сглаженный
Класс: dssm
Обратная рекурсия рассеянных моделей в пространстве состояний
Синтаксис
X = smooth(Mdl,Y)X = smooth(Mdl,Y,Name,Value)[X,logL,Output]
= smooth(___)Описание
X = smooth(Mdl,Y)X) путем выполнения обратной рекурсии полностью заданной рассеянной модели в пространстве состояний Mdl. Таким образом, smooth применяет рассеянный Фильтр Калмана с помощью Mdl и наблюдаемых ответов Y.
X = smooth(Mdl,Y,Name,Value)Name,Value. Например, задайте коэффициенты регрессии и данные о предикторе, чтобы выкачать наблюдения или задать, чтобы использовать одномерную обработку многомерной модели.
Если Mdl не полностью задан, то необходимо задать неизвестные параметры как известные скаляры с помощью Params ' ' аргумент пары Name,Value.
[ использование любой из входных параметров в предыдущих синтаксисах, чтобы дополнительно возвратить loglikelihood значение (X,logL,Output]
= smooth(___)logL) и выходной массив структур (Output) с помощью любого из входных параметров в предыдущих синтаксисах. Поля Output включают:
Сглаживавшие состояния и их предполагаемая ковариационная матрица
Сглаживавшие воздействия состояния и их предполагаемая ковариационная матрица
Сглаживавшие инновации наблюдения и их предполагаемая ковариационная матрица
loglikelihood значение
Настроенное усиление Кальмана
И вектор, указывающий, который раньше фильтровали данные программное обеспечение
Входные параметры
Выходные аргументы
Примеры
Сглаженные состояния независимой от времени рассеянной модели в пространстве состояний
Предположим, что скрытый процесс является случайным обходом. Впоследствии, уравнение состояния
где является Гауссовым со средним значением 0 и стандартным отклонением 1.
Сгенерируйте случайную последовательность 100 наблюдений от , предположение, что ряд запускается в 1,5.
T = 100;
x0 = 1.5;
rng(1); % For reproducibility
u = randn(T,1);
x = cumsum([x0;u]);
x = x(2:end);Предположим далее, что скрытый процесс подвергается аддитивной погрешности измерения. Впоследствии, уравнение наблюдения
где является Гауссовым со средним значением 0 и стандартным отклонением 0.75. Вместе, скрытые уравнения процесса и наблюдения составляют модель в пространстве состояний.
Используйте случайный скрытый процесс состояния (x) и уравнение наблюдения, чтобы сгенерировать наблюдения.
y = x + 0.75*randn(T,1);
Задайте четыре содействующих матрицы.
A = 1; B = 1; C = 1; D = 0.75;
Создайте рассеянную модель в пространстве состояний с помощью содействующих матриц. Укажите, что распределение начального состояния является рассеянным.
Mdl = dssm(A,B,C,D,'StateType',2)Mdl =
State-space model type: dssm
State vector length: 1
Observation vector length: 1
State disturbance vector length: 1
Observation innovation vector length: 1
Sample size supported by model: Unlimited
State variables: x1, x2,...
State disturbances: u1, u2,...
Observation series: y1, y2,...
Observation innovations: e1, e2,...
State equation:
x1(t) = x1(t-1) + u1(t)
Observation equation:
y1(t) = x1(t) + (0.75)e1(t)
Initial state distribution:
Initial state means
x1
0
Initial state covariance matrix
x1
x1 Inf
State types
x1
Diffuse
Mdl является моделью dssm. Проверьте, что модель правильно задана с помощью отображения в Командном окне.
Сглаженные состояния в течение периодов 1 - 100. Постройте истинные значения состояния и сглаживавшие оценки состояния.
SmoothedX = smooth(Mdl,y); figure plot(1:T,x,'-k',1:T,SmoothedX,':r','LineWidth',2) title({'State Values'}) xlabel('Period') ylabel('State') legend({'True state values','Smoothed state values'})
Истинные значения и сглаживавшие оценки являются приблизительно тем же самым.
Сглаженные состояния рассеянной модели в пространстве состояний, содержащей компонент регрессии
Предположим, что линейное соотношение между уровнем безработицы и номинальным валовым национальным продуктом (nGNP) представляет интерес. Предположим далее, что уровень безработицы является серией AR (1). Символически, и в форме пространства состояний, модель
где:
уровень безработицы во время t.
наблюдаемое изменение в уровне безработицы, выкачиваемом возвратом nGNP ().
серия Gaussian воздействий состояния, имеющих среднее значение 0 и неизвестное стандартное отклонение .
Загрузите набор данных Нельсона-Плоссера, который содержит уровень безработицы и nGNP ряд, среди прочего.
load Data_NelsonPlosserПредварительно обработайте данные путем взятия натурального логарифма nGNP ряда и удаления стартовых значений NaN из каждого ряда.
isNaN = any(ismissing(DataTable),2); % Flag periods containing NaNs gnpn = DataTable.GNPN(~isNaN); y = diff(DataTable.UR(~isNaN)); T = size(gnpn,1); % The sample size Z = price2ret(gnpn);
Этот пример продолжает использовать ряд без значений NaN. Однако с помощью среды Фильтра Калмана, программное обеспечение может разместить ряд, содержащий отсутствующие значения.
Задайте содействующие матрицы.
A = NaN; B = NaN; C = 1;
Создайте модель в пространстве состояний с помощью dssm путем предоставления содействующих матриц и указывания, что значения состояния прибывают из рассеянного распределения. Рассеянная спецификация указывает на полное незнание о моментах начального распределения.
StateType = 2;
Mdl = dssm(A,B,C,'StateType',StateType);Оцените параметры. Задайте компонент регрессии и его начальное значение для оптимизации с помощью аргументов пары "имя-значение" 'Predictors' и 'Beta0', соответственно. Отобразите оценки и всю информацию о диагностике оптимизации. Ограничьте оценку ко всем положительным, вещественным числам.
params0 = [0.3 0.2]; % Initial values chosen arbitrarily Beta0 = 0.1; [EstMdl,estParams] = estimate(Mdl,y,params0,'Predictors',Z,'Beta0',Beta0,... 'lb',[-Inf 0 -Inf]);
Method: Maximum likelihood (fmincon)
Effective Sample size: 60
Logarithmic likelihood: -110.477
Akaike info criterion: 226.954
Bayesian info criterion: 233.287
| Coeff Std Err t Stat Prob
--------------------------------------------------------
c(1) | 0.59436 0.09408 6.31738 0
c(2) | 1.52554 0.10758 14.17991 0
y <- z(1) | -24.26161 1.55730 -15.57930 0
|
| Final State Std Dev t Stat Prob
x(1) | 2.54764 0 Inf 0
EstMdl является моделью dssm, и можно получить доступ к ее свойствам с помощью записи через точку.
Сглаживайте предполагаемую рассеянную модель в пространстве состояний. EstMdl не хранит данные или коэффициенты регрессии, таким образом, необходимо передать в них в использовании аргументов пары "имя-значение" 'Predictors' и 'Beta', соответственно. Постройте сглаживавшие состояния.
SmoothedX = smooth(EstMdl,y,'Predictors',Z,'Beta',estParams(end)); figure plot(dates(end-(T-1)+1:end),SmoothedX); xlabel('Period') ylabel('Change in the unemployment rate') title('Smoothed Change in the Unemployment Rate') axis tight
Извлеките другие оценки от Output
Оцените рассеянную модель в пространстве состояний, сглаживайте состояния, и затем извлеките другие оценки от выходного аргумента Output.
Рассмотрите рассеянную модель в пространстве состояний
Переменная состояния модель AR (1) с авторегрессивным коэффициентом . случайный обход. Воздействия и независимые Гауссовы случайные переменные со средним значением 0 и стандартными отклонениями и , соответственно. Наблюдение безошибочная сумма и .
Сгенерируйте данные из модели в пространстве состояний. Чтобы моделировать данные, предположите что объем выборки , , , , и .
rng(1); % For reproducibility T = 100; ARMdl = arima('AR',0.6,'Constant',0,'Variance',0.2^2); x1 = simulate(ARMdl,T,'Y0',2); u3 = 0.1*randn(T,1); x3 = cumsum([2;u3]); x3 = x3(2:end); y = x1 + x3;
Задайте содействующие матрицы модели в пространстве состояний. Чтобы указать на неизвестные параметры, используйте значения NaN.
A = [NaN 0; 0 1]; B = [NaN 0; 0 NaN]; C = [1 1];
Создайте рассеянную модель в пространстве состояний, которая описывает модель выше. Задайте это и имейте рассеянные дистрибутивы начального состояния.
StateType = [2 2];
Mdl = dssm(A,B,C,'StateType',StateType);Оцените неизвестные параметры Mdl. Выберите начальные значения параметров для оптимизации. Укажите, что стандартные отклонения ограничиваются быть положительными, но все другие параметры являются неограниченным использованием аргумента пары "имя-значение" 'lb'.
params0 = [0.01 0.1 0.01]; % Initial values chosen arbitrarily EstMdl = estimate(Mdl,y,params0,'lb',[-Inf 0 0]);
Method: Maximum likelihood (fmincon)
Effective Sample size: 98
Logarithmic likelihood: 3.44283
Akaike info criterion: -0.885655
Bayesian info criterion: 6.92986
| Coeff Std Err t Stat Prob
--------------------------------------------------
c(1) | 0.54134 0.20494 2.64145 0.00826
c(2) | 0.18439 0.03305 5.57897 0
c(3) | 0.11783 0.04347 2.71039 0.00672
|
| Final State Std Dev t Stat Prob
x(1) | 0.24884 0.17168 1.44943 0.14722
x(2) | 1.73762 0.17168 10.12121 0
Параметры близко к их истинным значениям.
Сглаживайте состояния EstMdl и запросите весь другой доступный вывод.
[X,logL,Output] = smooth(EstMdl,y);
X является T-by-2 матрица сглаживавших состояний, logL является оптимизированным значением логарифмической вероятности финала, и Output является массивом структур, содержащим различные оценки, что Фильтр Калмана требует. Перечислите поля output с помощью fields.
fields(Output)
ans = 9x1 cell array
{'LogLikelihood' }
{'SmoothedStates' }
{'SmoothedStatesCov' }
{'SmoothedStateDisturb' }
{'SmoothedStateDisturbCov'}
{'SmoothedObsInnov' }
{'SmoothedObsInnovCov' }
{'KalmanGain' }
{'DataUsed' }
Преобразуйте Output в таблицу.
OutputTbl = struct2table(Output);
OutputTbl(1:10,1:4) % Display first ten rows of first four variablesans=10×4 table
LogLikelihood SmoothedStates SmoothedStatesCov SmoothedStateDisturb
_____________ ______________ _________________ ____________________
[] [] [] []
[] [] [] []
[ 0.1827] [2x1 double] [2x2 double] [2x1 double]
[ 0.0972] [2x1 double] [2x2 double] [2x1 double]
[ 0.4472] [2x1 double] [2x2 double] [2x1 double]
[ 0.2073] [2x1 double] [2x2 double] [2x1 double]
[ 0.5167] [2x1 double] [2x2 double] [2x1 double]
[ 0.2389] [2x1 double] [2x2 double] [2x1 double]
[ 0.5064] [2x1 double] [2x2 double] [2x1 double]
[-0.0105] [2x1 double] [2x2 double] [2x1 double]
Первые две строки таблицы содержат пустые ячейки или нули. Они соответствуют наблюдениям, требуемым инициализировать рассеянный Фильтр Калмана. Таким образом, SwitchTime равняется 2.
SwitchTime = 2;
Постройте сглаживавшие состояния и их отдельные 95% доверительных интервалов вальдового типа.
CI = nan(T,2,2); for j = (SwitchTime + 1):T CovX = OutputTbl.SmoothedStatesCov{j}; CI(j,:,1) = X(j,1) + 1.96*sqrt(CovX(1,1))*[-1 1]; CI(j,:,2) = X(j,2) + 1.96*sqrt(CovX(2,2))*[-1 1]; end figure; plot(1:T,X(:,1),'k',1:T,CI(:,:,1),'--r'); xlabel('Period'); ylabel('Smoothed states'); title('State 1 Estimates') legend('Smoothed','95% Individual CIs'); grid on;
figure; plot(1:T,X(:,2),'k',1:T,CI(:,:,2),'--r'); xlabel('Period'); ylabel('Smoothed states'); title('State 2 Estimates') legend('Smoothed','95% Individual CIs'); grid on;
Советы
Mdlне хранит данные об ответе, данные о предикторе и коэффициенты регрессии. Снабдите данными везде, где необходимое использование соответствующего входа или аргументов пары "имя-значение".Это - лучшая практика позволить
smoothопределять значениеSwitchTime. Однако в редких случаях, вы можете испытать числовые проблемы во время оценки, фильтрации или сглаживания рассеянных моделей в пространстве состояний. Для таких случаев попытайтесь экспериментировать с различными спецификациямиSwitchTime, или рассмотрите различную образцовую структуру (например, упростите или повторно проверьте модель). Например, преобразуйте рассеянную модель в пространстве состояний в стандартную модель в пространстве состояний с помощьюssm.Чтобы ускорить оценку для низко-размерных, независимых от времени моделей, установите
'Univariate',true. Используя эту спецификацию, программное обеспечение последовательно обновляет скорее затем обновление целиком во время процесса фильтрации.
Алгоритмы
Фильтр Калмана хранит недостающие данные, не обновляя отфильтрованное оценочное соответствие состояния недостающим наблюдениям. Другими словами, предположите, что существует недостающее наблюдение в период t. Затем прогноз состояния для периода t на основе предыдущего t – 1 наблюдение и отфильтрованное состояние в течение периода t эквивалентен.
Для явным образом заданных моделей в пространстве состояний
filterприменяет все предикторы к каждому ряду ответа. Однако каждый ряд ответа имеет свой собственный набор коэффициентов регрессии.Рассеянный Фильтр Калмана требует преддемонстрационных данных. Если недостающие наблюдения начинают временные ряды, то рассеянный Фильтр Калмана должен собрать достаточно ненедостающих наблюдений, чтобы инициализировать рассеянные состояния.
Для рассеянных моделей в пространстве состояний
filterобычно переключается от рассеянного Фильтра Калмана до стандартного Фильтра Калмана, когда количество совокупных наблюдений и количество рассеянных состояний равны. Однако, если рассеянная модель в пространстве состояний имеет проблемы идентифицируемости (например, модель является слишком комплексной, чтобы соответствовать к данным), тоfilterможет потребовать, чтобы больше наблюдений инициализировало рассеянные состояния. В крайних случаяхfilterтребует целой выборки.
Ссылки
[1] Дербин Дж. и С. Дж. Купмен. Анализ Временных рядов Методами Пространства состояний. 2-й редактор Оксфорд: Издательство Оксфордского университета, 2012.