residue

Расширение элементарной дроби (разложение элементарной дроби)

Синтаксис

[r,p,k]
= residue(b,a)

[b,a] =
residue(r,p,k)

Описание

пример

[r,p,k] = residue(b,a) находит остатки, полюса и прямой термин Расширения Элементарной дроби отношения двух полиномов, где расширение имеет форму

$\frac{b (s)}{a (s)} = \frac{b_{m} s^{m} + b_{m - 1} s^{m - 1} + \dots + b_{1} s + b_{0}}{a_{n} s^{n} + a_{n - 1} s^{n - 1} + \dots + a_{1} s + a_{0}} = \frac{r_{n}}{s - p_{n}} + ... + \frac{r_{2}}{s - p_{2}} + \frac{r_{1}}{s - p_{1}} + k (s) .$

Входные параметры к residue векторы из коэффициентов полиномов b = [bm ... b1 b0] и a = [an ... a1 a0]. Выходные параметры являются остатками r = [rn ... r2 r1], полюса p = [pn ... p2 p1], и полиномиальный k. Для большинства проблем учебника, k 0 или константа.

пример

[b,a] = residue(r,p,k) преобразует расширение элементарной дроби назад на отношение двух полиномов и возвращает коэффициенты в b и a.

Примеры

свернуть все

Нахождение расширения элементарной дроби с действительными корнями

Попробовать в MATLAB

Найдите расширение элементарной дроби следующего отношения полиномов F (s) использование residue

$F (s) = \frac{b (s)}{a (s)} = \frac{- 4 s + 8}{s^{2} + 6 s + 8} .$

b = [-4 8];
a = [1 6 8];
[r,p,k] = residue(b,a)

p = 2×1

    -4
    -2

k =

     []

Это представляет расширение элементарной дроби

$\frac{- 4 s + 8}{s^{2} + 6 s + 8} = \frac{- 12}{s + 4} + \frac{8}{s + 2} .$

Преобразуйте расширение элементарной дроби назад на полиномиальные коэффициенты с помощью residue.

[b,a] = residue(r,p,k)

b = 1×2

    -4     8

a = 1×3

     1     6     8

Этот результат представляет исходную часть F (s).

Расширение с комплексными корнями и равной степенью числителя и знаменателя

Попробовать в MATLAB

Если степень числителя равна степени знаменателя, выхода k может быть ненулевым.

Найдите расширение элементарной дроби отношения двух полиномов F (s) с комплексными корнями и равной степенью числителя и знаменателя, где F (s)

$F (s) = \frac{b (s)}{a (s)} = \frac{2 s^{3} + s^{2}}{s^{3} + s + 1} .$

b = [2 1 0 0];
a = [1 0 1 1];
[r,p,k] = residue(b,a)

r = 3×1 complex

   0.5354 + 1.0390i
   0.5354 - 1.0390i
  -0.0708 + 0.0000i

p = 3×1 complex

   0.3412 + 1.1615i
   0.3412 - 1.1615i
  -0.6823 + 0.0000i

k = 2

residue возвращает комплексные корни и полюса и постоянный термин в k, представление расширения элементарной дроби

$F (s) = \frac{b (s)}{a (s)} = \frac{2 s^{3} + s^{2}}{s^{3} + s + 1} = \frac{0.5354 + 1.0390 i}{s - (0.3412 + 1.1615 i)} + \frac{0.5354 - 1.0390 i}{s - (0.3412 - 1.1615 i)} + \frac{- 0.0708}{s + 0.6823} + 2 .$

Расширение с градусом числителя, больше, чем градус знаменателя

Попробовать в MATLAB

Когда степень числителя больше степени знаменателя, выхода k вектор, который представляет коэффициенты полинома в s.

Выполните следующее расширение элементарной дроби F (s) использование residue.

$F (s) = \frac{b (s)}{a (s)} = \frac{2 s^{4} + s}{s^{2} + 1} = \frac{0.5 - 1 i}{s - 1 i} + \frac{0.5 + 1 i}{s + 1 i} + 2 s^{2} - 2 .$

b = [2 0 0 1 0];
a = [1 0 1];
[r,p,k] = residue(b,a)

r = 2×1 complex

   0.5000 - 1.0000i
   0.5000 + 1.0000i

p = 2×1 complex

   0.0000 + 1.0000i
   0.0000 - 1.0000i

k = 1×3

     2     0    -2

k представляет полином $2 s^{2} - 2$ .

Входные параметры

свернуть все

`b` — Коэффициенты полинома числителя
вектор из чисел

Коэффициенты полинома в числителе в виде вектора из чисел, представляющих коэффициенты полинома в убывающих степенях s.

Типы данных: single | double
Поддержка комплексного числа: Да

`a` — Коэффициенты полинома знаменателя
вектор из чисел

Коэффициенты полинома в знаменателе в виде вектора из чисел, представляющих коэффициенты полинома в убывающих степенях s.

Типы данных: single | double
Поддержка комплексного числа: Да

Выходные аргументы

свернуть все

`r` — Остатки расширения элементарной дроби
вектор-столбец чисел

Остатки расширения элементарной дроби, возвращенного как вектор-столбец чисел.

`p` — Полюса расширения элементарной дроби
вектор-столбец чисел

Полюса расширения элементарной дроби, возвращенного как вектор-столбец чисел.

`k` — Прямой термин
вектор-строка из чисел

Прямой термин, возвращенный как вектор-строка из чисел, которые задают коэффициенты полинома в убывающих степенях s.

Больше о

свернуть все

Расширение элементарной дроби

Рассмотрите дробный F (s) двух полиномов b и a степени n и m, соответственно

$F (s) = \frac{b (s)}{a (s)} = \frac{b_{n} s^{n} + \dots + b_{2} s^{2} + b_{1} s + b_{0}}{a_{m} s^{m} + \dots + a_{2} s^{2} + a_{1} s + a_{0}} .$

Дробный F (s) может быть представлен как сумма простых дробей

$\frac{b (s)}{a (s)} = \frac{r_{m}}{s - p_{m}} + \frac{r_{m - 1}}{s - p_{m - 1}} + \dots + \frac{r_{0}}{s - p_{0}} + k (s)$

Эта сумма называется расширением элементарной дроби F. Значения r _m..., r ₁ является остатками, значения p _m..., p ₁, являются полюсами, и k (s) является полиномом в s. Для большинства проблем учебника k (s) 0 или константа.

Количество полюсов n

n = length(a)-1 = length(r) = length(p)

Прямой вектор термина пуст если length(b) < length(a); в противном случае

length(k) = length(b)-length(a)+1

Если p(j) = ... = p(j+m-1) полюс кратности m, затем расширение включает термины формы

$\frac{r_{j}}{s - p_{j}} + \frac{r_{j + 1}}{{(s - p_{j})}^{2}} + \dots + \frac{r_{j + m - 1}}{{(s - p_{j})}^{m}} .$

Алгоритмы

residue сначала получает полюса с помощью roots. Затем, если часть является несоответствующей, прямой термин k найден с помощью deconv, который выполняет полиномиальное длинное деление. Наконец, residue определяет остатки путем оценки полинома с отдельными удаленными корнями. Для повторных корней, resi2 вычисляет остатки в повторных корневых местоположениях.

Численно, расширение элементарной дроби отношения полиномов представляет плохо изложенную проблему. Если полином знаменателя, a (s), около полинома с несколькими корнями, то небольшие изменения в данных, включая ошибки округления, могут привести к произвольно большим изменениям в получившихся полюсах и остатках. Формулировки задачи, использующие пространство состояний или нулевые полюсные представления, предпочтительны.

Ссылки

[1] Оппенхейм, А.В. и Р.В. Шафер. Цифровая обработка сигналов. Prentice Hall, 1975, p. 56.

Смотрите также

deconv | poly | roots

Темы

Создание и оценка многочленов

Представлено до R2006a

Документация MATLAB

Поддержка

Сообщество Экспонента

Документация

residue

Синтаксис

Описание

Примеры

Нахождение расширения элементарной дроби с действительными корнями

Расширение с комплексными корнями и равной степенью числителя и знаменателя

Расширение с градусом числителя, больше, чем градус знаменателя

Входные параметры

b — Коэффициенты полинома числителя вектор из чисел

a — Коэффициенты полинома знаменателя вектор из чисел

Выходные аргументы

r — Остатки расширения элементарной дроби вектор-столбец чисел

p — Полюса расширения элементарной дроби вектор-столбец чисел

k — Прямой термин вектор-строка из чисел

Больше о

Расширение элементарной дроби

Алгоритмы

Ссылки

Смотрите также

Темы

Документация MATLAB

Поддержка

`b` — Коэффициенты полинома числителя
вектор из чисел

`a` — Коэффициенты полинома знаменателя
вектор из чисел

`r` — Остатки расширения элементарной дроби
вектор-столбец чисел

`p` — Полюса расширения элементарной дроби
вектор-столбец чисел

`k` — Прямой термин
вектор-строка из чисел