Проведите тест множителя Лагранжа

Этот пример показывает, как вычислить необходимые входные параметры для проведения теста множителя Лагранжа (LM) с lmtest. Тест LM сравнивает припадок ограниченной модели с неограниченной моделью путем тестирования, существенно отличается ли градиент loglikelihood функции неограниченной модели, оцененной в ограниченных оценках наибольшего правдоподобия (MLEs), от нуля.

Необходимые входные параметры для lmtest являются функцией счета и оценкой неограниченной ковариационной матрицы отклонения, оцененной в ограниченном MLEs. Этот пример сравнивает припадок модели AR (1) с моделью AR (2).

Шаг 1. Вычислите ограниченный MLE.

Получите ограниченный MLE путем подбора кривой модели AR (1) (с Гауссовым инновационным распределением) к определенным данным. Примите, что у вас есть преддемонстрационные наблюдения ( $y_{- 1}$ , $y_{0}$ ) = (9.6249,9.6396).

Y = [10.1591; 10.1675; 10.1957; 10.6558; 10.2243; 10.4429;
     10.5965; 10.3848; 10.3972;  9.9478;  9.6402;  9.7761;
     10.0357; 10.8202; 10.3668; 10.3980; 10.2892;  9.6310;
      9.6318;  9.1378;  9.6318;  9.1378];
Y0 = [9.6249; 9.6396];

model = arima(1,0,0);
fit = estimate(model,Y,'Y0',Y0);

 
    ARIMA(1,0,0) Model (Gaussian Distribution):
 
                 Value     StandardError    TStatistic     PValue  
                _______    _____________    __________    _________

    Constant     3.2999        2.4606         1.3411        0.17988
    AR{1}       0.67097       0.24635         2.7237      0.0064564
    Variance    0.12506      0.043015         2.9074      0.0036441

При проведении теста LM только ограниченная модель должна быть подходящей.

Шаг 2. Вычислите матрицу градиента.

Оцените ковариационную матрицу отклонения для неограниченной модели AR (2) с помощью векторного произведения градиентов (OPG) метод.

Для модели AR (2) с Гауссовыми инновациями вклад в loglikelihood функционирует во время $t$ дают

$журнал L_{t} = - 0.5 журнал (2 π σ_{ε}^{2}) - \frac{(y_{t} - c - ϕ_{1} y_{t - 1} - ϕ_{2} y_{t - 2})^{2}}{2 σ_{ε}^{2}}$

где $σ_{ε}^{2}$ отклонение инновационного распределения.

Вклад в градиент во время $t$

$[\begin{matrix} \frac{\partial журнал L_{t}}{\partial c} & \frac{\partial журнал L_{t}}{\partial ϕ_{1}} & \frac{\partial журнал L_{t}}{\partial ϕ_{2}} & \frac{\partial журнал L_{t}}{\partial σ_{ε}^{2}} \end{matrix}],$

где

$\begin{matrix} \frac{\partial журнал L_{t}}{\partial c} & = & \frac{y_{t} - c - ϕ_{1} y_{t - 1} - ϕ_{2} y_{t - 2}}{σ_{ε}^{2}} \\ \frac{\partial журнал L_{t}}{\partial ϕ_{1}} & = & \frac{y_{t - 1} (y_{t} - c - ϕ_{1} y_{t - 1} - ϕ_{2} y_{t - 2})}{σ_{ε}^{2}} \\ \frac{\partial журнал L_{t}}{\partial ϕ_{2}} & = & \frac{y_{t - 2} (y_{t} - c - ϕ_{1} y_{t - 1} - ϕ_{2} y_{t - 2})}{σ_{ε}^{2}} \\ \frac{\partial журнал L_{t}}{\partial σ_{ε}^{2}} & = & - \frac{1}{2 σ_{ε}^{2}} + \frac{(y_{t} - c - ϕ_{1} y_{t - 1} - ϕ_{2} y_{t - 2})^{2}}{2 σ_{ε}^{4}} \end{matrix}$

Оцените матрицу градиента, $G$ , в ограниченном MLEs (использование ${ϕ_{}^{ˆ}}_{2} = 0$ ).

c = fit.Constant;
phi1 = fit.AR{1};
phi2 = 0;
sig2 = fit.Variance;

Yt = Y;
Yt1 = [9.6396; Y(1:end-1)];
Yt2 = [9.6249; Yt1(1:end-1)];

N = length(Y);
G = zeros(N,4);
G(:,1) = (Yt-c-phi1*Yt1-phi2*Yt2)/sig2;
G(:,2) = Yt1.*(Yt-c-phi1*Yt1-phi2*Yt2)/sig2;
G(:,3) = Yt2.*(Yt-c-phi1*Yt1-phi2*Yt2)/sig2;
G(:,4) = -0.5/sig2 + 0.5*(Yt-c-phi1*Yt1-phi2*Yt2).^2/sig2^2;

Шаг 3. Оцените ковариационную матрицу отклонения.

Вычислите оценку ковариационной матрицы отклонения OPG.

V = inv(G'*G)

V = 4×4

    6.1431   -0.6966    0.0827    0.0367
   -0.6966    0.1535   -0.0846   -0.0061
    0.0827   -0.0846    0.0771    0.0024
    0.0367   -0.0061    0.0024    0.0019

Числовые погрешности могут произойти из-за компьютерной точности. Чтобы сделать ковариационную матрицу отклонения симметричной, объедините половину ее значения с половиной из ее транспонировать.

V = V/2 + V'/2;

Шаг 4. Вычислите функцию счета.

Выполните функцию счета (сумма отдельных вкладов в градиент).

score = sum(G);

Шаг 5. Проведите тест множителя Лагранжа.

Проведите тест множителя Лагранжа, чтобы сравнить ограниченную модель AR (1) с неограниченной моделью AR (2). Количество ограничений (степень свободы) является тем.

[h,p,LMstat,crit] = lmtest(score,V,1)

h = logical
   0

p = 0.5787

LMstat = 0.3084

crit = 3.8415

Ограниченная модель AR (1) не отклоняется в пользу модели AR (2) (h = 0).

Документация