svd

Сингулярное разложение символьной матрицы

Синтаксис

sigma = svd(A)

[U,S,V]
= svd(A)

[U,S,V]
= svd(A,0)

[U,S,V]
= svd(A,'econ')

[___] = svd(___,outputForm)

Описание

пример

sigma = svd(A) возвращает векторный sigma содержа сингулярные значения символьной матрицы A.

пример

[U,S,V] = svd(A) возвращает числовые унитарные матрицы U и V со столбцами, содержащими сингулярные векторы и диагональный матричный S содержа сингулярные значения. Матрицы удовлетворяют условию A = U*S*V', где V' Эрмитово, транспонируют (комплексное сопряженное транспонирование) V. Сингулярный векторный расчет использует арифметику переменной точности. svd не вычисляет символьные сингулярные векторы. Поэтому входная матрица A должно быть конвертируемым к числам с плавающей запятой. Например, это может быть матрица символьных чисел.

пример

[U,S,V] = svd(A,0) возвращает разложение размера экономики матричного A. Если A m- n матрица с m > nто svd вычисляет только первый n столбцы U и S n- n матрица. Для m <= n, этот синтаксис эквивалентен svd(A).

пример

[U,S,V] = svd(A,'econ') возвращает различное разложение размера экономики матричного A. Если A m- n матрица с m >= n, затем этот синтаксис эквивалентен svd(A,0). Для m < n, svd вычисляет только первый m столбцы V и S m- m матрица.

пример

[___] = svd(___,outputForm) возвращает сингулярные значения в форме, заданной outputForm использование любого из аргументов ввода или вывода в предыдущих синтаксисах. Задайте outputForm как 'vector' возвращать сингулярные значения как вектор-столбец или как 'matrix' возвращать сингулярные значения как диагональную матрицу. (начиная с R2021b)

Примеры

свернуть все

Сингулярные значения символьных чисел

Скрипт Open Live Script

Вычислите сингулярные значения символьного магического квадрата 5 на 5. Результатом является вектор-столбец.

A = sym(magic(5));
sigma = svd(A)

sigma = 
 $(\begin{array}{c} 65 \\ \sqrt{5} \sqrt{\sqrt{1345} + 65} \\ \sqrt{65} \sqrt{\sqrt{5} + 5} \\ \sqrt{65} \sqrt{5 - \sqrt{5}} \\ \sqrt{5} \sqrt{65 - \sqrt{1345}} \end{array})$

В качестве альтернативы задайте 'matrix' опция, чтобы возвратить сингулярные значения как диагональную матрицу.

S = svd(A,'matrix')

S = 
 $(\begin{array}{c} 65 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{5} \sqrt{\sqrt{1345} + 65} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{65} \sqrt{\sqrt{5} + 5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{65} \sqrt{5 - \sqrt{5}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{5} \sqrt{65 - \sqrt{1345}} \end{array})$

Сингулярные значения символьных выражений

Скрипт Open Live Script

Вычислите сингулярные значения матрицы, элементами которой являются символьные выражения.

syms t real
A = [0 1; -1 0];
E = expm(t*A)

E = 
 $(\begin{array}{c} \cos (t) & \sin (t) \\ - \sin (t) & \cos (t) \end{array})$

sigma = svd(E)

sigma = 
 $(\begin{array}{c} \sqrt{{\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2}} \\ \sqrt{{\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2}} \end{array})$

Упростите результат.

sigma = simplify(sigma)

sigma = 
 $(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array})$

Для дальнейших расчетов удалите предположение что t действительно путем воссоздания его с помощью syms.

syms t

Преобразуйте символьные сингулярные значения в числа с плавающей запятой

Скрипт Open Live Script

Создайте символьную матрицу 5 на 5 из магического квадрата порядка 6. Вычислите сингулярные значения матрицы с помощью svd.

M = magic(6);
A = sym(M(1:5,1:5));
sigma = svd(A)

sigma = 
 $\begin{array}{l} (\begin{array}{c} \sqrt{root (σ_{1}, z, 5)} \\ \sqrt{root (σ_{1}, z, 4)} \\ \sqrt{root (σ_{1}, z, 3)} \\ \sqrt{root (σ_{1}, z, 2)} \\ \sqrt{root (σ_{1}, z, 1)} \end{array}) \\ where \\ σ_{1} = z^{5} - 11357 z^{4} + 26691022 z^{3} - 17903673324 z^{2} + 979310921328 z - 1676258447616 \end{array}$

svd функция не может найти точные сингулярные значения в терминах символьных чисел. Вместо этого это возвращает их в терминах root функция.

Используйте vpa численно аппроксимировать сингулярные значения.

sigmaVpa = vpa(sigma)

sigmaVpa = 
 $(\begin{array}{c} 91.903382299388875598380645217105 \\ 41.667523645705677947038130902387 \\ 33.389311761352625550607303429805 \\ 7.6138651481371046117950798870896 \\ 1.3299296132187199146053915272808 \end{array})$

Сингулярные значения и сингулярные векторы

Скрипт Open Live Script

Вычислите сингулярные значения и сингулярные векторы из магического квадрата 5 на 5.

old = digits(10);
A = sym(magic(5))

A = 
 $(\begin{array}{c} 17 & 24 & 1 & 8 & 15 \\ 23 & 5 & 7 & 14 & 16 \\ 4 & 6 & 13 & 20 & 22 \\ 10 & 12 & 19 & 21 & 3 \\ 11 & 18 & 25 & 2 & 9 \end{array})$

[U,S,V] = svd(A)

U = 
 $(\begin{array}{c} 0.4472135955 & 0.5456348731 & 0.5116672736 & - 0.1954395076 & - 0.4497583632 \\ 0.4472135955 & 0.4497583632 & - 0.1954395076 & 0.5116672736 & 0.5456348731 \\ 0.4472135955 & - 1.547164189e-27 & - 0.632455532 & - 0.632455532 & 1.213456644e-27 \\ 0.4472135955 & - 0.4497583632 & - 0.1954395076 & 0.5116672736 & - 0.5456348731 \\ 0.4472135955 & - 0.5456348731 & 0.5116672736 & - 0.1954395076 & 0.4497583632 \end{array})$

S = 
 $(\begin{array}{c} 65.0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 22.54708869 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 21.68742536 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 13.403566 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 11.90078954 \end{array})$

V = 
 $(\begin{array}{c} 0.4472135955 & 0.4045164361 & 0.2465648962 & 0.6627260007 & 0.3692782866 \\ 0.4472135955 & 0.005566159714 & 0.6627260007 & - 0.2465648962 & - 0.5476942741 \\ 0.4472135955 & - 0.8201651916 & 1.767621593e-27 & 9.706484055e-28 & 0.3568319751 \\ 0.4472135955 & 0.005566159714 & - 0.6627260007 & 0.2465648962 & - 0.5476942741 \\ 0.4472135955 & 0.4045164361 & - 0.2465648962 & - 0.6627260007 & 0.3692782866 \end{array})$

digits(old)

Вычислите продукт US, и Эрмитовы транспонируют V с 10-разрядной точностью. Результатом является исходный матричный A со всеми его элементами, преобразованными в числа с плавающей запятой.

vpa(U*S*V',10)

ans = 
 $(\begin{array}{c} 17.0 & 24.0 & 1.0 & 8.0 & 15.0 \\ 23.0 & 5.0 & 7.0 & 14.0 & 16.0 \\ 4.0 & 6.0 & 13.0 & 20.0 & 22.0 \\ 10.0 & 12.0 & 19.0 & 21.0 & 3.0 \\ 11.0 & 18.0 & 25.0 & 2.0 & 9.0 \end{array})$

Тонкий или экономика SVD

Скрипт Open Live Script

Вычислите полные разложения и разложения размера экономики прямоугольной матрицы в 8-разрядной точности.

old = digits(8);
A = sym([1 2; 3 4; 5 6; 7 8])

A = 
 $(\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array})$

[U,S,V] = svd(A)

U = 
 $(\begin{array}{c} 0.15248323 & - 0.82264747 & - 0.39450102 & - 0.37995913 \\ 0.34991837 & - 0.42137529 & 0.24279655 & 0.80065588 \\ 0.54735351 & - 0.020103103 & 0.69790998 & - 0.46143436 \\ 0.74478865 & 0.38116908 & - 0.5462055 & 0.040737612 \end{array})$

S = 
 $(\begin{array}{c} 14.269095 & 0 \\ 0 & 0.62682823 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array})$

V = 
 $(\begin{array}{c} 0.64142303 & 0.7671874 \\ 0.7671874 & - 0.64142303 \end{array})$

[U,S,V] = svd(A,'econ')

U = 
 $(\begin{array}{c} 0.15248323 & - 0.82264747 \\ 0.34991837 & - 0.42137529 \\ 0.54735351 & - 0.020103103 \\ 0.74478865 & 0.38116908 \end{array})$

S = 
 $(\begin{array}{c} 14.269095 & 0 \\ 0 & 0.62682823 \end{array})$

V = 
 $(\begin{array}{c} 0.64142303 & 0.7671874 \\ 0.7671874 & - 0.64142303 \end{array})$

digits(old)

Начиная с A 4 2 матрица, svd(A,'econ') возвращает меньше столбцов в U и меньше строк в S по сравнению с полным разложением. Дополнительные строки нулей в S исключены, наряду с соответствующими столбцами в U это умножило бы с теми нулями в выражении A = U*S*V'.

Входные параметры

свернуть все

`A` — Введите матрицу
символьная матрица

Введите матрицу в виде символьной матрицы. Для синтаксисов с одним выходным аргументом, элементами A могут быть символьные числа, переменные, выражения или функции. Для синтаксисов с тремя выходными аргументами, элементами A должно быть конвертируемым к числам с плавающей запятой.

`outputForm` — Выходной формат сингулярных значений
`'vector'` | `'matrix'`

Начиная с R2021b

Выходной формат сингулярных значений в виде 'vector' или 'matrix'. Эта опция позволяет вам задавать, возвращены ли сингулярные значения как вектор-столбец или диагональная матрица. Поведение по умолчанию варьируется согласно количеству заданных выходных параметров:

Если вы задаете тот выход, такой как sigma = svd(A), затем сингулярные значения возвращены как вектор-столбец по умолчанию.
Если вы задаете три выходных параметров, такие как [U,S,V] = svd(A), затем сингулярные значения возвращены как диагональная матрица, S, по умолчанию.

Выходные аргументы

свернуть все

`sigma` Сингулярные значения
символьный вектор | вектор из символьных чисел

Сингулярные значения матрицы, возвращенной как вектор. Если sigma вектор из чисел, затем его элементы сортируются в порядке убывания.

`U` — Сингулярные векторы
матрица символьных чисел

Сингулярные векторы, возвращенные как унитарная матрица. Каждый столбец этой матрицы является сингулярным вектором.

`S` Сингулярные значения
матрица символьных чисел

Сингулярные значения, возвращенные как диагональная матрица. Диагональные элементы этой матрицы появляются в порядке убывания.

`V` — Сингулярные векторы
матрица символьных чисел

Советы

Вторые аргументы 0 и 'econ' только влияйте на форму возвращенных матриц. Эти аргументы не влияют на эффективность расчетов.
Вызов svd для числовых матриц, которые не являются символьными объектами, вызывает MATLAB^® svd функция.
Матричные расчеты, включающие много символьных переменных, могут быть медленными. Чтобы увеличить вычислительную скорость, сократите количество символьных переменных путем заменения данными значениями некоторые переменные.

Вопросы совместимости

развернуть все

`sigma = svd(A)` возвращает сингулярные значения в терминах `root` функция

Поведение изменяется в R2021b

Если sigma = svd(A) не может найти точные сингулярные значения в терминах символьных чисел, это теперь возвращает точные сингулярные значения в терминах root функцию вместо этого. В предыдущих релизах, sigma = svd(A) возвращает сингулярные значения как числа с плавающей запятой.

Например, вычислите сингулярные значения символьной матрицы 5 на 5. svd функция возвращает точные сингулярные значения в терминах root функция. Это сопоставимо с результатами, возвращенными solve или root функционируйте при решении для корней полинома.

M = magic(6);
A = sym(M(1:5,1:5));
sigma = svd(A)

sigma =
root(z^5 - 11357*z^4 + 26691022*z^3 - 17903673324*z^2 + 979310921328*z - 1676258447616, z, 5)^(1/2)
root(z^5 - 11357*z^4 + 26691022*z^3 - 17903673324*z^2 + 979310921328*z - 1676258447616, z, 4)^(1/2)
root(z^5 - 11357*z^4 + 26691022*z^3 - 17903673324*z^2 + 979310921328*z - 1676258447616, z, 3)^(1/2)
root(z^5 - 11357*z^4 + 26691022*z^3 - 17903673324*z^2 + 979310921328*z - 1676258447616, z, 2)^(1/2)
root(z^5 - 11357*z^4 + 26691022*z^3 - 17903673324*z^2 + 979310921328*z - 1676258447616, z, 1)^(1/2)

Используйте vpa численно аппроксимировать сингулярные значения.

sigmaVpa = vpa(sigma)

sigmaVpa =
91.903382299388875598380645217105
41.667523645705677947038130902387
33.389311761352625550607303429805
7.6138651481371046117950798870896
1.3299296132187199146053915272808

Смотрите также

chol | digits | eig | lu | inv | qr | svd | vpa

Темы

Сингулярное разложение

Представлено до R2006a

Документация

svd

Синтаксис

Описание

Примеры

Сингулярные значения символьных чисел

Сингулярные значения символьных выражений

Преобразуйте символьные сингулярные значения в числа с плавающей запятой

Сингулярные значения и сингулярные векторы

Тонкий или экономика SVD

Входные параметры

`A` — Введите матрицу
символьная матрица

`outputForm` — Выходной формат сингулярных значений
`'vector'` | `'matrix'`

Выходные аргументы

`sigma` Сингулярные значения
символьный вектор | вектор из символьных чисел

`U` — Сингулярные векторы
матрица символьных чисел

`S` Сингулярные значения
матрица символьных чисел

`V` — Сингулярные векторы
матрица символьных чисел

Советы

Вопросы совместимости

`sigma = svd(A)` возвращает сингулярные значения в терминах `root` функция

Смотрите также

Темы

Документация Symbolic Math Toolbox

Поддержка

Документация

svd

Синтаксис

Описание

Примеры

Сингулярные значения символьных чисел

Сингулярные значения символьных выражений

Преобразуйте символьные сингулярные значения в числа с плавающей запятой

Сингулярные значения и сингулярные векторы

Тонкий или экономика SVD

Входные параметры

A — Введите матрицу символьная матрица

outputForm — Выходной формат сингулярных значений 'vector' | 'matrix'

Выходные аргументы

sigma Сингулярные значения символьный вектор | вектор из символьных чисел

U — Сингулярные векторы матрица символьных чисел

S Сингулярные значения матрица символьных чисел

V — Сингулярные векторы матрица символьных чисел

Советы

Вопросы совместимости

sigma = svd(A) возвращает сингулярные значения в терминах root функция

Смотрите также

Темы

Документация Symbolic Math Toolbox

Поддержка

`A` — Введите матрицу
символьная матрица

`outputForm` — Выходной формат сингулярных значений
`'vector'` | `'matrix'`

`sigma` Сингулярные значения
символьный вектор | вектор из символьных чисел

`U` — Сингулярные векторы
матрица символьных чисел

`S` Сингулярные значения
матрица символьных чисел

`V` — Сингулярные векторы
матрица символьных чисел

`sigma = svd(A)` возвращает сингулярные значения в терминах `root` функция