Пассивные системы

Линейная система $$G(s)$$ пассивный элемент если все траектории ввода/вывода $$y(t)=Gu(t)$$ удовлетворите:

где $$y^T(t)$$ обозначает транспонирование $$y(t)$$. Для физических систем интеграл обычно представляет энергию, входящую в систему. Таким образом пассивные системы являются системами, которые только используют или рассеивают энергию. В результате пассивные системы внутренне устойчивы.

В частотном диапазоне пассивность эквивалентна "положительному действительному" условию:

Для систем SISO это говорит это $$Re(G(j\omega ))>0$$ на всех частотах, таким образом, целый годограф Найквиста находится в правой полуплоскости.

nyquist(tf([1 3 5],[5 6 1]))

Годограф Найквиста пассивной системы

Пассивные системы имеют следующие важные свойства в целях управления:

При управлении пассивной системой с неизвестными или переменными характеристиками поэтому желательно использовать пассивный закон об обратной связи, чтобы гарантировать устойчивость с обратной связью. Эта задача может быть представлена трудная, учитывая, что задержки и значительная задержка фазы уничтожают пассивность.

Направленные индексы пассивности

Для устойчивости, зная, является ли система пассивным элементом или не не рассказывает полную историю. Часто желательно знать тем, насколько это - пассивный элемент или не удается быть пассивным элементом. Кроме того, нехватка пассивности на объекте может быть компенсирована избытком пассивности в контроллере, и наоборот. Поэтому важно измерить избыток или нехватку пассивности, и это - то, где индексы пассивности играют роль.

Существуют различные типы индексов с различными приложениями. Один класс индексов измеряет избыток или нехватку пассивности в конкретном направлении пробела ввода/вывода. Например, входной индекс пассивности задан как самое большое $$\nu$$ таким образом, что:

для всех траекторий $$y(t)=Gu(t)$$ и $$T>0$$. Система G является входом, строго пассивным (ISP) когда $$\nu >0$$, и имеет нехватку пассивности когда $$\nu <0$$. Входной индекс пассивности также называется индексом входа пассивности прямого распространения (IFP), потому что это соответствует минимальному статическому действию прямого распространения, должен был сделать системный пассивный элемент.

В частотном диапазоне входной индекс пассивности характеризуется:

где $${\lambda }_{\min }$$ обозначает самое маленькое собственное значение. В случае SISO, $$\nu$$ абсцисса крайней левой точки на кривой Найквиста.

Точно так же выходной индекс пассивности задан как самое большое $$\rho$$ таким образом, что:

для всех траекторий $$y(t)=Gu(t)$$ и $$T>0$$. Система G является выходом, строго пассивным (OSP) когда $$\rho >0$$, и имеет нехватку пассивности когда $$\rho <0$$. Выходной индекс пассивности также называется индексом выходной пассивности обратной связи (OFP), потому что это соответствует минимальному статическому действию обратной связи, должен был сделать системный пассивный элемент.

В частотном диапазоне, выходном индексе пассивности минимально-фазовой системы $$G(s)$$ дают:

В случае SISO, $$\rho$$ абсцисса крайней левой точки на кривой Найквиста $$G^{-1}(s)$$.

Объединение этих двух понятий приводит к индексу пассивности ввода-вывода, который является самым большим $$\tau$$ таким образом, что:

Система с $$\tau >0$$ очень строго пассивно. В более общем плане мы можем задать индекс в направлении $$\delta Q$$ как самое большое $$\tau$$ таким образом, что:

Вход, выход и индексы пассивности ввода-вывода все соответствуют специальному выбору $$\delta Q$$ и коллективно упоминаются как направленные индексы пассивности. Можно использовать getPassiveIndex вычислить любой из этих индексов для линейных систем или в параметрическом или в форма FRD. Можно также использовать passiveplot чтобы построить вход, выведите, или индексы пассивности ввода-вывода в зависимости от частоты. Этот график обеспечивает понимание, какие диапазоны частот имеют более слабую или более сильную пассивность.

Существует много определений количества результатов, как индексы пассивности ввода и вывода распространяют через параллель, ряд или соединения обратной связи. Существуют также результаты, определяющие количество избытка пассивности ввода или вывода, должен был компенсировать данную нехватку пассивности в обратной связи. Для получения дополнительной информации см.:

Относительный индекс пассивности

Положительное действительное условие для пассивности:

эквивалентно небольшому условию усиления:

Мы можем поэтому использовать пиковое усиление $$(I-G)(I+G{)}^{-1}$$ как мера пассивности. А именно, позвольте

То $$G$$ пассивный элемент если и только если $$R<1$$, и $$R>1$$ указывает на нехватку пассивности. Обратите внимание на то, что $$R$$ конечно если и только если $$I+G$$ минимальная фаза. Мы обращаемся к $$R$$ как относительный индекс пассивности или R-индекс. Во временном интервале R-индекс является самым маленьким $$r>0$$ таким образом, что:

для всех траекторий $$y(t)=Gu(t)$$ и $$T>0$$когда $$I+G$$ минимальная фаза, можно использовать passiveplot построить основные усиления $$(I-G(j\omega ))(I+G(j\omega ){)}^{-1}$$. Этот график полностью походит на график сингулярного значения (см. sigma), и показывает, как степень пассивности изменяется с частотой и направлением.

Следующий результат походит на Маленькую Теорему Усиления для обратной связи. Это дает простое условие на R-индексах для компенсации нехватки пассивности в одной системе избытком пассивности в другом.

Маленькая-R теорема: Пусть $$G_1(s)$$ и $$G_2(s)$$ будьте двумя линейными системами с R-индексами пассивности $$R_1$$ и $$R_2$$, соответственно. Если $$R_1{R}_2<1$$, затем соединение отрицательной обратной связи $$G_1$$ и $$G_2$$ устойчиво.