Проведите тест множителя Лагранжа

Скрипт Open Live Script

В этом примере показано, как вычислить, необходимые входные параметры для проведения множителя Лагранжа (LM) тестируют с lmtest. Тест LM сравнивает припадок ограниченной модели с неограниченной моделью путем тестирования, существенно отличается ли градиент функции логарифмической правдоподобности неограниченной модели, оцененной в ограниченных оценках наибольшего правдоподобия (MLEs), от нуля.

Необходимые входные параметры для lmtest функция счета и оценка неограниченной ковариационной матрицы отклонения, оцененной в ограниченном MLEs. Этот пример сравнивает припадок модели AR (1) с моделью AR (2).

Вычислите ограниченный MLE

Получите ограниченный MLE, подбирая модель AR (1) (с Гауссовым инновационным распределением) к определенным данным. Примите, что у вас есть преддемонстрационные наблюдения ( $y_{- 1}$ , $y_{0}$ ) = (9.6249,9.6396).

Y = [10.1591; 10.1675; 10.1957; 10.6558; 10.2243; 10.4429;
     10.5965; 10.3848; 10.3972;  9.9478;  9.6402;  9.7761;
     10.0357; 10.8202; 10.3668; 10.3980; 10.2892;  9.6310;
      9.6318;  9.1378;  9.6318;  9.1378];
Y0 = [9.6249; 9.6396];

Mdl = arima(1,0,0);
EstMdl = estimate(Mdl,Y,'Y0',Y0);

 
    ARIMA(1,0,0) Model (Gaussian Distribution):
 
                 Value     StandardError    TStatistic     PValue  
                _______    _____________    __________    _________

    Constant     3.2999        2.4606         1.3411        0.17988
    AR{1}       0.67097       0.24635         2.7237      0.0064564
    Variance    0.12506      0.043015         2.9074      0.0036441

При проведении теста LM только ограниченная модель должна быть подходящей.

Вычислите матрицу градиента

Оцените ковариационную матрицу отклонения для неограниченной модели AR (2) с помощью векторного произведения градиентов (OPG) метод.

Для модели AR (2) с Гауссовыми инновациями вклад в логарифмическую правдоподобность функционирует во время $t$ дают

$\log L_{t} = - 0.5 \log (2 π σ_{ε}^{2}) - \frac{(y_{t} - c - ϕ_{1} y_{t - 1} - ϕ_{2} y_{t - 2})^{2}}{2 σ_{ε}^{2}}$

где $σ_{ε}^{2}$ отклонение инновационного распределения.

Вклад в градиент во время $t$

$[\begin{array}{c} \frac{\partial \log L_{t}}{\partial c} & \frac{\partial \log L_{t}}{\partial ϕ_{1}} & \frac{\partial \log L_{t}}{\partial ϕ_{2}} & \frac{\partial \log L_{t}}{\partial σ_{ε}^{2}} \end{array}],$

где

$\begin{array}{c} \frac{\partial \log L_{t}}{\partial c} & = & \frac{y_{t} - c - ϕ_{1} y_{t - 1} - ϕ_{2} y_{t - 2}}{σ_{ε}^{2}} \\ \frac{\partial \log L_{t}}{\partial ϕ_{1}} & = & \frac{y_{t - 1} (y_{t} - c - ϕ_{1} y_{t - 1} - ϕ_{2} y_{t - 2})}{σ_{ε}^{2}} \\ \frac{\partial \log L_{t}}{\partial ϕ_{2}} & = & \frac{y_{t - 2} (y_{t} - c - ϕ_{1} y_{t - 1} - ϕ_{2} y_{t - 2})}{σ_{ε}^{2}} \\ \frac{\partial \log L_{t}}{\partial σ_{ε}^{2}} & = & - \frac{1}{2 σ_{ε}^{2}} + \frac{(y_{t} - c - ϕ_{1} y_{t - 1} - ϕ_{2} y_{t - 2})^{2}}{2 σ_{ε}^{4}} \end{array}$

Оцените матрицу градиента, $G$ , в ограниченном MLEs (использование ${ϕ_{}^{ˆ}}_{2} = 0$ ).

c = EstMdl.Constant;
phi1 = EstMdl.AR{1};
phi2 = 0;
sig2 = EstMdl.Variance;

Yt = Y;
Yt1 = [9.6396; Y(1:end-1)];
Yt2 = [9.6249; Yt1(1:end-1)];

N = length(Y);
G = zeros(N,4);
G(:,1) = (Yt-c-phi1*Yt1-phi2*Yt2)/sig2;
G(:,2) = Yt1.*(Yt-c-phi1*Yt1-phi2*Yt2)/sig2;
G(:,3) = Yt2.*(Yt-c-phi1*Yt1-phi2*Yt2)/sig2;
G(:,4) = -0.5/sig2 + 0.5*(Yt-c-phi1*Yt1-phi2*Yt2).^2/sig2^2;

Оцените ковариационную матрицу отклонения

Вычислите оценку ковариационной матрицы отклонения OPG.

V = inv(G'*G)

V = 4×4

    6.1431   -0.6966    0.0827    0.0367
   -0.6966    0.1535   -0.0846   -0.0061
    0.0827   -0.0846    0.0771    0.0024
    0.0367   -0.0061    0.0024    0.0019

Числовые погрешности могут произойти из-за компьютерной точности. Чтобы сделать ковариационную матрицу отклонения симметричной, объедините половину ее значения с половиной из ее транспонировать.

V = V/2 + V'/2;

Вычислите функцию счета

Выполните функцию счета (сумма отдельных вкладов в градиент).

score = sum(G);