kalman

Проект фильтра Калмана, Оценка состояния фильтра Калмана

Синтаксис

[kest,L,P] = kalman(sys,Qn,Rn,Nn) [kest,L,P] = kalman(sys,Qn,Rn,Nn,sensors,known) [kest,L,P,M,Z] = kalman(sys,Qn,Rn,...,type)

Описание

kalman разрабатывает средство оценки состояния Фильтра Калмана или Кальмана, учитывая модель в пространстве состояний объекта и данных о ковариации шума процесса и измерения. Оценка состояния фильтра Калмана предоставляет оптимальное решение следующих непрерывных или дискретных проблем оценки.

Непрерывно-разовая оценка

Учитывая непрерывный объект

$\begin{array}{l} \dot{x} = A x + B u + G w (state equation) \\ y = C x + D u + H w + v (measurement equation) \end{array}$

с известными входными параметрами u, белый шум процесса w и белый шум измерения удовлетворение v

$E (w) = E (v) = 0, E (w w^{T}) = Q, E (v v^{T}) = R, E (w v^{T}) = N$

создайте оценку состояния $\hat{x} (t)$ это минимизирует установившуюся ошибочную ковариацию
$P = \lim_{t \to \infty}$ $E ({x - \hat{x}} {x - \hat{x}}^{T})$

Оптимальным решением является Фильтр Калмана с уравнениями

$\begin{array}{l} \dot{\hat{x}} = A \hat{x} + B u + L (y - C \hat{x} - D u) \\ [\begin{matrix} \hat{y} \\ \hat{x} \end{matrix}] = [\begin{matrix} C \\ I \end{matrix}] \hat{x} + [\begin{matrix} D \\ 0 \end{matrix}] u \end{array}$

Усиление фильтра L определяется путем решения алгебраического уравнения Riccati, чтобы быть

$L = (P C^{T} + \bar{N}) {\bar{R}}^{- 1}$

где

$\begin{array}{l} \bar{R} = R + H N + N^{T} H^{T} + H Q H^{T} \\ \bar{N} = G (Q H^{T} + N) \end{array}$

и P решает соответствующее алгебраическое уравнение Riccati.

Средство оценки использует известные входные параметры u и измерения y, чтобы сгенерировать вывод и оценки состояния $\hat{y}$ и $\hat{x}$ . Обратите внимание на то, что $\hat{y}$ оценивает истинный объект вывод

$y = C x + D u + H w + v$

Оценка дискретного времени

Учитывая дискретный объект

$\begin{array}{l} x [n + 1] = A x [n] + B u [n] + G w [n] \\ y [n] = C x [n] + D u [n] + H w [n] + v [n] \end{array}$

и шумовые данные о ковариации

$E (w [n] w {[n]}^{T}) = Q, E (v [n] v {[n]}^{T}) = R, E (w [n] v {[n]}^{T}) = N$

Средство оценки имеет следующее уравнение состояния:

$\hat{x} [n + 1 | n] = A \hat{x} [n | n - 1] + B u [n] + L (y [n] - C \hat{x} [n | n - 1] - D u [n])$

Матрица усиления L выведена путем решения дискретного уравнения Riccati, чтобы быть

$L = (A P C^{T} + \bar{N}) {(C P C^{T} + \bar{R})}^{- 1}$

где

$\begin{array}{l} \bar{R} = R + H N + N^{T} H^{T} + H Q H^{T} \\ \bar{N} = G (Q H^{T} + N) \end{array}$

Существует два варианта Оценок состояния фильтра Калмана дискретного времени:

Текущее средство оценки генерирует выходные оценки $\hat{y} [n | n]$ и оценки состояния $\hat{x} [n | n]$ использование всех доступных измерений до $y [n]$ . Это средство оценки имеет выходное уравнение

$[\begin{matrix} \hat{y} [n | n] \\ \hat{x} [n | n] \end{matrix}] = [\begin{matrix} (I - M_{y}) C \\ I - M_{x} C \end{matrix}] \hat{x} [n | n - 1] + [\begin{matrix} (I - M_{y}) D & M_{y} \\ - M_{x} D & M_{x} \end{matrix}] [\begin{matrix} u [n] \\ y [n] \end{matrix}],$
где инновации получают _Mx, и _My заданы как:

$\begin{matrix} M_{x} = P C^{T} {(C P C^{T} + \bar{R})}^{- 1}, \\ M_{y} = (C P C^{T} + H Q H^{T} + H N) {(C P C^{T} + \bar{R})}^{- 1} . \end{matrix}$
_Mx обновляет прогноз $\hat{x} [n | n - 1]$ использование нового измерения $y [n]$ .

$\hat{x} [n | n] = \hat{x} [n | n - 1] + M_{x} \underset{i n n o v a t i o n}{\underset{︸}{(y [n] - C \hat{x} [n | n - 1] - D u [n])}} .$
Когда H = 0, $M_{y} = C M_{x}$ и $y [n | n] = C x [n | n] + D u [n]$ .
Задержанное средство оценки генерирует выходные оценки $\hat{y} [n | n - 1]$ и оценки состояния $\hat{x} [n | n - 1]$ использование измерений только до _yv [n –1]. Это средство оценки легче реализовать внутренние циклы управления и имеет выходное уравнение

$[\begin{matrix} \hat{y} [n | n - 1] \\ \hat{x} [n | n - 1] \end{matrix}] = [\begin{matrix} C \\ I \end{matrix}] \hat{x} [n | n - 1] + [\begin{matrix} D \\ 000 \end{matrix}] [\begin{matrix} u [n] \\ y [n] \end{matrix}]$

[kest,L,P] = kalman(sys,Qn,Rn,Nn) создает модель в пространстве состояний kest Оценки состояния фильтра Калмана, учитывая модель объекта управления sys и шумовые данные о ковариации Qn, Rn, Nn (матрицы Q, R, N, описанный в Описании). sys должен быть моделью в пространстве состояний с матрицами $A, [B G], C, [D H]$ .

Получившееся средство оценки kest имеет входные параметры $[u; y]$ и выходные параметры $[\hat{y}; \hat{x}]$ (или их дубликаты дискретного времени). Можно не использовать последний входной параметр Nn когда N = 0.

Функциональный kalman решает и непрерывные и дискретные проблемы и производит непрерывное средство оценки, когда sys непрерывен и дискретное средство оценки в противном случае. В непрерывное время также возвращается kalman, Кальман получают L и установившуюся ошибочную ковариационную матрицу P. P решает связанное уравнение Riccati.

[kest,L,P] = kalman(sys,Qn,Rn,Nn,sensors,known) обрабатывает более общую ситуацию когда

Не все выходные параметры sys измеряются.
Входные параметры воздействия w не являются последними входными параметрами sys.

Индексные векторы, которые задают sensors и known, который измеряются выходные параметры y sys и который вводит u, известны (детерминированные). Все другие входные параметры sys приняты стохастические.

[kest,L,P,M,Z] = kalman(sys,Qn,Rn,...,type) задает тип средства оценки для объектов дискретного времени sys. Аргументом type является или 'current' (значение по умолчанию) или 'delayed'. Для объектов дискретного времени kalman возвращает средство оценки, и инновации получают L и M и установившиеся ошибочные ковариации

$\begin{array}{l} P = \lim_{n \to \infty} E (e [n | n - 1] e [^{n | n - 1] T}), e [n | n - 1] = x [n] - x [n | n - 1] \\ Z = \lim_{n \to \infty} E (e [n | n] e [^{n | n] T}), e [n | n] = x [n] - x [n | n] \end{array}$

Примеры

См. Проект LQG для оси X и Кальмана Филтеринга для примеров, которые используют функцию kalman.

Ограничения

Объект и шумовые данные должны удовлетворить:

(C, A) обнаруживаемый
$\bar{R} > 0$ и $\bar{Q} - \bar{N} {\bar{R}}^{- 1} {\bar{N}}^{T} \geq 0$
$(A - \bar{N} {\bar{R}}^{- 1} C, \bar{Q} - \bar{N} {\bar{R}}^{- 1} {\bar{N}}^{T})$ не имеет никакого неконтролируемого режима на мнимой оси (или модульный круг в дискретное время) с обозначением

$\begin{array}{l} \bar{Q} = G Q G^{T} \\ \bar{R} = R + H N + N^{T} H^{T} + H Q H^{T} \\ \bar{N} = G (Q H^{T} + N) \end{array}$

Ссылки

[1] Франклин, G.F., степень доктора юридических наук Пауэлл и M.L. Рабочий, цифровое управление динамических систем, второго выпуска, Аддисона-Уэсли, 1990.

[2] Льюис, F., оптимальная оценка, John Wiley & Sons, Inc, 1986.

[3] Deshpande, A.S., "Устраняя Разрыв в Прикладном Кальмане Филтеринге: Оценка Выводит, Когда Измерения Коррелируются с Шумом Процесса". Журнал Систем управления IEEE, Издание 37, Номер 3, 2017, стр 87–93.

Документация

kalman

Синтаксис

Описание

Примеры

Ограничения

Ссылки

Смотрите также

Темы

Представлено до R2006a

Документация Control System Toolbox

Поддержка