Индексы пассивности

Скрипт Open Live Script

Этот пример показывает, как вычислить различные меры пассивности для линейных независимых от времени систем.

Пассивные системы

Линейная система G (s) пассивна когда все траектории ввода-вывода $(u (t), y (t))$ удовлетворить

$\int_{0}^{T} y^{T} (t) u (t) d t > 0, \forall T > 0$

где $y^{T} (t)$ обозначает транспонирование $y (t)$ .

Чтобы измериться, "насколько пассивный" система, мы используем индексы пассивности.

Входной индекс пассивности задан как самое большое $ν$ таким образом, что

$\int_{0}^{T} y^{T} (t) u (t) d t > ν \int_{0}^{T} u^{T} (t) u (t)) d t$

Система G "вводится строго пассивная" (ISP) когда $ν > 0$ . $ν$ также называется "входом feedforward, пассивность" (IFP) индексируют, и соответствует минимуму feedforward, действие должно было сделать систему пассивной.

Выходной индекс пассивности задан как самое большое $ρ$ таким образом, что

$\int_{0}^{T} (y^{T} (t) u (t) d t > ρ \int_{0}^{T} y^{T} (t) y (t)) d t$

Система G "выводится строго пассивная" (OSP) когда $ρ > 0$ . $ρ$ также называется "выходная пассивность обратной связи" (OFP) индексируют, и соответствует минимальному действию обратной связи, должен был сделать систему пассивной.

Индекс пассивности ввода-вывода задан как самое большое $τ$ таким образом, что

$\int_{0}^{T} y^{T} (t) u (t) d t > τ \int_{0}^{T} (u^{T} (t) u (t) + y^{T} (t) y (t)) d t$

Система "очень строго пассивна" (VSP) если $τ > 0$ .

Пример схемы

Рассмотрите следующий пример. Мы берем ток $I$ как вход и напряжение $V$ как вывод. На основе тока Кирхгоффа и закона о напряжении, мы получаем передаточную функцию для $G (s)$ ,

$G (s) = \frac{V (s)}{I (s)} = \frac{(L s + R) (R s + \frac{1}{C})}{L s^{2} + 2 R s + \frac{1}{C}} .$

Пусть $R = 2$ , $L = 1$ и $C = 0.1$ .

R = 2; L = 1; C = 0.1; 
s = tf('s');
G = (L*s+R)*(R*s+1/C)/(L*s^2 + 2*R*s+1/C);

Используйте isPassive, чтобы проверять ли $G (s)$ пассивно.

PF = isPassive(G)

PF = logical
   1

Начиная с PF = верный, $G (s)$ пассивно. Используйте getPassiveIndex, чтобы вычислить индексы пассивности $G (s)$ .

% Input passivity index
nu = getPassiveIndex(G,'in')

nu = 2

% Output passivity index
rho = getPassiveIndex(G,'out')

rho = 0.2857

% I/O passivity index
tau = getPassiveIndex(G,'io')

tau = 0.2642

С тех пор $τ > 0$ , система $G (s)$ очень строго пассивно.

Характеристика частотного диапазона

Линейная система пассивна, если и только если это "положительно действительный":

$G (j ω) + G^{H} (j ω) > 0 \forall ω \in R .$

Самое маленькое собственное значение левой стороны связано с входным индексом пассивности $ν$ :

$ν = \frac{1}{2} \min_{ω} λ_{\min} (G (j ω) + G^{H} (j ω))$

где $λ_{\min}$ обозначает самое маленькое собственное значение. Точно так же, когда $G (s)$ минимальная фаза, выходным индексом пассивности дают:

$ρ = \frac{1}{2} \min_{ω} λ_{\min} (G^{- 1} (j ω) + G^{- H} (j ω)) .$

Проверьте это для примера схемы. Постройте годограф Найквиста передаточной функции схемы.

nyquist(G)

Целый годограф Найквиста находится в правой полуплоскости так $G (s)$ положителен действительный. Крайняя левая точка на кривой Найквиста $(x, y) = (2, 0)$ таким образом, входной индекс пассивности $ν = 2$ , то же значение мы получили ранее. Точно так же крайняя левая точка на Найквисте изгибается для $G^{- 1} (s)$ дает выходное индексное значение пассивности $ρ = 0 . 286$ .

Относительный индекс пассивности

Можно показать что "положительное действительное" условие

$G (j ω) + G^{H} (j ω) > 0 \forall ω \in R$

эквивалентно небольшому условию усиления

$| | (I - G (j ω)) (I + G (j ω))^{- 1} | | < 1 \forall ω \in R .$

Относительный индекс пассивности (R-индекс) является пиковым усилением по частоте $(I - G) (I + G)^{- 1}$ когда $I + G$ минимальная фаза, и $+ \infty$ в противном случае:

$R = {‖ (I - G) (I + G)^{- 1} ‖}_{\infty} .$

Во временном интервале R-индекс является самым маленьким $r > 0$ таким образом, что

$\int_{0}^{T} | | y - u | |^{2} d t < r^{2} \int_{0}^{T} | | y + u | |^{2} d t$

Система $G (s)$ пассивно если и только если $R < 1$ , и меньшее $R$ более пассивное, которое система. Используйте getPassiveIndex, чтобы вычислить R-индекс для примера схемы.

R = getPassiveIndex(G)

R = 0.5556

Получившееся $R$ значение указывает, что схема является очень пассивной системой.

Смотрите также

getPassiveIndex | isPassive

Документация