Касательная плоская и нормальная линия неявной поверхности

Начиная с R2021b

В этом примере показано, как найти плоскость касательной и нормальную линию неявной поверхности. Этот пример использует переменные символьной матрицы (с symmatrix тип данных) для компактного математического обозначения.

Поверхность может быть задана неявно, такие как сфера $x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}$ . В общем случае неявно заданная поверхность описывается уравнением $f (x, y, z) = k$ . Этот пример находит плоскость касательной и нормальную линию сферы с радиусом $R = \sqrt{14}$ .

Создайте переменную символьной матрицы $r$ представлять $⟨ x, y, z ⟩$ координаты. Задайте шаровую функцию как $f (r) = r \cdot r$ .

clear; close all; clc
syms r [1 3] matrix
f = r*r.'

f =  $r r^{T}$

Неявное уравнение $f (r) = 14$ представляет сферу. Преобразуйте уравнение в syms тип данных с помощью symmatrix2sym. Постройте уравнение при помощи fimplicit3 функция.

feqn = symmatrix2sym(f == 14)

feqn =  ${r_{1, 1}}^{2} + {r_{1, 2}}^{2} + {r_{1, 3}}^{2} = 14$

fimplicit3(feqn)
axis equal
axis([-6 6 -6 6 -6 6])

Figure contains an axes object. The axes object contains an object of type implicitfunctionsurface.

Затем найдите касательную плоской и нормальной линией в точке $r_{0} = ⟨ x_{0}, y_{0}, z_{0} ⟩$ .

Вспомните что вектор градиента из $f$ $\nabla f (r) = ⟨ f_{x} (r), f_{y} (r), f_{z} (r) ⟩$ . Уравнение для плоскости касательной в точке $r_{0}$ затем дают $f_{x} (r_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (r_{0}) (y - y_{0}) + f_{z} (r_{0}) (z - z_{0}) = 0$ . В компактном математическом обозначении уравнение плоскости касательной может быть записано как $\nabla f (r_{0}) \cdot (r - r_{0}) = 0$ .

Найдите градиент $f (r)$ использование gradient функция. Обратите внимание на то, что результатом является переменная символьной матрицы 3 на 1.

fgrad = gradient(f,r)

fgrad =  $2 r^{T}$

size(fgrad)

ans = 1×2

     3     1

Определите уравнение для плоскости касательной. Используйте subs функция, чтобы оценить градиент в точке $r_{0} = ⟨ 1, - 2, 3 ⟩$ .

r0 = [-2,1,3];
fplane = (r-r0)*subs(fgrad,r,r0)

fplane = 
 $\begin{array}{l} 2 (- Σ_{1} + r) {Σ_{1}}^{T} \\ where \\ Σ_{1} = (\begin{array}{c} - 2 & 1 & 3 \end{array}) \end{array}$

Постройте точку $r_{0}$ использование plot3, и постройте плоскость касательной использование fimplicit3.

hold on
plot3(r0(1),r0(2),r0(3),'ro',MarkerSize = 10,MarkerFaceColor = 'r')
fimplicit3(symmatrix2sym(fplane == 0))

Figure contains an axes object. The axes object contains 3 objects of type implicitfunctionsurface, line.

Уравнение для нормальной линии в точке $r_{0}$ дают $n (t) = ⟨ x_{0}, y_{0}, z_{0} ⟩ + t ⟨ f_{x} (r_{0}), f_{y} (r_{0}), f_{z} (r_{0}) ⟩$ . В компактном математическом обозначении уравнение может быть записано как $n (t) = r_{0} + t \nabla f (r_{0})$ .

Определите уравнение для нормальной линии.

syms t
n = r0 + t*subs(fgrad,r,r0).'

n = 
 $\begin{array}{l} Σ_{1} + 2 t Σ_{1} \\ where \\ Σ_{1} = (\begin{array}{c} - 2 & 1 & 3 \end{array}) \end{array}$

Преобразуйте нормальное уравнение линии в syms тип данных с помощью symmatrix2sym. Извлеките параметрические кривые $x (t)$ , $y (t)$ , и $z (t)$ для нормальной линии путем индексации в n. Постройте нормальный график с помощью fplot3.

n = symmatrix2sym(n)

n =  $(\begin{array}{c} - 4 t - 2 & 2 t + 1 & 6 t + 3 \end{array})$

fplot3(n(1),n(2),n(3),[0 1],'r->')

Figure contains an axes object. The axes object contains 4 objects of type implicitfunctionsurface, line, parameterizedfunctionline.

Документация

Касательная плоская и нормальная линия неявной поверхности

Документация Symbolic Math Toolbox

Поддержка