Создайте модель в пространстве состояний, содержащую состояние ARMA

Этот пример показывает, как создать стационарную модель ARMA, подвергающуюся погрешности измерения с помощью ssm.

Чтобы явным образом создать модель в пространстве состояний, полезно записать состояние и уравнения наблюдения в матричной форме. В этом примере состояние интереса является ARMA (2,1) процесс

$x_{t} = c + ϕ_{1} x_{t - 1} + ϕ_{2} x_{t - 2} + u_{t} + θ_{1} u_{t - 1},$

где $u_{t}$ является Гауссовым со средним значением 0 и известным стандартным отклонением 0.5.

Переменные $x_{t}$ , $x_{t - 1}$ , и $u_{t}$ находятся в среде модели в пространстве состояний. Поэтому условия $c$ , $ϕ_{2} x_{t - 2}$ , и $θ_{1} u_{t - 1}$ потребуйте, "чтобы фиктивные состояния" были включены в модель.

Впоследствии, уравнение состояния

$[\begin{array}{cccccccccccccccccccc} x_{1, t} \\ x_{2, t} \\ x_{3, t} \\ x_{4, t} \end{array}] = [\begin{array}{cccccccccccccccccccc} ϕ_{1} & c & ϕ_{2} & θ_{1} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] [\begin{array}{cccccccccccccccccccc} x_{1, t - 1} \\ x_{2, t - 1} \\ x_{3, t - 1} \\ x_{4, t - 1} \end{array}] + [\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 0.5 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] u_{1, t}$

Обратите внимание на то, что:

c соответствует состоянию ( $x_{2, t}$ ) это всегда - 1.
$x_{3, t} = x_{1, t - 1}$ , и $x_{1, t}$ имеет термин $ϕ_{2} x_{3, t - 1} = ϕ_{2} x_{1, t - 2}$ .
$x_{1, t}$ имеет термин $0.5 u_{1, t}$ . ssm помещает воздействия состояния как Гауссовы случайные переменные со средним значением 0 и отклонением 1. Поэтому факторный 0.5 является стандартным отклонением воздействия состояния.
$x_{4, t} = u_{1, t}$ , и $x_{1, t}$ имеет термин $θ_{1} x_{4, t} = θ_{1} u_{1, t - 1}$ .

Уравнение наблюдения является несмещенным для ARMA (2,1) процесс состояния. Инновации наблюдения являются Гауссовыми со средним значением 0 и известным стандартным отклонением 0.1. Символически, уравнение наблюдения

$y_{t} = [\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}] [\begin{array}{cccccccccccccccccccc} x_{1, t} \\ x_{2, t} \\ x_{3, t} \\ x_{4, t} \end{array}] + 0.1 ε_{t} .$

Можно включать фактор чувствительности измерения (смещение), заменяя 1 в векторе - строке скалярным или неизвестным параметром.

Задайте матрицу коэффициентов изменения состояния. Используйте значения NaN, чтобы указать на неизвестные параметры.

A = [NaN NaN NaN NaN; 0 1 0 0; 1 0 0 0; 0 0 0 0];

Задайте матрицу коэффициентов загрузки воздействия состояния.

B = [0.5; 0; 0; 1];

Задайте матрицу коэффициентов чувствительности измерения.

C = [1 0 0 0];

Задайте матрицу коэффициентов инноваций наблюдения.

D = 0.1;

Используйте ssm, чтобы создать модель в пространстве состояний. Установите среднее значение начального состояния (Mean0) на вектор нулей и ковариационной матрицы (Cov0) к единичной матрице, кроме набора среднее значение и отклонение постоянного состояния к 1 и 0, соответственно. Задайте тип дистрибутивов начального состояния (StateType) путем отмечания что:

$x_{1, t}$ стационарное, ARMA (2,1) процесс.
$x_{2, t}$ постоянный 1 в течение всех периодов.
$x_{3, t}$ изолированный процесс ARMA, таким образом, это является стационарным.
$x_{4, t}$ бело-шумовой процесс, таким образом, это является стационарным.

Mean0 = [0; 1; 0; 0];                                      
Cov0 = eye(4);
Cov0(2,2) = 0;
StateType = [0; 1; 0; 0];
Mdl = ssm(A,B,C,D,'Mean0',Mean0,'Cov0',Cov0,'StateType',StateType);

Mdl является моделью ssm. Можно использовать запись через точку, чтобы получить доступ к ее свойствам. Например, распечатайте A путем ввода Mdl.A.

Используйте disp, чтобы проверить модель в пространстве состояний.

disp(Mdl)

State-space model type: ssm

State vector length: 4
Observation vector length: 1
State disturbance vector length: 1
Observation innovation vector length: 1
Sample size supported by model: Unlimited
Unknown parameters for estimation: 4

State variables: x1, x2,...
State disturbances: u1, u2,...
Observation series: y1, y2,...
Observation innovations: e1, e2,...
Unknown parameters: c1, c2,...

State equations:
x1(t) = (c1)x1(t-1) + (c2)x2(t-1) + (c3)x3(t-1) + (c4)x4(t-1) + (0.50)u1(t)
x2(t) = x2(t-1)
x3(t) = x1(t-1)
x4(t) = u1(t)

Observation equation:
y1(t) = x1(t) + (0.10)e1(t)

Initial state distribution:

Initial state means
 x1  x2  x3  x4 
  0   1   0   0 

Initial state covariance matrix
     x1  x2  x3  x4 
 x1   1   0   0   0 
 x2   0   0   0   0 
 x3   0   0   1   0 
 x4   0   0   0   1 

State types
     x1         x2         x3          x4     
 Stationary  Constant  Stationary  Stationary

Если у вас есть набор ответов, можно передать их и Mdl к estimate, чтобы оценить параметры.

Смотрите также

disp | estimate | ssm

Связанные примеры

Больше о

Что такое модели в пространстве состояний?

Документация