Альтернативные представления модели ARIMA

regARIMA к Образцовому Преобразованию ARIMAX

Модели ARIMAX и модели регрессии с ошибками ARIMA тесно связаны, и выбор которого можно использовать, обычно диктуется вашими целями по анализу. Если ваша цель состоит в том, чтобы соответствовать экономной модели к данным и предсказывать ответы, то существует очень мало различия между этими двумя моделями.

Если вы больше интересуетесь сохранением обычной интерпретации коэффициента регрессии, когда мера чувствительности, т.е. эффект модульного изменения в переменной прогноза на ответе, то использует модель регрессии с ошибками ARIMA. Коэффициенты регрессии в моделях ARIMAX не обладают той интерпретацией из-за динамической зависимости от ответа [1].

Предположим, что у вас есть оценки параметра из модели регрессии с ошибками ARIMA, и вы хотите, чтобы видеть, как образцовая структура выдерживает сравнение с моделью ARIMAX. Или, предположите, что вы хотите некоторое понимание относительно базового отношения между этими двумя моделями.

Модель ARIMAX (t = 1..., T):

Η(L)yt=c+Xtβ+Ν(L)εt,(1)
где

  • yt является одномерным рядом ответа.

  • Xt является строкой t X, который является матрицей конкатенированного ряда предиктора. Таким образом, Xt является наблюдением t каждого ряда предиктора.

  • β является коэффициентом регрессии.

  • c является прерыванием модели регрессии.

  • Η(L)=ϕ(L)(1L)DΦ(L)(1Ls)=1η1Lη2L2...ηPLP, который является степенью полином оператора задержки P, который получает совместное воздействие сезонных и несезонных авторегрессивных полиномов и сезонных и несезонных полиномов интегрирования. Для получения дополнительной информации на обозначении, см. Мультипликативную Модель ARIMA.

  • Ν(L)=θ(L)Θ(L)=1+ν1L+ν2L2+...+νQLQ, который является степенью полином оператора задержки Q, который получает совместное воздействие сезонных и несезонных полиномов скользящего среднего значения.

  • εt является белым шумовым инновационным процессом.

Модель регрессии с ошибками ARIMA (t = 1..., T)

yt=c+Xtβ+utA(L)ut=B(L)εt,(2)
где

  • ut является безусловным процессом воздействий.

  • A(L)=ϕ(L)(1L)DΦ(L)(1Ls)=1a1La2L2...aPLP, который является степенью полином оператора задержки P, который получает совместное воздействие сезонных и несезонных авторегрессивных полиномов и сезонных и несезонных полиномов интегрирования.

  • B(L)=θ(L)Θ(L)=1+b1L+b2L2+...+bQLQ, который является степенью полином оператора задержки Q, который получает совместное воздействие сезонных и несезонных полиномов скользящего среднего значения.

Значения переменных, заданных в уравнении 2, не обязательно эквивалентны значениям переменных в уравнении 1, даже при том, что обозначение может быть подобным.

Проиллюстрируйте regARIMA к Образцовому Преобразованию ARIMAX

Рассмотрите уравнение 2, модель регрессии с ошибками ARIMA. Используйте следующие операции, чтобы преобразовать модель регрессии с ошибками ARIMA к его соответствующей модели ARIMAX.

  1. Решите для ut.

    yt=c+Xtβ+utut=B(L)A(L)εt.

  2. Замените ut в уравнение регрессии.

    yt=c+Xtβ+B(L)A(L)εtA(L)yt=A(L)c+A(L)Xtβ+B(L)εt.

  3. Решите для yt.

    yt=A(L)c+A(L)Xtβ+k=1Pakytk+B(L)εt=A(L)c+ZtΓ+k=1Pakytk+B(L)εt.(3)
    В уравнении 3,

    • A (L) c = (1 – a 1a 2 –...– a P) c. Таким образом, константа в модели ARIMAX является прерыванием в модели регрессии с ошибками ARIMA с нелинейным ограничением. Хотя приложения, такие как simulate, обрабатывают это ограничение, estimate не может включить такое ограничение. В последнем случае модели эквивалентны, когда вы фиксируете прерывание и постоянный к 0.

    • В термине A (L) Xtβ полином оператора задержки A (L) фильтрует T-by-1 векторный Xtβ, который является линейной комбинацией предикторов, взвешенных коэффициентами регрессии. Этот процесс фильтрации требует преддемонстрационных наблюдений P за рядом предиктора.

    • arima создает матричный Zt можно следующим образом:

      • Каждый столбец Zt соответствует каждому термину в A (L).

      • Первым столбцом Zt является векторный Xtβ.

      • Второй столбец Zt является последовательностью d 2 NaN s (d 2 является степенью второго срока в A (L)), сопровождаемый продуктом LdjXtβ. Таким образом, программное обеспечение присоединяет d 2 NaN s в начале T-by-1 столбец, присоединяет Xtβ после NaN s, но обрезает конец того продукта d 2 наблюдения.

      • j th столбец Zt является последовательностью dj NaN s (dj является степенью j th термин в A (L)), сопровождаемый продуктом LdjXtβ. Таким образом, программное обеспечение присоединяет dj NaN s в начале T-by-1 столбец, присоединяет Xtβ после NaN s, но обрезает конец того продукта наблюдениями dj.

      .

    • Γ = [1 –a 1 –a 2... –a P]'.

      Конвертер arima удаляет все авторегрессивные коэффициенты с нулевым знаком разностного уравнения. Впоследствии, конвертер arima не сопоставляет авторегрессивные коэффициенты с нулевым знаком со столбцами в Zt, и при этом это не включает соответствующие, коэффициенты с нулевым знаком в Γ.

  4. Перепишите уравнение 3,

    yt=(1k=1Pak)c+Xtβk=1PakXtkβ+k=1Pakytk+εt+k=1Qεtk.

Например, рассмотрите следующую модель регрессии, ошибки которой являются ARMA (2,1):

yt=0.2+0.5Xt+ut(10.8L+0.4L2)ut=(1+0.3L)εt.(4)
Эквивалентная модель ARMAX:

yt=0.12+(0.50.4L+0.2L2)Xt+0.8yt10.4yt2+(1+0.3L)εt=0.12+ZtΓ+0.8yt10.4yt2+(1+0.3L)εt,

или

(10.8L+0.4L2)yt=0.12+ZtΓ+(1+0.3L)εt,

где Γ = [1 – 0.8 0.4]' и

Zt=0.5[x1NaNNaNx2x1NaNx3x2x1xTxT1xT2].

Эта модель не интегрирована, потому что все собственные значения, сопоставленные с полиномом AR, в модульном кругу, но предикторы могут влиять на в противном случае стабильный процесс. Кроме того, вы нуждаетесь в преддемонстрационных данных о предикторе, возвращающихся по крайней мере 2 периода к, например, соответствуете модели к данным.

Можно проиллюстрировать это далее посредством симуляции и оценки.

  1. Задайте модель регрессии с ошибками ARIMA в уравнении 4.

    Mdl1 = regARIMA('Intercept',0.2,'AR',{0.8 -0.4},...
                   'MA',0.3,'Beta',[0.3 -0.2],'Variance',0.2);
  2. Сгенерируйте преддемонстрационные наблюдения и данные о предикторе.

    rng(1);   % For reproducibility
    T = 100;
    maxPQ = max(Mdl1.P,Mdl1.Q);
    numObs  = T + maxPQ;...
        % Adjust number of observations to account for presample
    X1 = randn(numObs,2); % Simulate predictor data
    u0 = randn(maxPQ,1);  % Presample unconditional disturbances u(t)
    e0 = randn(maxPQ,1);  % Presample innovations e(t)
  3. Моделируйте данные из Mdl1.

    rng(100) % For reproducibility
    [y1,e1,u1] = simulate(Mdl1,T,'U0',u0,...
        'E0',e0,'X',X1);
  4. Преобразуйте Mdl1 в модель ARIMAX.

    [Mdl2,X2] = arima(Mdl1,'X',X1);
    Mdl2
    Mdl2 = 
      arima with properties:
    
         Description: "ARIMAX(2,0,1) Model (Gaussian Distribution)"
        Distribution: Name = "Gaussian"
                   P: 2
                   D: 0
                   Q: 1
            Constant: 0.12
                  AR: {0.8 -0.4} at lags [1 2]
                 SAR: {}
                  MA: {0.3} at lag [1]
                 SMA: {}
         Seasonality: 0
                Beta: [1 -0.8 0.4]
            Variance: 0.2
    
  5. Сгенерируйте преддемонстрационные ответы для модели ARIMAX, чтобы гарантировать непротиворечивость Mdl1. Моделируйте данные из Mdl2.

    y0 = Mdl1.Intercept + X1(1:maxPQ,:)*Mdl1.Beta' + u0;
    rng(100)
    y2 = simulate(Mdl2,T,'Y0',y0,'E0',e0,'X',X2);
    
    figure
    plot(y1,'LineWidth',3)
    hold on
    plot(y2,'r:','LineWidth',2.5)
    hold off
    title('{\bf Simulated Paths for Both Models}')
    legend('regARIMA Model','ARIMAX Model','Location','Best')

    Моделируемые пути эквивалентны, потому что конвертер arima осуществляет нелинейное ограничение, когда это преобразовывает прерывание модели регрессии в постоянную модель ARIMAX.

  6. Соответствуйте модели регрессии ошибками ARIMA к моделируемым данным.

    ToEstMdl1 = regARIMA('ARLags',[1 2],'MALags',1);
    EstMdl1 = estimate(ToEstMdl1,y1,'E0',e0,'U0',u0,'X',X1);
     
        Regression with ARMA(2,1) Error Model (Gaussian Distribution):
     
                      Value      StandardError    TStatistic      PValue  
                     ________    _____________    __________    __________
    
        Intercept     0.14074        0.1014         1.3879         0.16518
        AR{1}         0.83061        0.1375         6.0407      1.5349e-09
        AR{2}        -0.45402        0.1164        -3.9007      9.5927e-05
        MA{1}         0.42803       0.15145         2.8262       0.0047109
        Beta(1)       0.29552      0.022938         12.883       5.597e-38
        Beta(2)      -0.17601      0.030607        -5.7506      8.8941e-09
        Variance      0.18231      0.027765         6.5663      5.1569e-11
    
  7. Соответствуйте модели ARIMAX к моделируемым данным.

    ToEstMdl2 = arima('ARLags',[1 2],'MALags',1);
    EstMdl2 = estimate(ToEstMdl2,y2,'E0',e0,'Y0',...
        y0,'X',X2);
     
        ARIMAX(2,0,1) Model (Gaussian Distribution):
     
                     Value      StandardError    TStatistic      PValue  
                    ________    _____________    __________    __________
    
        Constant    0.084996      0.064217         1.3236         0.18564
        AR{1}        0.83136       0.13634         6.0975      1.0775e-09
        AR{2}       -0.45599       0.11788        -3.8683       0.0001096
        MA{1}          0.426       0.15753         2.7043       0.0068446
        Beta(1)        1.053       0.13685         7.6949      1.4166e-14
        Beta(2)      -0.6904       0.19262        -3.5843      0.00033796
        Beta(3)      0.45399       0.15352         2.9572       0.0031047
        Variance     0.18112      0.028836          6.281      3.3634e-10
    
  8. Преобразуйте EstMdl1 в модель ARIMAX.

    ConvertedMdl2 = arima(EstMdl1,'X',X1)
    ConvertedMdl2 = 
      arima with properties:
    
         Description: "ARIMAX(2,0,1) Model (Gaussian Distribution)"
        Distribution: Name = "Gaussian"
                   P: 2
                   D: 0
                   Q: 1
            Constant: 0.087737
                  AR: {0.830611 -0.454025} at lags [1 2]
                 SAR: {}
                  MA: {0.428031} at lag [1]
                 SMA: {}
         Seasonality: 0
                Beta: [1 -0.830611 0.454025]
            Variance: 0.182313
    

    Предполагаемая постоянная модель ARIMAX не эквивалентна модели ARIMAX, постоянной преобразованный из модели регрессии с ошибками ARIMA. Другими словами, EstMdl2.Constant = 0.0849961 и ConvertedMdl2.Constant = 0.087737. Это вызвано тем, что estimate не осуществляет нелинейное ограничение, которое осуществляет конвертер arima. В результате другие оценки не эквивалентны также, хотя близко.

Ссылки

[1] Хиндмен, R. J. (2010, октябрь). “Образцовая путаница ARIMAX”. Роб Дж. Хиндмен. Полученный 4 мая 2017 из https://robjhyndman.com/hyndsight/arimax/.

Смотрите также

| |

Похожие темы

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте