

H(s)=(G(s)I),Q=(0-I-I0).

Направленный сектор индексирует меры тем, насколько мы должны деформировать сектор в направлении δQ заставить его соответствовать плотно вокруг выходных траекторий H. Связанному сектору удовлетворяют, если и только если направленный индекс положителен.

Общие секторы

Существует много способов задать границы сектора. Затем мы рассматриваем выражения, с которыми обычно сталкиваются, и даем соответствующую систему H и матрица сектора Q для стандартной формы, используемой getSectorIndex и sectorplot:

0T(Hu)(t)TQ(Hu)(t)dt<0,T>0.

Для простоты эти описания используют обозначение:

xT=0Tx(t)2dt,

и не используйте T>0 требование.

Пассивность

Пассивность является сектором, связанным с:

H(s)=(G(s)I),Q=(0-I-I0).

Получите ограничение

Ограничение усиления G<γ сектор, связанный с:

H(s)=(G(s)I),Q=(I00-γ2I).

Отношение расстояний

Рассмотрите "внутреннее" ограничение,

y-cuT<ruT

где c,r скаляры и y(t)=(Gu)(t). Это - сектор, связанный с:

H(s)=(G(s)I),Q=(I-cI-cI(c2-r2)I).

Базовый конический сектор симметричен относительно y=cu. Точно так же "внешнее" ограничение,

y-cuT>ruT

сектор, связанный с:

H(s)=(G(s)I),Q=(-IcIcI(r2-c2)I).

Двойное неравенство

При контакте со статической нелинейностью распространено рассмотреть конические секторы формы

au2<yu<bu2,

где y=ϕ(u) нелинейность выход. В то время как это отношение не является сектором, связанным по сути, оно ясно подразумевает:

a0Tu(t)2dt<0Ty(t)u(t)dt<b0Tu(t)2dt

вдоль всех траекторий ввода-вывода и для всех T>0. Это условие в свою очередь эквивалентно сектору, связанному с:

H(s)=(ϕ(.)1),Q=(1-(a+b)/2-(a+b)/2ab).

Форма продукта

Обобщенные границы сектора формы:

0T(y(t)-K1u(t))T(y(t)-K2u(t))dt<0

соответствуйте:

H(s)=(G(s)I),Q=(2I-(K2+K1T)-(K1+K2T)K1TK2+K2TK1).

Как прежде, статический сектор связал:

(y-K1u)T(y-K2u)<0

подразумевает интегральный сектор, связанный выше.

Диссипативный QSR

Система y=Gu QSR-диссипативно, если это удовлетворяет:

0T(y(t)u(t))T(QSSTR)(y(t)u(t))dt>0,T>0.

Это - сектор, связанный с:

H(s)=(G(s)I),Q=-(QSSTR).

Смотрите также

| |

Похожие темы

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте