Создайте 3 3 квадратную матрицу, A.

A = [1 -2 4; -5 2 0; 1 0 3]

A = 3×3

     1    -2     4
    -5     2     0
     1     0     3

Вычислите детерминант A.

d = det(A)

d = -32

Исследуйте, почему детерминант не является точной мерой особенности.

Создайте 10 10 матрица путем умножения единичной матрицы, eye(10), небольшим числом.

A = eye(10)*0.0001;

Матричный A имеет очень маленькие записи по основной диагонали. Однако A не сингулярен, потому что он является кратным единичной матрице.

Вычислите детерминант A.

d = det(A)

d = 1.0000e-40

Детерминант является чрезвычайно маленьким. Тест допуска формы abs(det(A)) < tol, вероятно, отметит эту матрицу как сингулярную. Несмотря на то, что детерминант матрицы близко к нулю, A на самом деле плохо не обусловливается. Поэтому A не близко к тому, чтобы быть сингулярным. Детерминант матрицы может быть произвольно близко к нулю, не передавая информацию об особенности.

Чтобы заняться расследованиями, если A сингулярен, используйте или cond или функции rcond.

Вычислите количество условия A.

c = cond(A)

c = 1

Результат подтверждает, что A плохо не обусловливается.

Исследуйте, как вычислить детерминант матричного обратного A^(-1), для плохо обусловленного матричного A, явным образом не вычисляя A^(-1).

Создайте 10 10 Гильбертову матрицу, A.

A = hilb(10);

Найдите количество условия A.

c = cond(A)

c = 1.6025e+13

Большой номер условия предполагает, что A близко к тому, чтобы быть сингулярным, настолько вычисляющий inv(A) может привести к неточным результатам. Поэтому обратное определяющее вычисление det(inv(A)) также неточно.

Вычислите детерминант инверсии A путем использования факта это

d1 = 1/det(A)

d1 = 4.6202e+52

Этот метод старается не вычислять инверсию матрицы, A.

Вычислите детерминант точной инверсии Гильбертовой матрицы, A, с помощью invhilb. Сравните результат с d1, чтобы найти относительную погрешность в d1.

d = det(invhilb(10));
relError = abs(d1-d)/abs(d)

relError = 1.0443e-04

Относительная погрешность в d1 является довольно небольшой. Предотвращение явного вычисления инверсии A минимизирует его.

Для сравнения также вычислите детерминант инверсии A путем явного вычисления инверсии. Сравните результат с d, чтобы видеть относительную погрешность.

d2 = det(inv(A));
relError2 = abs(d2-d)/abs(d)

relError2 = 2.2039e-05

Относительная погрешность в вычислении d2 является многими порядками величины, больше, чем тот из d1.

Исследуйте матрицу, которая точно сингулярна, но которая имеет большой ненулевой детерминант. В теории детерминант любой сингулярной матрицы является нулем, но из-за природы вычисления с плавающей точкой, этот идеал не всегда достижим.

Создайте 13 13 по диагонали доминирующую сингулярную матрицу, A.

A = diag([24 46 64 78 88 94 96 94 88 78 64 46 24]);
S = diag([-13 -24 -33 -40 -45 -48 -49 -48 -45 -40 -33 -24],1);
A = A + S + rot90(S,2)

A = 13×13

    24   -13     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
   -24    46   -24     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
     0   -33    64   -33     0     0     0     0     0     0     0     0     0
     0     0   -40    78   -40     0     0     0     0     0     0     0     0
     0     0     0   -45    88   -45     0     0     0     0     0     0     0
     0     0     0     0   -48    94   -48     0     0     0     0     0     0
     0     0     0     0     0   -49    96   -49     0     0     0     0     0
     0     0     0     0     0     0   -48    94   -48     0     0     0     0
     0     0     0     0     0     0     0   -45    88   -45     0     0     0
     0     0     0     0     0     0     0     0   -40    78   -40     0     0
      ⋮

A сингулярен, потому что строки линейно зависят. Например, sum(A) производит вектор нулей.

Вычислите детерминант A.

d = det(A)

d = 1.0597e+05

Детерминант A является довольно большим несмотря на то, что A сингулярен. На самом деле детерминант A должен быть точно нулем! Погрешность d происходит из-за агрегации ошибок округления в реализации MATLAB® разложения LU, который использование det вычислить детерминант. Этот результат демонстрирует несколько важных аспектов вычисления числовых детерминантов. Дополнительную информацию см. в разделе Limitations.