В данном примере используйте график сингулярного значения Ганкеля выбрать подходящий порядок и вычислить модель уменьшаемого порядка.

Для этого экземпляра сгенерируйте случайную модель в пространстве состояний дискретного времени с 40 состояниями.

rng(0)
sys = drss(40);

Постройте сингулярные значения Ганкеля с помощью balred.

balred(sys)

В данном примере выберите порядок 16 поскольку это - первый порядок с абсолютной погрешностью меньше, чем 1e-4. В общем случае вы выбираете порядок на основе желаемой абсолютной или относительной точности. Затем вычислите модель уменьшаемого порядка.

rsys = balred(sys,16);

Проверьте абсолютную погрешность путем графического вывода ответа сингулярного значения с помощью sigma.

sigma(sys,sys-rsys)

Заметьте из графика, что ошибка, представленная красной кривой, ниже -80 dB (1e-4).

В данном примере рассмотрите случайную модель в пространстве состояний непрерывного времени с 65 состояниями.

rng(0)
sys = rss(65);
size(sys)

State-space model with 1 outputs, 1 inputs, and 65 states.

Визуализируйте сингулярные значения Ганкеля на графике.

balred(sys)

Для этого экземпляра вычислите модели уменьшаемого порядка с 25, 30 и 35 состояний.

order = [25,30,35];
rsys = balred(sys,order);
size(rsys)

3x1 array of state-space models.
Each model has 1 outputs, 1 inputs, and between 25 and 35 states.

Вычислите аппроксимацию системы уменьшаемого порядка, данную:

Создайте модель.

sys = zpk([-0.5 -1.1 -2.9],[-1e-6 -2 -1 -3],1);

Исключите полюс в $$s=10^{-6}$$ от устойчивого термина устойчивого/нестабильного разложения. Для этого установите Offset опция balredOptions к значению, больше, чем полюс, вы хотите исключить.

opts = balredOptions('Offset',0.001,'StateProjection','Truncate');

Визуализируйте Сингулярные значения Ганкеля (HSV) и ошибку приближения.

balred(sys,opts)

Заметьте, что первый HSV является красным, который указывает, что сопоставлен с нестабильным режимом.

Теперь вычислите приближение второго порядка с заданными опциями.

[rsys,info] = balred(sys,2,opts);
rsys

rsys =
 
  0.99113 (s+0.5235)
  -------------------
  (s+1e-06) (s+1.952)
 
Continuous-time zero/pole/gain model.

Заметьте, что полюс в -1e-6 кажется неизменным в упрощенной модели rsys.

Сравните ответы исходных моделей и моделей уменьшаемого порядка.

bodeplot(sys,rsys,'r--')

Заметьте, что предвещать ответ исходной модели и модели уменьшаемого порядка почти соответствует.

Уменьшайте старшую модель с особым вниманием на динамике в конкретном частотном диапазоне.

Загрузите модель и исследуйте ее частотную характеристику.

load('highOrderModel.mat','G')
bodeplot(G)

G модель 48-го порядка с несколькими большими пиковыми областями приблизительно 5,2 рад/с, 13,5 рад/с и 24,5 рад/с, и меньшим peaks, рассеянным через многие частоты. Предположим, что для вашего приложения вы только интересуетесь динамикой около второго большого пика между 10 рад/с и 22 рад/с. Фокусируйте снижение сложности модели на необходимой области, чтобы получить хорошее соответствие с аппроксимацией младшим порядком. Используйте balredOptions (Control System Toolbox), чтобы задать интервал частоты для balred.

bopt = balredOptions('StateProjection','Truncate','FreqIntervals',[10,22]);
GLim10 = balred(G,10,bopt);
GLim18 = balred(G,18,bopt);

Исследуйте частотные характеристики моделей уменьшаемого порядка. Кроме того, исследуйте различие между теми ответами и исходным ответом (абсолютная погрешность).

subplot(2,1,1);
bodemag(G,GLim10,GLim18,logspace(0.5,1.5,100));
title('Bode Magnitude Plot')
legend('Original','Order 10','Order 18');
subplot(2,1,2);
bodemag(G-GLim10,G-GLim18,logspace(0.5,1.5,100));
title('Absolute Error Plot')
legend('Order 10','Order 18');

С ограниченным частотой энергетическим расчетом даже приближение 10-го порядка довольно хорошо в необходимой области.

В данном примере считайте модель в пространстве состояний SISO cdrom с 120 состояниями. Можно использовать управление абсолютной или относительной погрешностью при аппроксимации моделей balred. Этот пример сравнивает два подхода, когда применено модель с 120 состояниями портативного устройства проигрывателя компакт-дисков crdom [1,2].

Загрузите модель cdrom проигрывателя компакт-дисков.

load cdromData.mat cdrom
size(cdrom)

State-space model with 1 outputs, 1 inputs, and 120 states.

Чтобы сравнить результаты с абсолютом по сравнению с управлением относительной погрешностью, создайте один набор опции для каждого подхода.

opt_abs = balredOptions('ErrorBound','absolute','StateProjection','truncate');
opt_rel = balredOptions('ErrorBound','relative','StateProjection','truncate');

Вычислите модели уменьшаемого порядка порядка 15 с обоими подходами.

rsys_abs = balred(cdrom,15,opt_abs);
rsys_rel = balred(cdrom,15,opt_rel);
size(rsys_abs)

State-space model with 1 outputs, 1 inputs, and 15 states.

size(rsys_rel)

State-space model with 1 outputs, 1 inputs, and 15 states.

Постройте Предвещать ответ исходной модели наряду с упрощенными моделями абсолютной погрешности и относительной погрешности.

bo = bodeoptions; 
bo.PhaseMatching = 'on';
bodeplot(cdrom,'b.',rsys_abs,'r',rsys_rel,'g',bo)
legend('Original (120 states)','Absolute Error (15 states)','Relative Error (15 states)')

Заметьте что Предвещать ответ: