Градиент скалярной функции f относительно векторного v вектор из первых частных производных f относительно каждого элемента v.

Найдите вектор градиента из f(x,y,z) относительно векторного [x,y,z]. Градиент является вектором с этими компонентами.

syms x y z
f(x,y,z) = 2*y*z*sin(x) + 3*x*sin(z)*cos(y);
gradient(f,[x,y,z])

ans(x, y, z) = 
$$\left(\begin{array}{c}3\hspace{0.17em}\cos \left(y\right)\hspace{0.17em}\sin \left(z\right)+2\hspace{0.17em}y\hspace{0.17em}z\hspace{0.17em}\cos \left(x\right)\\ 2\hspace{0.17em}z\hspace{0.17em}\sin \left(x\right)-3\hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}\sin \left(y\right)\hspace{0.17em}\sin \left(z\right)\\ 2\hspace{0.17em}y\hspace{0.17em}\sin \left(x\right)+3\hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}\cos \left(y\right)\hspace{0.17em}\cos \left(z\right)\end{array}\right)$$

Найдите градиент функционального f(x,y), и постройте его как дрожь (скорость) график.

Найдите вектор градиента из f(x,y) относительно векторного [x,y]. Градиентом является векторный g с этими компонентами.

syms x y
f = -(sin(x) + sin(y))^2;
g = gradient(f,[x,y])

g = 
$$\left(\begin{array}{c}-2\hspace{0.17em}\cos \left(x\right)\hspace{0.17em}\left(\sin \left(x\right)+\sin \left(y\right)\right)\\ -2\hspace{0.17em}\cos \left(y\right)\hspace{0.17em}\left(\sin \left(x\right)+\sin \left(y\right)\right)\end{array}\right)$$

Теперь постройте векторное поле, заданное этими компонентами. MATLAB® обеспечивает quiver функция построения графика для этой задачи. Функция не принимает символьные аргументы. Во-первых, замените символьные переменные в выражениях для компонентов g с числовыми значениями. Затем используйте quiver.

[X, Y] = meshgrid(-1:.1:1,-1:.1:1);
G1 = subs(g(1),[x y],{X,Y});
G2 = subs(g(2),[x y],{X,Y});
quiver(X,Y,G1,G2)

Начиная с R2021b

Используйте переменные символьной матрицы, чтобы задать умножение матриц, которое возвращает скаляр.

syms X Y [3 1] matrix
A = Y.'*X

A = $$Y^{\mathrm{T}}\hspace{0.17em}X$$

Найдите градиент умножения матриц относительно $$X$$.

gX = gradient(A,X)

gX = $$Y$$

Найдите градиент умножения матриц относительно $$Y$$.

gY = gradient(A,Y)

gY = $$X$$

Начиная с R2021b

Найдите градиент многомерной функции

относительно вектора $$x=[x_{1,1},x_{1,2},x_{1,3}]$$.

Используйте переменные символьной матрицы, чтобы описать функцию $$f$$ и его градиент в терминах вектора $$x$$.

syms x [1 3] matrix
f = sin(x)*sin(x).'

f = $$\sin \left(x\right)\hspace{0.17em}{\sin \left(x\right)}^{\mathrm{T}}$$

g = gradient(f,x)

g = $$2\hspace{0.17em}\left(\cos \left(x\right)\odot {\mathrm{I}}_3\right)\hspace{0.17em}{\sin \left(x\right)}^{\mathrm{T}}$$

Показать градиент в терминах элементов $$x$$, преобразуйте результат в вектор из символьных скалярных переменных с помощью symmatrix2sym.

g = symmatrix2sym(g)

g = 
$$\left(\begin{array}{c}2\hspace{0.17em}\cos \left(x_{1,1}\right)\hspace{0.17em}\sin \left(x_{1,1}\right)\\ 2\hspace{0.17em}\cos \left(x_{1,2}\right)\hspace{0.17em}\sin \left(x_{1,2}\right)\\ 2\hspace{0.17em}\cos \left(x_{1,3}\right)\hspace{0.17em}\sin \left(x_{1,3}\right)\end{array}\right)$$

В качестве альтернативы можно преобразовать $$f$$ и $$x$$ к символьным выражениям скалярных переменных и используют их в качестве входных параметров к gradient функция.

g = gradient(symmatrix2sym(f),symmatrix2sym(x))

g = 
$$\left(\begin{array}{c}2\hspace{0.17em}\cos \left(x_{1,1}\right)\hspace{0.17em}\sin \left(x_{1,1}\right)\\ 2\hspace{0.17em}\cos \left(x_{1,2}\right)\hspace{0.17em}\sin \left(x_{1,2}\right)\\ 2\hspace{0.17em}\cos \left(x_{1,3}\right)\hspace{0.17em}\sin \left(x_{1,3}\right)\end{array}\right)$$