Численно оцените двойной интеграл — размещенный рядом метод
q = quad2d(fun,a,b,c,d)q = quad2d(fun,a,b,c,d,Name,Value)[q,E] = quad2d(___)q = quad2d(fun,a,b,c,d) fun(x,y) по плоской области и . Границы c и d могут каждый быть скалярами или указателями на функцию.
q = quad2d(fun,a,b,c,d,Name,Value) Name,Value. Например, можно задать 'AbsTol' и 'RelTol', чтобы настроить пороги ошибок, которые должен удовлетворить алгоритм.
[q,E] = quad2d(___)
Интегрироваться
и
.
fun = @(x,y) y.*sin(x)+x.*cos(y); Q = quad2d(fun,pi,2*pi,0,pi)
Q = -9.8696
Сравните результат с истинным значением интеграла
.
-pi^2
ans = -9.8696
Интегрируйте функцию
по области
и
. Это подынтегральное выражение бесконечно в начале координат (0,0), который находится на контуре области интегрирования.
fun = @(x,y) 1./(sqrt(x + y) .* (1 + x + y).^2 ); ymax = @(x) 1 - x; Q = quad2d(fun,0,1,0,ymax)
Q = 0.2854
Истинное значение интеграла
.
pi/4 - 0.5
ans = 0.2854
Ограничения quad2dquad2d начинается путем отображения области интегрирования с прямоугольником. Следовательно, это может испытать затруднения при интеграции по поводу области, которая не имеет четырех сторон или имеет сторону, которая не может быть сопоставлена гладко с прямой линией. Если интегрирование неудачно, некоторая полезная тактика оставляет набор Singular его значению по умолчанию true, изменяясь между Декартовыми и полярными координатами, или ломая область интегрирования на кусочки и добавляя результаты интегрирования по частям.
Например:
fun = @(x,y)abs(x.^2 + y.^2 - 0.25); c = @(x)-sqrt(1 - x.^2); d = @(x)sqrt(1 - x.^2); quad2d(fun,-1,1,c,d,'AbsTol',1e-8,... 'FailurePlot',true,'Singular',false);
Warning: Reached the maximum number of function evaluations (2000). The result fails the global error test.
График отказа показывает две области трудности около точек (-1,0) и (1,0) и около круга
.
Изменение значения Singular к true справится с геометрическими особенностями в (-1,0) и (1,0). Большие заштрихованные области, возможно, нуждаются в улучшении, но являются, вероятно, не областями трудности.
Q = quad2d(fun,-1,1,c,d,'AbsTol',1e-8, ... 'FailurePlot',true,'Singular',true);
Warning: Reached the maximum number of function evaluations (2000). The result passes the global error test.
Отсюда можно использовать в своих интересах симметрию:
Q = 4*quad2d(fun,0,1,0,d,'Abstol',1e-8,... 'Singular',true,'FailurePlot',true)
Q = 0.9817
Однако код все еще очень упорно работает около особенности. Это не может смочь обеспечить более высокую точность:
Q = 4*quad2d(fun,0,1,0,d,'Abstol',1e-10,... 'Singular',true,'FailurePlot',true);
Warning: Reached the maximum number of function evaluations (2000). The result passes the global error test.
В более высокой точности изменение в координатах может работать лучше.
polarfun = @(theta,r) fun(r.*cos(theta),r.*sin(theta)).*r;
Q = 4*quad2d(polarfun,0,pi/2,0,1,'AbsTol',1e-10);Лучше помещать особенность на контур путем разделения области интегрирования в две части:
Q1 = 4*quad2d(polarfun,0,pi/2,0,0.5,'AbsTol',5e-11); Q2 = 4*quad2d(polarfun,0,pi/2,0.5,1,'AbsTol',5e-11); Q = Q1 + Q2;
[1] L.F. Шемпин, "Программа MATLAB для Квадратуры в 2D". Прикладная математика и Вычисление. Издание 202, Выпуск 1, 2008, стр 266–274.