parabolic

(Не рекомендуемый), Решают параболическую задачу УЧП

parabolic не рекомендуется. Использование solvepde вместо этого.

Синтаксис

u = parabolic(u0,tlist,model,c,a,f,d)

u = parabolic(u0,tlist,b,p,e,t,c,a,f,d)

u = parabolic(u0,tlist,Kc,Fc,B,ud,M)

u = parabolic(___,rtol)

u =
parabolic(___,rtol,atol)

u = parabolic(___,'Stats','off')

Описание

Параболический решатель уравнения

Решает задачи УЧП типа

$d \frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = f$

на 2D или 3-D области Ω, или системная проблема УЧП

$d \frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot (c \otimes \nabla u) + a u = f$

Переменные c, a, f и d могут зависеть от положения, время и решение u и его градиент.

пример

u = parabolic(u0,tlist,model,c,a,f,d) производит решение формулировки FEM скалярной проблемы УЧП

$d \frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = f$

на 2D или 3-D области Ω, или системная проблема УЧП

$d \frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot (c \otimes \nabla u) + a u = f$

с геометрией mesh и граничные условия заданы в model, и с начальным значением u0. Переменные c, a, f и d в уравнении соответствуют функциональным коэффициентам cAF, и d соответственно.

пример

u = parabolic(u0,tlist,b,p,e,t,c,a,f,d) решает задачу с помощью граничных условий b и mesh конечного элемента задана в [p,e,t].

пример

u = parabolic(u0,tlist,Kc,Fc,B,ud,M) решает задачу на основе матриц конечного элемента, которые кодируют уравнение, mesh и граничные условия.

u = parabolic(___,rtol) и u = parabolic(___,rtol,atol), для любого из предыдущих входных параметров измените процесс решения путем передачи решателю ОДУ относительной погрешности rtol, и опционально абсолютная погрешность atol.

u = parabolic(___,'Stats','off'), для любого из предыдущих входных параметров, выключает отображение внутренней статистики решателя ОДУ во время процесса решения.

Примеры

свернуть все

Параболическое уравнение

Скрипт Open Live Script

Решите параболическое уравнение

$\frac{\partial u}{\partial t} = Δ u$

на квадратной области, заданной squareg.

Создайте модель PDE и импортируйте геометрию.

model = createpde;
geometryFromEdges(model,@squareg);
pdegplot(model,'EdgeLabels','on')
ylim([-1.1,1.1])
axis equal

Figure contains an axes object. The axes object contains 5 objects of type line, text.

Установите граничные условия Дирихле $u = 0$ на всех ребрах.

applyBoundaryCondition(model,'dirichlet',...
                             'Edge',1:model.Geometry.NumEdges, ...
                             'u',0);

Сгенерируйте относительно мелкую сетку.

generateMesh(model,'Hmax',0.02,'GeometricOrder','linear');

Установите начальное условие, чтобы иметь $u (0) = 1$ на диске $x^{2} + y^{2} \leq 0 . 4^{2}$ и $u (0) = 0$ в другом месте.

p = model.Mesh.Nodes;
u0 = zeros(size(p,2),1); 
ix = find(sqrt(p(1,:).^2 + p(2,:).^2) <= 0.4); 
u0(ix) = ones(size(ix));

Установите времена решения быть от 0 до 0,1 с размером шага 0.005.

tlist = linspace(0,0.1,21);

Создайте коэффициенты УЧП.

c = 1;
a = 0;
f = 0;
d = 1;

Решите УЧП.

u = parabolic(u0,tlist,model,c,a,f,d);

133 successful steps
0 failed attempts
268 function evaluations
1 partial derivatives
26 LU decompositions
267 solutions of linear systems

Постройте начальное условие, решение в итоговое время и два промежуточных решения.

figure
subplot(2,2,1)
pdeplot(model,'XYData',u(:,1));
axis equal
title('t = 0')
subplot(2,2,2)
pdeplot(model,'XYData',u(:,5))
axis equal
title('t = 0.02')
subplot(2,2,3)
pdeplot(model,'XYData',u(:,11))
axis equal
title('t = 0.05')
subplot(2,2,4)
pdeplot(model,'XYData',u(:,end))
axis equal
title('t = 0.1')

Figure contains 4 axes objects. Axes object 1 with title t = 0 contains an object of type patch. Axes object 2 with title t = 0.02 contains an object of type patch. Axes object 3 with title t = 0.05 contains an object of type patch. Axes object 4 with title t = 0.1 contains an object of type patch.

Параболическое уравнение Используя традиционный синтаксис

Скрипт Open Live Script

Решите параболическое уравнение

$\frac{\partial u}{\partial t} = Δ u$

на квадратной области, заданной squareg, использование геометрии функционирует, чтобы задать геометрию, граничная функция, чтобы задать граничные условия, и с помощью initmesh создать mesh конечного элемента.

Задайте геометрию как @squareg и постройте геометрию.

g = @squareg;
pdegplot(g,'EdgeLabels','on')
ylim([-1.1,1.1])
axis equal

Figure contains an axes object. The axes object contains 5 objects of type line, text.

Установите граничные условия Дирихле $u = 0$ на всех ребрах. squareb1 функция задает эти граничные условия.

b = @squareb1;

Сгенерируйте относительно мелкую сетку.

[p,e,t] = initmesh(g,'Hmax',0.02);

Установите начальное условие, чтобы иметь $u (0) = 1$ на диске $x^{2} + y^{2} \leq 0 . 4^{2}$ и $u (0) = 0$ в другом месте.

u0 = zeros(size(p,2),1); 
ix = find(sqrt(p(1,:).^2 + p(2,:).^2) <= 0.4); 
u0(ix) = ones(size(ix));

Установите времена решения быть от 0 до 0,1 с размером шага 0.005.

tlist = linspace(0,0.1,21);

Создайте коэффициенты УЧП.

c = 1;
a = 0;
f = 0;
d = 1;

Решите УЧП.

u = parabolic(u0,tlist,b,p,e,t,c,a,f,d);

147 successful steps
0 failed attempts
296 function evaluations
1 partial derivatives
28 LU decompositions
295 solutions of linear systems

Постройте начальное условие, решение в итоговое время и два промежуточных решения.

figure
subplot(2,2,1)
pdeplot(p,e,t,'XYData',u(:,1));
axis equal
title('t = 0')
subplot(2,2,2)
pdeplot(p,e,t,'XYData',u(:,5))
axis equal
title('t = 0.02')
subplot(2,2,3)
pdeplot(p,e,t,'XYData',u(:,11))
axis equal
title('t = 0.05')
subplot(2,2,4)
pdeplot(p,e,t,'XYData',u(:,end))
axis equal
title('t = 0.1')

Параболическая проблема Используя коэффициенты матрицы

Скрипт Open Live Script

Создайте матрицы конечного элемента, которые кодируют параболическую проблему и решают задачу.

Проблемой является эволюция температуры в блоке проведения. Блок является прямоугольной плитой.

model = createpde(1);
importGeometry(model,'Block.stl');
handl = pdegplot(model,'FaceLabels','on');
view(-42,24)
handl(1).FaceAlpha = 0.5;

Figure contains an axes object. The axes object contains 3 objects of type quiver, patch, line.

Поверхности 1, 4, и 6 из плиты сохранены в 0 градусах. Другие поверхности изолируются. Включайте граничное условие на поверхностях 1, 4, и 6. Вы не должны включать граничное условие на других поверхностях, потому что условие по умолчанию изолируется.

applyBoundaryCondition(model,'dirichlet','Face',[1,4,6],'u',0);

Начальное температурное распределение в блоке имеет форму

$u_{0} = 1 0^{- 3} x y z .$

generateMesh(model);
p = model.Mesh.Nodes;
x = p(1,:);
y = p(2,:);
z = p(3,:);
u0 = x.*y.*z*1e-3;

Параболическое уравнение в синтаксисе тулбокса

$d \frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = f .$

Предположим, что теплопроводность блока приводит к a $c$ содействующее значение 1. Значения других коэффициентов в этой проблеме $d = 1$ , $a = 0$ , и $f = 0$ .

d = 1;
c = 1;
a = 0;
f = 0;

Создайте матрицы конечного элемента, которые кодируют проблему.

[Kc,Fc,B,ud] = assempde(model,c,a,f);
[~,M,~] = assema(model,0,d,f);

Решите задачу на временных шагах 1 в течение многих времен в пределах от от 0 до 40.

tlist = linspace(0,40,41);
u = parabolic(u0,tlist,Kc,Fc,B,ud,M);

35 successful steps
0 failed attempts
72 function evaluations
1 partial derivatives
11 LU decompositions
71 solutions of linear systems

Постройте решение за пределами блока время от времени 0, 10, 25, и 40. Убедитесь, что окраска является тем же самым для всех графиков.

umin = min(min(u));
umax = max(max(u));
subplot(2,2,1)
pdeplot3D(model,'ColorMapData',u(:,1))
colorbar off
view(125,22)
title 't = 0'
caxis([umin umax]);
subplot(2,2,2)
pdeplot3D(model,'ColorMapData',u(:,11))
colorbar off
view(125,22)
title 't = 10'
caxis([umin umax]);
subplot(2,2,3)
pdeplot3D(model,'ColorMapData',u(:,26))
colorbar off
view(125,22)
title 't = 25'
caxis([umin umax]);
subplot(2,2,4)
pdeplot3D(model,'ColorMapData',u(:,41))
colorbar off
view(125,22)
title 't = 40'
caxis([umin umax]);

Входные параметры

свернуть все

`u0` — Начальное условие
вектор | вектор символов | символьный массив | строковый скаляр | представляет вектор в виде строки

Начальное условие в виде скаляра, вектора из узловых значений, вектора символов, символьного массива, строкового скаляра или вектора строки. Начальным условием является значение решения u в начальное время в виде вектор-столбца значений в узлах. Узлами является любой p в [p,e,t] структура данных, или model.Mesh.Nodes.

Если начальным условием является постоянный скалярный v, задайте u0 как v.
Если существует Np узлы в mesh и уравнения N в системе УЧП, задают u0 как вектор-столбец Np*элементы N, где первый Np элементы соответствуют первому компоненту решения u, второй Np элементы соответствуют второму компоненту решения u, и т.д.
Дайте текстовое выражение функции, такой как 'x.^2 + 5*cos(x.*y)'. Если вы имеете систему N > 1 уравнение, даете текстовый массив такой как
```
char('x.^2 + 5*cos(x.*y)',...
    'tanh(x.*y)./(1+z.^2)')
```

Пример: x.^2+5*cos(y.*x)

Типы данных: double | char | string
Поддержка комплексного числа: Да

`tlist` — Времена решения
вектор действительных чисел

Времена решения в виде вектора действительных чисел. Решатель возвращает решение УЧП во времена решения.

Пример: 0:0.2:4

Типы данных: double

`model` — Модель PDE
`PDEModel` объект

Модель PDE в виде PDEModel объект.

Пример: model = createpde

`c` — Коэффициент УЧП
скаляр | матрица | вектор символов | символьный массив | строковый скаляр | представляет вектор в виде строки | коэффициентная функция

Коэффициент УЧП в виде скаляра, матрицы, вектора символов, символьного массива, строкового скаляра, представляет в виде строки вектор или коэффициентную функцию. c представляет коэффициент c в скалярном УЧП

$d \frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = f$

или в системе УЧП

$d \frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot (c \otimes \nabla u) + a u = f$

Пример: 'cosh(x+y.^2)'

Типы данных: double | char | string | function_handle
Поддержка комплексного числа: Да

`a` — Коэффициент УЧП
скаляр | матрица | вектор символов | символьный массив | строковый скаляр | представляет вектор в виде строки | коэффициентная функция

Коэффициент УЧП в виде скаляра, матрицы, вектора символов, символьного массива, строкового скаляра, представляет в виде строки вектор или коэффициентную функцию. a представляет коэффициент a в скалярном УЧП

$d \frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = f$

или в системе УЧП

$d \frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot (c \otimes \nabla u) + a u = f$

Пример: 2*eye(3)

Типы данных: double | char | string | function_handle
Поддержка комплексного числа: Да

`f` — Коэффициент УЧП
скаляр | матрица | вектор символов | символьный массив | строковый скаляр | представляет вектор в виде строки | коэффициентная функция

Коэффициент УЧП в виде скаляра, матрицы, вектора символов, символьного массива, строкового скаляра, представляет в виде строки вектор или коэффициентную функцию. f представляет коэффициент f в скалярном УЧП

$d \frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = f$

или в системе УЧП

$d \frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot (c \otimes \nabla u) + a u = f$

Пример: char('sin(x)';'cos(y)';'tan(z)')

Типы данных: double | char | string | function_handle
Поддержка комплексного числа: Да

`d` — Коэффициент УЧП
скаляр | матрица | вектор символов | символьный массив | строковый скаляр | представляет вектор в виде строки | коэффициентная функция

Коэффициент УЧП в виде скаляра, матрицы, вектора символов, символьного массива, строкового скаляра, представляет в виде строки вектор или коэффициентную функцию. d представляет коэффициент d в скалярном УЧП

$d \frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = f$

или в системе УЧП

$d \frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot (c \otimes \nabla u) + a u = f$

Пример: 2*eye(3)

Типы данных: double | char | string | function_handle
Поддержка комплексного числа: Да

`b` Граничные условия
граничная матрица | массив данных граничных условий

Граничные условия в виде граничной матрицы или массива данных граничных условий. Передайте массив данных граничных условий как указатель на функцию или как имя файла. Граничная матрица обычно является экспортом из приложения PDE Modeler.

Пример: b = 'circleb1', b = "circleb1", или b = @circleb1

Типы данных: double | char | string | function_handle

`p` — Поймайте в сети точки
матрица

Поймайте в сети точки в виде 2 Np матрица точек, где Np число точек в mesh. Для описания (pET) матрицы, смотрите Данные о Mesh, когда [p, e, t] Утраивается.

Как правило, вы используете pE, и t данные, экспортированные из приложения PDE Modeler или сгенерированные initmesh или refinemesh.

Пример: [p,e,t] = initmesh(gd)

Типы данных: double

`e` — Поймайте в сети ребра
матрица

Поймайте в сети ребра в виде 7- Ne матрица ребер, где Ne количество ребер в mesh. Для описания (pET) матрицы, смотрите Данные о Mesh, когда [p, e, t] Утраивается.

Пример: [p,e,t] = initmesh(gd)

Типы данных: double

`t` — Поймайте в сети треугольники
матрица

Поймайте в сети треугольники в виде 4- Nt матрица треугольников, где Nt количество треугольников в mesh. Для описания (pET) матрицы, смотрите Данные о Mesh, когда [p, e, t] Утраивается.

Пример: [p,e,t] = initmesh(gd)

Типы данных: double

`Kc` — Матрица жесткости
разреженная матрица | полная матрица

Матрица жесткости в виде разреженной матрицы или как полная матрица. Смотрите Эллиптические уравнения. Как правило, Kc выход assempde.

`Fc` — Вектор загрузки
вектор

Вектор загрузки в виде вектора. Смотрите Эллиптические уравнения. Как правило, Fc выход assempde.

`B` — Дирихле nullspace
разреженная матрица

Дирихле nullspace, возвращенный как разреженная матрица. См. Алгоритмы. Как правило, B выход assempde.

`ud` — Вектор Дирихле
вектор

Вектор Дирихле, возвращенный как вектор. См. Алгоритмы. Как правило, ud выход assempde.

`M` — Большая матрица
разреженная матрица | полная матрица

Большая матрица. заданный как разреженная матрица или полная матрица. Смотрите Эллиптические уравнения.

Получить входные матрицы для pdeeig, hyperbolic или parabolic, запустите обоих assema и assempde:

[Kc,Fc,B,ud] = assempde(model,c,a,f);
[~,M,~] = assema(model,0,d,f);

Примечание

Создайте M матричное использование assema с d, не a, в качестве аргумента перед f.

Типы данных: double
Поддержка комплексного числа: Да

`rtol` — Относительная погрешность для решателя ОДУ
`1e-3` (значение по умолчанию) | положительный действительный

Относительная погрешность для решателя ОДУ в виде положительного действительного.

Пример: 2e-4

Типы данных: double

`atol` — Абсолютная погрешность для решателя ОДУ
`1e-6` (значение по умолчанию) | положительный действительный

Абсолютная погрешность для решателя ОДУ в виде положительного действительного.

Пример: 2e-7

Типы данных: double

Выходные аргументы

свернуть все

`u` — Решение для УЧП
матрица

Решение для УЧП, возвращенное как матрица. Матрицей является Np*N-by-T, где Np количество узлов в mesh, N является количеством уравнений в УЧП (N = 1 для скалярного УЧП), и T номер времен решения, означая длину tlist. Матрица решения имеет следующую структуру.

Первый Np элементы каждого столбца в u представляйте решение уравнения 1, затем следующий Np элементы представляют решение уравнения 2 и т.д. Решение u значение в соответствующем узле в mesh.
Столбец i из u представляет решение во время tlist(i).

Чтобы получить решение в произвольной точке в геометрии, используйте pdeInterpolant.

Чтобы построить решение, использовать pdeplot для 2D геометрии, или см. 3-D Графики Решения и Градиента с MATLAB® Functions.

Алгоритмы

свернуть все

Сокращение параболических уравнений к эллиптическим уравнениям

parabolic внутренне вызовы assema, assemb, и assempde создать матрицы конечного элемента, соответствующие проблеме. Это вызывает ode15s решить получившуюся систему обыкновенных дифференциальных уравнений.

Partial Differential Equation Toolbox™ решает уравнения формы

$m \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} + d \frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = f$

Когда коэффициент m 0, но d не, документация называет уравнение parabolic, является ли это математически в параболической форме.

Параболическая проблема состоит в том, чтобы решить уравнение

$d \frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = f \in Ω$

с начальным условием

u (x, 0) = u ₀ (x) для x ∊Ω

где x представляет 2D или 3-D точку и существуют граничные условия того же вида что касается эллиптического уравнения на ∂ Ω.

Чтения уравнения тепла

$ρ C \frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot (k \nabla u) + h (u - u_{\infty}) = f$

в присутствии распределенной потери тепла к среде. ρ является плотностью, C является тепловой способностью, k является теплопроводностью, h является пленочным коэффициентом, u _∞ является температурой окружающей среды, и f является источником тепла.

Для независимых от времени коэффициентов установившееся решение уравнения является решением стандартного эллиптического уравнения

– ∇ · (c ∇u) + au = f.

При принятии mesh на Ω и t ≥ 0, расширьте решение УЧП (в зависимости от x) в базисе метода конечных элементов:

$u (x, t) = \sum_{i} U_{i} (t) ϕ_{i} (x)$

Включение расширения в УЧП, умножение с тестом функционируют _ϕj, интеграция по Ω и применение формулы Грина и выражения граничных условий

$\begin{array}{l} \sum_{i} \int_{Ω} d ϕ_{j} ϕ_{i} \frac{d U_{i} (t)}{d t} d x + \sum_{i} (\int_{Ω} (\nabla ϕ_{j} \cdot (c \nabla ϕ_{i}) + a ϕ_{j} ϕ_{i}) d x + \int_{\partial Ω} q ϕ_{j} ϕ_{i} d s) U_{i} (t) \\ = \int_{Ω} f ϕ_{j} d x + \int_{\partial Ω} g ϕ_{j} d s \forall j \end{array}$

В матричном обозначении мы должны решить линейную, большую и разреженную систему ОДУ

$M \frac{d U}{d t} + K U = F$

Этот метод является традиционно вызываемым методом полудискретизации линий.

Решение ОДУ с начальным значением

_Ui (0) = u ₀ (xi)

дает к решению УЧП в каждом узле x_i и время t. Обратите внимание на то, что K и F являются матрицей жесткости и правой стороной эллиптической проблемы

– ∇ · (c ∇u) + au = f в Ω

с исходными граничными условиями, в то время как M является только большой матрицей проблемы

– ∇ · (0∇u) + du = 0 в Ω.

Когда условия Дирихле являются зависящими от времени, F содержит вклады от производных времени h и r. Эти производные оценены конечными разностями заданных пользователями данных.

Система ОДУ плохо обусловливается. Явные интеграторы времени обеспечены требованиями устойчивости к очень кратковременным шагам, в то время как неявные решатели могут быть дорогими, поскольку они решают эллиптическую задачу на каждом временном шаге. Численное интегрирование системы ОДУ выполняется MATLAB^® Функции Пакета ODE, которые эффективны для этого класса проблем. Временным шагом управляют, чтобы удовлетворить допуску при ошибке, и факторизации содействующих матриц выполняются только при необходимости. Когда коэффициенты являются зависящими от времени, необходимость переоценки и переразложения на множители матриц, каждый временной шаг может все еще сделать решение трудоемким, несмотря на то, что parabolic переоценивает только то, что меняется в зависимости от времени. В определенных случаях зависящая от времени матрица h Дирихле (t) может заставить контроль ошибок перестать работать, даже если проблема является математически звуковой и решение, которым является гладким u (t). Это может произойти, потому что интегратор ОДУ смотрит только на уменьшаемое решение v с u = Bv + ud. Как h изменения, вертящаяся схема, используемая для числовой устойчивости, может изменить порядок устранения от одного шага до следующего. Это означает, что B, v и ud все изменение с перерывами, несмотря на то, что сам u не делает.

Смотрите также

solvepde

Представлено до R2006a

Документация

parabolic

Синтаксис

Описание

Примеры

Параболическое уравнение

Параболическое уравнение Используя традиционный синтаксис

Параболическая проблема Используя коэффициенты матрицы

Входные параметры

`u0` — Начальное условие
вектор | вектор символов | символьный массив | строковый скаляр | представляет вектор в виде строки

`tlist` — Времена решения
вектор действительных чисел

`model` — Модель PDE
`PDEModel` объект

`c` — Коэффициент УЧП
скаляр | матрица | вектор символов | символьный массив | строковый скаляр | представляет вектор в виде строки | коэффициентная функция

`a` — Коэффициент УЧП
скаляр | матрица | вектор символов | символьный массив | строковый скаляр | представляет вектор в виде строки | коэффициентная функция

`f` — Коэффициент УЧП
скаляр | матрица | вектор символов | символьный массив | строковый скаляр | представляет вектор в виде строки | коэффициентная функция

`d` — Коэффициент УЧП
скаляр | матрица | вектор символов | символьный массив | строковый скаляр | представляет вектор в виде строки | коэффициентная функция

`b` Граничные условия
граничная матрица | массив данных граничных условий

`p` — Поймайте в сети точки
матрица

`e` — Поймайте в сети ребра
матрица

`t` — Поймайте в сети треугольники
матрица

`Kc` — Матрица жесткости
разреженная матрица | полная матрица

`Fc` — Вектор загрузки
вектор

`B` — Дирихле nullspace
разреженная матрица

`ud` — Вектор Дирихле
вектор

`M` — Большая матрица
разреженная матрица | полная матрица

`rtol` — Относительная погрешность для решателя ОДУ
`1e-3` (значение по умолчанию) | положительный действительный

`atol` — Абсолютная погрешность для решателя ОДУ
`1e-6` (значение по умолчанию) | положительный действительный

Выходные аргументы

`u` — Решение для УЧП
матрица

Алгоритмы

Сокращение параболических уравнений к эллиптическим уравнениям

Смотрите также

Документация Partial Differential Equation Toolbox

Поддержка

Документация

parabolic

Синтаксис

Описание

Примеры

Параболическое уравнение

Параболическое уравнение Используя традиционный синтаксис

Параболическая проблема Используя коэффициенты матрицы

Входные параметры

u0 — Начальное условие вектор | вектор символов | символьный массив | строковый скаляр | представляет вектор в виде строки

tlist — Времена решения вектор действительных чисел

model — Модель PDE PDEModel объект

c — Коэффициент УЧП скаляр | матрица | вектор символов | символьный массив | строковый скаляр | представляет вектор в виде строки | коэффициентная функция

a — Коэффициент УЧП скаляр | матрица | вектор символов | символьный массив | строковый скаляр | представляет вектор в виде строки | коэффициентная функция

f — Коэффициент УЧП скаляр | матрица | вектор символов | символьный массив | строковый скаляр | представляет вектор в виде строки | коэффициентная функция

d — Коэффициент УЧП скаляр | матрица | вектор символов | символьный массив | строковый скаляр | представляет вектор в виде строки | коэффициентная функция

b Граничные условия граничная матрица | массив данных граничных условий

p — Поймайте в сети точки матрица

e — Поймайте в сети ребра матрица

t — Поймайте в сети треугольники матрица

Kc — Матрица жесткости разреженная матрица | полная матрица

Fc — Вектор загрузки вектор

B — Дирихле nullspace разреженная матрица

ud — Вектор Дирихле вектор

M — Большая матрица разреженная матрица | полная матрица

rtol — Относительная погрешность для решателя ОДУ 1e-3 (значение по умолчанию) | положительный действительный

atol — Абсолютная погрешность для решателя ОДУ 1e-6 (значение по умолчанию) | положительный действительный

Выходные аргументы

u — Решение для УЧП матрица

Алгоритмы

Сокращение параболических уравнений к эллиптическим уравнениям

Смотрите также

Документация Partial Differential Equation Toolbox

Поддержка

`u0` — Начальное условие
вектор | вектор символов | символьный массив | строковый скаляр | представляет вектор в виде строки

`tlist` — Времена решения
вектор действительных чисел

`model` — Модель PDE
`PDEModel` объект

`c` — Коэффициент УЧП
скаляр | матрица | вектор символов | символьный массив | строковый скаляр | представляет вектор в виде строки | коэффициентная функция

`a` — Коэффициент УЧП
скаляр | матрица | вектор символов | символьный массив | строковый скаляр | представляет вектор в виде строки | коэффициентная функция

`f` — Коэффициент УЧП
скаляр | матрица | вектор символов | символьный массив | строковый скаляр | представляет вектор в виде строки | коэффициентная функция

`d` — Коэффициент УЧП
скаляр | матрица | вектор символов | символьный массив | строковый скаляр | представляет вектор в виде строки | коэффициентная функция

`b` Граничные условия
граничная матрица | массив данных граничных условий

`p` — Поймайте в сети точки
матрица

`e` — Поймайте в сети ребра
матрица

`t` — Поймайте в сети треугольники
матрица

`Kc` — Матрица жесткости
разреженная матрица | полная матрица

`Fc` — Вектор загрузки
вектор

`B` — Дирихле nullspace
разреженная матрица

`ud` — Вектор Дирихле
вектор

`M` — Большая матрица
разреженная матрица | полная матрица

`rtol` — Относительная погрешность для решателя ОДУ
`1e-3` (значение по умолчанию) | положительный действительный

`atol` — Абсолютная погрешность для решателя ОДУ
`1e-6` (значение по умолчанию) | положительный действительный

`u` — Решение для УЧП
матрица