lmtest

Тест множителя Лагранжа образцовой спецификации

Синтаксис

h = lmtest(score,ParamCov,dof)

h = lmtest(score,ParamCov,dof,alpha)

[h,pValue]
= lmtest(___)

[h,pValue,stat,cValue]
= lmtest(___)

Описание

пример

h = lmtest(score,ParamCov,dof) возвращает логическое значение (h) с решением отклонения от проведения теста множителя Лагранжа образцовой спецификации на 5%-м уровне значения. lmtest создает тестовую статистическую величину использование функции счета (score), предполагаемая ковариация параметра (ParamCov) и степени свободы (dof).

пример

h = lmtest(score,ParamCov,dof,alpha) возвращает решение отклонения о тесте множителя Лагранжа, проводимом на уровне значения alpha.

Если score и ParamCov являются длиной массивы ячеек k, то все другие аргументы должны быть длиной векторы k или скаляры. lmtest обрабатывает каждую ячейку как отдельный тест и возвращает вектор решений отклонения.
Если score является массивом ячейки строки, то lmtest возвращает вектор - строку.

пример

[h,pValue] = lmtest(___) возвращает решение отклонения и p - значение (pValue) для теста гипотезы, с помощью любого из входных параметров в предыдущих синтаксисах.

пример

[h,pValue,stat,cValue] = lmtest(___) дополнительно возвращает тестовую статистическую величину (stat) и критическое значение (cValue) для теста гипотезы.

Примеры

свернуть все

Выберите Best AR Model Specification

Скрипт Open Live Script

Сравните спецификации модели AR для моделируемого ряда ответа с помощью lmtest.

Рассмотрите модель AR (3):

$y_{t} = 1 + 0.9 y_{t - 1} - 0.5 y_{t - 2} + 0.4 y_{t - 3} + ε_{t},$

где $ε_{t}$ является Гауссовым со средним значением 0 и отклонением 1. Задайте эту модель с помощью arima.

Mdl = arima('Constant',1,'Variance',1,'AR',{0.9,-0.5,0.4});

Mdl является полностью заданной, моделью AR (3).

Моделируйте преддемонстрационные и эффективные демонстрационные ответы от Mdl.

T = 100;
rng(1);               % For reproducibility
n = max(Mdl.P,Mdl.Q); % Number of presample observations
y = simulate(Mdl,T + n);

y является случайным путем от Mdl, который включает преддемонстрационные наблюдения.

Задайте ограниченную модель:

$y_{t} = c + ϕ_{1} y_{t - 1} + ϕ_{2} y_{t - 2} + ε_{t},$

где $ε_{t}$ является Гауссовым со средним значением 0 и отклонением $σ^{2}$ .

Mdl0 = arima(3,0,0);
Mdl0.AR{3} = 0;

Структура Mdl0 совпадает с Mdl. Однако каждый параметр неизвестен, за исключением того, что $ϕ_{3} = 0$ . Это - ограничение равенства во время оценки.

Оцените ограниченную модель с помощью моделируемых данных (y).

[EstMdl0,EstParamCov] = estimate(Mdl0,y((n+1):end),...
    'Y0',y(1:n),'display','off');
phi10 = EstMdl0.AR{1};
phi20 = EstMdl0.AR{2};
phi30 = 0;
c0 = EstMdl0.Constant;
phi0 = [c0;phi10;phi20;phi30];
v0 = EstMdl0.Variance;

EstMdl0 содержит оценки параметра ограниченной модели.

lmtest требует неограниченного образцового счета, оцененного в ограниченных образцовых оценках. Неограниченный образцовый градиент

$\frac{\partial l (ϕ_{1}, ϕ_{2}, ϕ_{3}, c, σ^{2}; y_{t}, . . ., y_{t - 3})}{\partial c} = \frac{1}{σ^{2}} (y_{t} - c - ϕ_{1} y_{t - 1} - ϕ_{2} y_{t - 2} - ϕ_{3} y_{t - 3})$

$\frac{\partial l (ϕ_{1}, ϕ_{2}, ϕ_{3}, c, σ^{2}; y_{t}, . . ., y_{t - 3})}{\partial ϕ_{j}} = \frac{1}{σ^{2}} (y_{t} - c - ϕ_{1} y_{t - 1} - ϕ_{2} y_{t - 2} - ϕ_{3} y_{t - 3}) y_{t - j}$

$\frac{\partial l (ϕ_{1}, ϕ_{2}, ϕ_{3}, c, σ^{2}; y_{t}, . . ., y_{t - 3})}{\partial σ^{2}} = - \frac{1}{2 σ^{2}} + \frac{1}{2 σ^{4}} (y_{t} - c - ϕ_{1} y_{t - 1} - ϕ_{2} y_{t - 2} - ϕ_{3} y_{t - 3})^{2} .$

MatY = lagmatrix(y,1:3);
LagY = MatY(all(~isnan(MatY),2),:);
cGrad = (y((n+1):end)-[ones(T,1),LagY]*phi0)/v0;
phi1Grad = ((y((n+1):end)-[ones(T,1),LagY]*phi0).*LagY(:,1))/v0;
phi2Grad = ((y((n+1):end)-[ones(T,1),LagY]*phi0).*LagY(:,2))/v0;
phi3Grad = ((y((n+1):end)-[ones(T,1),LagY]*phi0).*LagY(:,3))/v0;
vGrad = -1/(2*v0)+((y((n+1):end)-[ones(T,1),LagY]*phi0).^2)/(2*v0^2);
Grad = [cGrad,phi1Grad,phi2Grad,phi3Grad,vGrad]; % Gradient matrix

score = sum(Grad)'; % Score under the restricted model

Оцените неограниченное средство оценки ковариации параметра с помощью ограниченного MLEs и векторного произведения градиентов (OPG) метод.

EstParamCov0 = inv(Grad'*Grad);
dof = 1; % Number of model restrictions

Протестируйте нулевую гипотезу это $ϕ_{3} = 0$ на 1%-м уровне значения с помощью lmtest.

[h,pValue] = lmtest(score,EstParamCov0,dof,0.1)

h = logical
   1

pValue = 2.2525e-09

pValue близко к 0, который предполагает, что существуют убедительные доказательства, чтобы отклонить ограниченную, модель AR (2) в пользу неограниченной, модели AR (3).

Оцените образцовые спецификации Используя тест множителя Лагранжа

Скрипт Open Live Script

Сравните две образцовых спецификации для моделируемого образования и поступите данные. Неограниченная модель имеет следующий loglikelihood:

$l (β, ρ) = - n журнал Γ (ρ) + ρ \sum_{k = 1}^{n} журнал β_{k} + (ρ - 1) \sum_{k = 1}^{n} журнал (y_{k}) - \sum_{k = 1}^{n} y_{k} β_{k},$

где

$β_{k} = \frac{1}{β + x_{k}} .$
$x_{k}$ количество классов тот человек k завершенный.
$y_{k}$ доход (в тысячах доллара США) человека k.

Таким образом, доход человека k, учитывая количество классов, что человеком k завершенный является Гамма, распределенная с формой $ρ$ и уровень $β_{i}$ . Ограниченные образцовые наборы $ρ = 1$ , который подразумевает, что доход человека k, учитывая количество человека классов k завершенный экспоненциально распределяется со средним значением $β + x_{i}$ .

Ограниченная модель $H_{0} : ρ = 1$ . В порядке сравнить эту модель с неограниченной моделью, вы требуете:

Вектор градиента неограниченной модели
Оценка наибольшего правдоподобия (MLE) в соответствии с ограниченной моделью
Средство оценки ковариации параметра оценено под MLEs ограниченной модели

Загрузите данные.

load Data_Income1
x = DataTable.EDU;
y = DataTable.INC;

Оцените ограниченные параметры модели путем максимизации $l (ρ, β)$ относительно $β$ подвергните ограничению $ρ = 1$ . Градиент $l (ρ, β)$

$\frac{\partial l (ρ, β)}{\partial β} = \sum_{i = 1}^{T} (y_{i} β_{i}^{2} - ρ β_{i})$

$\frac{\partial l (ρ, β)}{\partial ρ} = - T Ψ (ρ) + \sum_{i = 1}^{T} (журнал β_{i} y_{i}),$

где $Ψ (ρ)$ дигамма-функция.

rho0 = 1; % Restricted rho
dof = 1;  % Number of restrictions
dLBeta = @(beta) sum(y./((beta + x).^2) - rho0./(beta + x));...
    % Anonymous gradient function

[betaHat0,fVal,exitFlag] = fzero(dLBeta,0)

betaHat0 = 15.6027

fVal = 2.7756e-17

exitFlag = 1

beta = [0:0.1:50];
plot(beta,arrayfun(dLBeta,beta))
hold on
plot([beta(1);beta(end)],zeros(2,1),'k:')
plot(betaHat0,fVal,'ro','MarkerSize',10)
xlabel('{\beta}')
ylabel('Loglikelihood Gradient')
title('{\bf Loglikelihood Gradient with Respect to \beta}')
hold off

Градиент относительно $β$ (dLBeta) уменьшается, который предполагает, что существует локальный максимум в его корне. Поэтому betaHat0 является MLE для ограниченной модели. fVal указывает, что значение градиента очень близко к 0 в betaHat0. Выходной флаг (exitFlag) равняется 1, который указывает, что fzero нашел корень градиента без проблемы.

Оцените ковариацию параметра в соответствии с ограниченной моделью с помощью векторного произведения градиентов (OPG).

rGradient = [-rho0./(betaHat0+x)+y.*(betaHat0+x).^(-2),...
      log(y./(betaHat0+x))-psi(rho0)];    % Gradient per unit
rScore = sum(rGradient)';                 % Score function
rEstParamCov = inv(rGradient'*rGradient); % Parameter covariance estimate

Протестируйте неограниченную модель против ограниченной модели с помощью теста множителя Лагранжа.

[h,pValue] = lmtest(rScore,rEstParamCov,dof)

h = logical
   1

pValue = 7.4744e-05

pValue близко к 0, который указывает, что существуют убедительные доказательства, чтобы предположить, что неограниченная модель соответствует данным лучше, чем ограниченная модель.

Оцените условный Heteroscedasticity Используя тест множителя Лагранжа

Скрипт Open Live Script

Протестируйте, существуют ли значительные эффекты ДУГИ в моделируемом ряду ответа с помощью lmtest. Значения параметров в этом примере произвольны.

Задайте модель AR (1) с ДУГОЙ (1) отклонение:

$y_{t} = 0.9 y_{t - 1} + ε_{t},$

где

$ε_{t} = w_{t} \sqrt{h_{t}} .$
$h_{t} = 1 + 0.5 ε_{t - 1}^{2} .$
$w_{t}$ является Гауссовым со средним значением 0 и отклонением 1.

VarMdl = garch('ARCH',0.5,'Constant',1);
Mdl = arima('Constant',0,'Variance',VarMdl,'AR',0.9);

Mdl является полностью заданной, моделью AR (1) с ДУГОЙ (1) отклонение.

Моделируйте преддемонстрационные и эффективные демонстрационные ответы от Mdl.

T = 100;
rng(1);  % For reproducibility
n = 2;   % Number of presample observations required for the gradient
[y,ep,v] = simulate(Mdl,T + n);

ep является случайным путем инноваций от VarMdl. Программное обеспечение пропускает ep через Mdl, чтобы привести к случайному пути к ответу y.

Задайте ограниченную модель и примите, что постоянная модель AR 0:

$y_{t} = c + ϕ_{1} y_{t - 1} + ε_{t},$

где $h_{t} = α_{0} + α_{1} ε_{t - 1}^{2}$ .

VarMdl0 = garch(0,1);
VarMdl0.ARCH{1} = 0;
Mdl0 = arima('ARLags',1,'Constant',0,'Variance',VarMdl0);

Структура Mdl0 совпадает с Mdl. Однако каждый параметр неизвестен, за исключением ограничения $α_{1} = 0$ . Это ограничения равенства во время оценки. Можно интерпретировать Mdl0 как модель AR (1) с Гауссовыми инновациями, которые имеют среднее значение 0 и постоянное отклонение.

Оцените ограниченную модель с помощью моделируемых данных (y).

psI = 1:n;             % Presample indices
esI = (n + 1):(T + n); % Estimation sample indices

[EstMdl0,EstParamCov] = estimate(Mdl0,y(esI),...
    'Y0',y(psI),'E0',ep(psI),'V0',v(psI),'display','off');
phi10 = EstMdl0.AR{1};
alpha00 = EstMdl0.Variance.Constant;

EstMdl0 содержит оценки параметра ограниченной модели.

lmtest требует неограниченного образцового счета, оцененного в ограниченных образцовых оценках. Неограниченная модель loglikelihood функция

$l (ϕ_{1}, α_{0}, α_{1}) = \sum_{t = 2}^{T} (- 0.5 журнал (2 π) - 0.5 журнал h_{t} - \frac{ε_{t}^{2}}{2 h_{t}}),$

где $ε_{t} = y_{t} - ϕ_{1} y_{t - 1}$ . Неограниченный градиент

$\frac{\partial l (ϕ_{1}, α_{0}, α_{1})}{\partial α} = \sum_{t = 2}^{T} \frac{1}{2 h_{t}} z_{t} f_{t},$

где $z_{t} = [1, ε_{t - 1}^{2}]$ и $f_{t} = \frac{ε_{t}^{2}}{h_{t}} - 1$ . Информационная матрица

$I = \frac{1}{2 h_{t}^{2}} \sum_{t = 2}^{T} z_{t}^{'} z_{t} .$

В соответствии с пустой, ограниченной моделью, $h_{t} = h_{0} = {α_{}^{ˆ}}_{0}$ для всего t, где ${α_{}^{ˆ}}_{0}$ оценка от ограниченного анализа модели.

Оцените градиент и информационную матрицу в соответствии с ограниченной моделью. Оцените ковариацию параметра путем инвертирования информационной матрицы.

e = y - phi10*lagmatrix(y,1);
eLag1Sq = lagmatrix(e,1).^2;
h0 = alpha00;
ft = (e(esI).^2/h0 - 1);
zt = [ones(T,1),eLag1Sq(esI)]';

score0 = 1/(2*h0)*zt*ft;        % Score function
InfoMat0 = (1/(2*h0^2))*(zt*zt');
EstParamCov0 = inv(InfoMat0);   % Estimated parameter covariance
dof = 1;                        % Number of model restrictions

Протестируйте нулевую гипотезу это $α_{1} = 0$ на 5%-м уровне значения с помощью lmtest.

[h,pValue] = lmtest(score0,EstParamCov0,dof)

h = logical
   1

pValue = 4.0443e-06

pValue близко к 0, который предполагает, что существует доказательство, чтобы отклонить ограниченную модель AR (1) в пользу неограниченной модели AR (1) с ДУГОЙ (1) отклонение.

Входные параметры

свернуть все

Модель `score` — Unrestricted loglikelihood градиенты
вектор | массив ячеек векторов

Неограниченная модель loglikelihood градиенты, оцененные в ограниченных оценках параметра модели, заданных как вектор или вектор ячейки.

Для одного теста score может быть p - вектор или одноэлементный массив ячеек, содержащий p-by-1 вектор. p является количеством параметров в неограниченной модели.
Для проведения k> 1 тест, score должен быть длиной массив ячеек k. Ячейка j должна содержать один _pj-by-1 вектор, который соответствует одному независимому тесту. _pj является количеством параметров в неограниченной модели теста j.

Типы данных: double | cell

`ParamCov` — Оценка ковариации параметра
матрица | массив ячеек матриц

Оценка ковариации параметра, заданная как симметрическая матрица массива ячеек симметричных матриц. ParamCov является неограниченным средством оценки ковариации параметра модели, оцененным в ограниченных оценках параметра модели.

Для одного теста ParamCov может быть p-by-p матрица или одноэлементный массив ячеек, содержащий p-by-p матрица. p является количеством параметров в неограниченной модели.
Для проведения k> 1 тест, ParamCov должен быть длиной массив ячеек k. Ячейка j должна содержать один _pj-by-_pj матрица, которая соответствует одному независимому тесту. _pj является количеством параметров в неограниченной модели теста j.

Типы данных: double | cell

`dof` — Степени свободы
положительное целое число | вектор положительных целых чисел

Степени свободы для асимптотического, распределения хи-квадрат тестовой статистики, заданной как положительное целое число или вектор положительных целых чисел.

Для каждого соответствующего теста, элементов dof:

Количество образцовых ограничений
Должны быть меньше, чем количество параметров в неограниченной модели

При проведении k> 1 тест,

Если dof является скаляром, то программное обеспечение расширяет его до k-by-1 вектор.
Если dof является вектором, то он должен иметь длину k.

`\alpha` Номинальные уровни значения
0,05 (значения по умолчанию) | скаляр | вектор

Номинальные уровни значения для тестов гипотезы, заданных как скаляр или вектор.

Каждый элемент alpha должен быть больше, чем 0 и меньше чем 1.

При проведении k> 1 тест,

Если alpha является скаляром, то программное обеспечение расширяет его до k-by-1 вектор.
Если alpha является вектором, то он должен иметь длину k.

Типы данных: double

Выходные аргументы

свернуть все

`h` Протестируйте решения отклонения
логический | вектор logicals

Протестируйте решения отклонения, возвращенные как логическое значение или вектор логических значений с длиной, равной количеству тестов, которые проводит программное обеспечение.

h = 1 указывает на отклонение пустой, ограниченной модели в пользу альтернативной, неограниченной модели.
h = 0 указывает на отказ отклонить пустую, ограниченную модель.

`pValue` — Тестовая статистическая величина p - значения
скаляр | вектор

Протестируйте статистический p - значения, возвращенные как скаляр или вектор с длиной, равной количеству тестов, которые проводит программное обеспечение.

`stat` — Протестируйте статистику
скаляр | вектор

Протестируйте статистику, возвращенную как скаляр или вектор с длиной, равной количеству тестов, которые проводит программное обеспечение.

`cValue` — Критические значения
скаляр | вектор

Критические значения, определенные alpha, возвращенным как скаляр или вектор с длиной, равняются количеству тестов, которые проводит программное обеспечение.

Больше о

свернуть все

Тест множителя Лагранжа

Этот тест сравнивает спецификации вложенных моделей путем оценки значения ограничений на расширенную модель с неограниченными параметрами. Тестовая статистическая величина (LM)

$L M = S' V S,$

где

S является градиентом неограниченной функции loglikelihood, оцененный в ограниченном параметре оценивает (score), т.е.

$S = {\frac{\partial l (θ)}{\partial θ} |}_{θ = {\hat{θ}}_{0, M L E}} .$
V является средством оценки ковариации для неограниченных параметров модели, оцененных в ограниченных оценках параметра.

Если LM превышает критическое значение в своем асимптотическом распределении, то тест отклоняет пустой указатель, ограничил (вложенную) модель в пользу альтернативной, неограниченной модели.

Асимптотическое распределение LM является хи-квадратом. Его степени свободы (dof) являются количеством ограничений в соответствующем образцовом сравнении. Номинальный уровень значения теста (alpha) определяет критическое значение (cValue).

Советы

lmtest требует неограниченного образцового счета и средства оценки ковариации параметра, оцененного в оценках параметра для ограниченной модели. Например, чтобы сравнить конкуренцию, вложенные модели arima:
1. Аналитически вычислите счет и средство оценки ковариации параметра на основе инновационного распределения.
2. Используйте estimate, чтобы оценить ограниченные параметры модели.
3. Оцените счет и средство оценки ковариации в ограниченных образцовых оценках.
4. Передайте оцененный счет, ограниченную оценку ковариации и количество ограничений (т.е. степени свободы) в lmtest.
Если вы находите оценку параметров в неограниченной модели трудной, то используйте lmtest. Для сравнения:
- waldtest только требует неограниченных оценок параметра.
- lratiotest требует и неограниченных и ограниченных оценок параметра.

Алгоритмы

lmtest выполняет несколько, независимые тесты, когда входные параметры являются массивами ячеек.
- Если градиенты и оценки ковариации являются тем же самым для всех тестов, но ограниченные оценки параметра отличаются, то lmtest “тесты вниз” против нескольких ограниченных моделей.
- Если градиенты и оценки ковариации отличаются, но ограниченные оценки параметра не делают, то lmtest “тесты” против нескольких неограниченных моделей.
- В противном случае lmtest сравнивает образцовые спецификации попарно.
alpha номинален в этом, он задает вероятность отклонения в асимптотическом распределении. Фактическая вероятность отклонения может отличаться от номинального значения. Тесты множителя Лагранжа склоняются к под отклонением для маленьких значений alpha и сверхотклонения для больших значений alpha.
Тесты множителя Лагранжа обычно приводят к более низким ошибкам отклонения, чем отношение правдоподобия и Вальдовы тесты.

Ссылки

[1] Дэвидсон, R. и Дж. Г. Маккиннон. Эконометрическая теория и методы. Оксфорд, Великобритания: Издательство Оксфордского университета, 2004.

[2] Годфри, тесты Л. Г. Мисспекификэйшна в эконометрике. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета, 1997.

[3] Грин, В. Х. Эконометрик Анэлизис. 6-й редактор Верхний Сэддл-Ривер, NJ: Пирсон Prentice Hall, 2008.

[4] Гамильтон, J. D. Анализ timeseries. Принстон, NJ: Издательство Принстонского университета, 1994.

Документация

lmtest

Синтаксис

Описание

Примеры

Выберите Best AR Model Specification

Оцените образцовые спецификации Используя тест множителя Лагранжа

Оцените условный Heteroscedasticity Используя тест множителя Лагранжа

Входные параметры

Модель `score` — Unrestricted loglikelihood градиенты
вектор | массив ячеек векторов

`ParamCov` — Оценка ковариации параметра
матрица | массив ячеек матриц

`dof` — Степени свободы
положительное целое число | вектор положительных целых чисел

`\alpha` Номинальные уровни значения
0,05 (значения по умолчанию) | скаляр | вектор

Выходные аргументы

`h` Протестируйте решения отклонения
логический | вектор logicals

`pValue` — Тестовая статистическая величина p - значения
скаляр | вектор

`stat` — Протестируйте статистику
скаляр | вектор

`cValue` — Критические значения
скаляр | вектор

Больше о

Тест множителя Лагранжа

Советы

Алгоритмы

Ссылки

Смотрите также

Объекты

Функции

Темы

Представленный в R2009a

Документация Econometrics Toolbox

Поддержка

Документация

lmtest

Синтаксис

Описание

Примеры

Выберите Best AR Model Specification

Оцените образцовые спецификации Используя тест множителя Лагранжа

Оцените условный Heteroscedasticity Используя тест множителя Лагранжа

Входные параметры

Модель score — Unrestricted loglikelihood градиенты вектор | массив ячеек векторов

ParamCov — Оценка ковариации параметра матрица | массив ячеек матриц

dof — Степени свободы положительное целое число | вектор положительных целых чисел

\alpha Номинальные уровни значения 0,05 (значения по умолчанию) | скаляр | вектор

Выходные аргументы

h Протестируйте решения отклонения логический | вектор logicals

pValue — Тестовая статистическая величина p - значения скаляр | вектор

stat — Протестируйте статистику скаляр | вектор

cValue — Критические значения скаляр | вектор

Больше о

Тест множителя Лагранжа

Советы

Алгоритмы

Ссылки

Смотрите также

Объекты

Функции

Темы

Представленный в R2009a

Документация Econometrics Toolbox

Поддержка

Модель `score` — Unrestricted loglikelihood градиенты
вектор | массив ячеек векторов

`ParamCov` — Оценка ковариации параметра
матрица | массив ячеек матриц

`dof` — Степени свободы
положительное целое число | вектор положительных целых чисел

`\alpha` Номинальные уровни значения
0,05 (значения по умолчанию) | скаляр | вектор

`h` Протестируйте решения отклонения
логический | вектор logicals

`pValue` — Тестовая статистическая величина p - значения
скаляр | вектор

`stat` — Протестируйте статистику
скаляр | вектор

`cValue` — Критические значения
скаляр | вектор