Этот пример показывает, как создать и оценить модель в пространстве состояний, содержащую изменяющиеся во времени параметры.
Предположим, что AR (2) и модель MA (1) включает скрытый процесс. Существует 50 периодов и MA (1), процесс выпадает из модели в течение итоговых 25 периодов. Впоследствии, уравнение состояния в течение первых 25 периодов
В течение последних 25 периодов уравнение состояния
где
и
являются Гауссовыми со средним значением 0 и стандартным отклонением 1.
Сгенерируйте случайную последовательность 50 наблюдений от
и
, приняв, что ряд запускается в 1,5 и 1, соответственно.
T = 50; ARMdl = arima('AR',{0.7,-0.2},'Constant',0,'Variance',1); MAMdl = arima('MA',0.6,'Constant',0,'Variance',1); x0 = [1.5 1; 1.5 1]; rng(1); x = [simulate(ARMdl,T,'Y0',x0(:,1)),... [simulate(MAMdl,T/2,'Y0',x0(:,2));nan(T/2,1)]];
Последние 25 значений для моделируемого MA (1) данные отсутствуют.
Предположим далее, что скрытые процессы измеряются с помощью
в течение первых 25 периодов, и
в течение последних 25 периодов.
является Гауссовым со средним значением 0 и стандартным отклонением 1.
Сгенерируйте наблюдения с помощью случайного скрытого процесса состояния (x) и уравнение наблюдения.
y = 2*nansum(x')'+randn(T,1);
Вместе, скрытые уравнения процесса и наблюдения составляют модель в пространстве состояний. Если коэффициенты являются неизвестными параметрами, модель в пространстве состояний
Запишите функцию, которая задает, как параметры в params сопоставляют с матрицами модели в пространстве состояний, значениями начального состояния и типом состояния.
% Copyright 2015 The MathWorks, Inc. function [A,B,C,D,Mean0,Cov0,StateType] = AR2MAParamMap(params,T) %AR2MAParamMap Time-variant state-space model parameter mapping function % % This function maps the vector params to the state-space matrices (A, B, % C, and D), the initial state value and the initial state variance (Mean0 % and Cov0), and the type of state (StateType). From periods 1 to T/2, the % state model is an AR(2) and an MA(1) model, and the observation model is % the sum of the two states. From periods T/2 + 1 to T, the state model is % just the AR(2) model. A1 = {[params(1) params(2) 0 0; 1 0 0 0; 0 0 0 params(3); 0 0 0 0]}; B1 = {[1 0; 0 0; 0 1; 0 1]}; C1 = {params(4)*[1 0 1 0]}; Mean0 = ones(4,1); Cov0 = 10*eye(4); StateType = [0 0 0 0]; A2 = {[params(1) params(2) 0 0; 1 0 0 0]}; B2 = {[1; 0]}; A3 = {[params(1) params(2); 1 0]}; B3 = {[1; 0]}; C3 = {params(5)*[1 0]}; A = [repmat(A1,T/2,1);A2;repmat(A3,(T-2)/2,1)]; B = [repmat(B1,T/2,1);B2;repmat(B3,(T-2)/2,1)]; C = [repmat(C1,T/2,1);repmat(C3,T/2,1)]; D = 1; end
Сохраните этот код в файле с именем AR2MAParamMap и поместите его в свой путь MATLAB®.
Создайте модель в пространстве состояний путем передачи функционального AR2MAParamMap как указателя на функцию к ssm.
Mdl = ssm(@(params)AR2MAParamMap(params,T));
ssm неявно задает модель в пространстве состояний. Обычно, вы не можете проверить неявно заданные модели в пространстве состояний.
Передайте наблюдаемые ответы (y) estimate, чтобы оценить параметры. Задайте положительные начальные значения для неизвестных параметров.
params0 = 0.1*ones(5,1); EstMdl = estimate(Mdl,y,params0)
Method: Maximum likelihood (fminunc)
Sample size: 50
Logarithmic likelihood: -114.957
Akaike info criterion: 239.913
Bayesian info criterion: 249.473
| Coeff Std Err t Stat Prob
---------------------------------------------------
c(1) | 0.47870 0.26634 1.79733 0.07229
c(2) | 0.00809 0.27179 0.02975 0.97626
c(3) | 0.55735 0.80958 0.68844 0.49118
c(4) | 1.62679 0.41622 3.90848 0.00009
c(5) | 1.90021 0.49563 3.83391 0.00013
|
| Final State Std Dev t Stat Prob
x(1) | -0.81229 0.46815 -1.73511 0.08272
x(2) | -0.31449 0.45918 -0.68490 0.49341
EstMdl =
State-space model type: <a href="matlab: doc ssm">ssm</a>
State vector length: Time-varying
Observation vector length: 1
State disturbance vector length: Time-varying
Observation innovation vector length: 1
Sample size supported by model: 50
State variables: x1, x2,...
State disturbances: u1, u2,...
Observation series: y1, y2,...
Observation innovations: e1, e2,...
State equations of period 1, 2, 3,..., 25:
x1(t) = (0.48)x1(t-1) + (8.09e-03)x2(t-1) + u1(t)
x2(t) = x1(t-1)
x3(t) = (0.56)x4(t-1) + u2(t)
x4(t) = u2(t)
State equations of period 26:
x1(t) = (0.48)x1(t-1) + (8.09e-03)x2(t-1) + u1(t)
x2(t) = x1(t-1)
State equations of period 27, 28, 29,..., 50:
x1(t) = (0.48)x1(t-1) + (8.09e-03)x2(t-1) + u1(t)
x2(t) = x1(t-1)
Observation equation of period 1, 2, 3,..., 25:
y1(t) = (1.63)x1(t) + (1.63)x3(t) + e1(t)
Observation equation of period 26, 27, 28,..., 50:
y1(t) = (1.90)x1(t) + e1(t)
Initial state distribution:
Initial state means
x1 x2 x3 x4
1 1 1 1
Initial state covariance matrix
x1 x2 x3 x4
x1 10 0 0 0
x2 0 10 0 0
x3 0 0 10 0
x4 0 0 0 10
State types
x1 x2 x3 x4
Stationary Stationary Stationary Stationary
Предполагаемые параметры в 1 стандартной погрешности их истинных значений, но стандартные погрешности довольно высоки. Поверхности вероятности моделей в пространстве состояний могут содержать локальные максимумы. Поэтому это - хорошая практика, чтобы попробовать несколько начальных значений параметров или рассмотреть использование refine.
estimate | forecast | refine | simulate | ssm