Модульная корневая нестационарность

Что такое модульный корневой тест?

Процесс unit root является генерирующим данные процессом, первое различие которого является стационарным. Другими словами, модульный корневой процесс _yt имеет форму

_yt = y _{t –1} + стационарный процесс.

Модульный корневой тест пытается определить, сопоставимы ли данные временные ряды с модульным корневым процессом.

Следующий раздел предоставляет больше подробную информацию модульных корневых процессов и предлагает, почему важно обнаружить их.

Моделирование модульных корневых процессов

Существует две базовых модели для экономических данных с линейными характеристиками роста:

Стационарный трендом процесс (TSP): _yt = c + δt + стационарный процесс
Модульный корневой процесс, также названный стационарным различием процессом (DSP): Δ_yt = δ + стационарный процесс

Здесь Δ является оператором дифференцирования, Δ_yt = _yt – y _{t –1} = (1 – L) _yt, где L является оператором задержки, заданным ^Liyt = _{yt – i}.

Процессы неразличимы для конечных данных. Другими словами, существуют и TSP и DSP, которые соответствуют набору конечных данных произвольно хорошо. Однако процессы различимы, когда ограничено конкретным подклассом генерирующих данные процессов, таковы как AR (p) процессы. После подбирания модели к данным модуль базируется тестовые проверки, если AR (1) коэффициент равняется 1.

Существует две главных причины различать эти типы процессов:

Прогнозирование

TSP и DSP производят различные прогнозы. В основном шоки для TSP возвращают в линию тренда c + δt, когда время увеличивается. Напротив, шоки для DSP могут быть персистентными в зависимости от времени.

Например, рассмотрите простую стационарную трендом модель

y _{1, t} = 0.9y1_{, t – 1} + 0.02t + ε _{1, t}

и стационарная различием модель

y _{2, t} = 0.2 + y _{2, t – 1} + ε _{2, t}.

В этих моделях, ε _{1, t} и ε _{2, t} является независимыми инновационными процессами. В данном примере инновациями является независимый и распределенный N (0,1).

Оба процесса растут со скоростью 0.2. Чтобы вычислить темп роста для TSP, который имеет линейный член 0.02t, устанавливает ε ₁ (t) = 0. Затем решите модель y₁ (t) = c + δt для c и δ:

c + δt = 0.9 (c + δ (t –1)) + 0.02t.

Решением является c = –1.8, δ = 0.2.

График для t = 1:1000 показывает, что TSP остается очень близко к линии тренда, в то время как DSP имеет персистентные отклонения далеко от линии тренда.

T = 1000;   % Sample size
t = (1:T)'; % Period vector
rng(5);     % For reproducibility

randm = randn(T,2); % Innovations
y = zeros(T,2);     % Columns of y are data series

% Build trend stationary series
y(:,1) = .02*t + randm(:,1); 
for ii = 2:T
    y(ii,1) = y(ii,1) + y(ii-1,1)*.9;
end

% Build difference stationary series
y(:,2) = .2 + randm(:,2); 
y(:,2) = cumsum(y(:,2)); 

figure
plot(y(:,1),'b')
hold on
plot(y(:,2),'g')
plot((1:T)*0.2,'k--')
legend('Trend Stationary','Difference Stationary',...
    'Trend Line','Location','NorthWest')
hold off

Прогнозы на основе двух рядов отличаются. Чтобы видеть это различие, постройте предсказанное поведение двух рядов с помощью varm, estimate и forecast. Следующий график показывает последние 100 точек данных в двух рядах и прогнозах следующих 100 точек, включая доверительные границы.

AR = {[NaN 0; 0 NaN]}; % Independent response series
trend = [NaN; 0];      % Linear trend in first series only
Mdl = varm('AR',AR,'Trend',trend);

EstMdl = estimate(Mdl,y);
EstMdl.SeriesNames = ["Trend stationary" "Difference stationary"];

[ynew,ycov] = forecast(EstMdl,100,y);
% This generates predictions for 100 time steps

seY = sqrt(diag(EstMdl.Covariance))'; % Extract standard deviations of y
CIY = zeros([size(y) 2]);             % In-sample intervals
CIY(:,:,1) = y - seY;
CIY(:,:,2) = y + seY;

extractFSE = cellfun(@(x)sqrt(diag(x))',ycov,'UniformOutput',false);
seYNew = cell2mat(extractFSE);
CIYNew = zeros([size(ynew) 2]); % Forecast intervals
CIYNew(:,:,1) = ynew - seYNew;
CIYNew(:,:,2) = ynew + seYNew;

tx = (T-100:T+100);
hs = 1:2;
figure;
for j = 1:Mdl.NumSeries
    hs(j) = subplot(2,1,j);
    hold on;
    h1 = plot(tx,tx*0.2,'k--');
    axis tight;
    ha = gca;
    h2 = plot(tx,[y(end-100:end,j); ynew(:,j)]);
    h3 = plot(tx(1:101),squeeze(CIY(end-100:end,j,:)),'r:');
    plot(tx(102:end),squeeze(CIYNew(:,j,:)),'r:');
    h4 = fill([tx(102) ha.XLim([2 2]) tx(102)],ha.YLim([1 1 2 2]),[0.7 0.7 0.7],...
        'FaceAlpha',0.1,'EdgeColor','none');
    title(EstMdl.SeriesNames{j});
    hold off;
end
legend(hs(1),[h1 h2 h3(1) h4],...
    {'Trend','Process','Interval estimate','Forecast horizon'},'Location','Best');

Исследуйте подходящие параметры путем выполнения summarize(EstMdl), и вы находите, что estimate сделал превосходное задание.

TSP уверен интервалы, которые не растут со временем, тогда как DSP уверен интервалы, которые растут. Кроме того, TSP переходит к линии тренда быстро, в то время как DSP не ухаживает к линии тренда за y = 0.2t асимптотически.

Побочная регрессия

Присутствие модульных корней может привести к ложным выводам в регрессиях между временными рядами.

Предположим_{, что xt} и _yt являются модульными корневыми процессами с независимым шагом, таким как случайные обходы с дрейфом

_xt = c ₁ + x _{t –1} + ε ₁ (t)
_yt = c ₂ + y _{t –1} + ε ₂ (t),

где _εi (t) является независимыми инновационными процессами. Регрессирующий y на результатах x, в целом, в ненулевом коэффициенте регрессии и значительном коэффициенте детерминации R ². Этот результат содержит несмотря на _xt и _yt, являющийся независимыми случайными обходами.

Если оба процесса имеют тренды (_ci ≠ 0), существует корреляция между x и y из-за их линейных трендов. Однако, даже если _ci = 0, присутствие модуля базируется в _xt и корреляции урожаев процессов _yt. Для получения дополнительной информации о побочной регрессии смотрите Грейнджера и Ньюболд [1].

Доступные тесты

Существует четыре теста Econometrics Toolbox™ для модульных корней. Эти функции тестируют на существование корня единого блока. Когда существует два или больше модульных корня, результаты этих тестов не могут быть допустимыми.

Более полный Дики и тесты Phillips-крыльца
Тест KPSS
Тест отношения отклонения

Более полный Дики и тесты Phillips-крыльца

adftest выполняет увеличенный Более полный Дики тест. pptest выполняет тест Phillips-крыльца. Эти два класса тестов имеют нулевую гипотезу модульного корневого процесса формы

_yt = y _{t –1} + c + δ t + _εt,

который функции тестируют против альтернативной модели

_yt = γ y _{t –1} + c + δ t + _εt,

где γ <1. Пустые и альтернативные модели для Более полного Дики теста похожи на тех для теста Phillips-крыльца. Различием является adftest, расширяет модель с дополнительными параметрами, составляющими последовательную корреляцию среди инноваций:

_yt = c + δt + γ y _{t – 1} + ϕ _1Δy_{t – 1} + ϕ _2Δy_{t – 2} +... + ϕ _p Δy_{t – p}+ ε _t,

где

L является оператором задержки: _Lyt = y _{t –1}.
Δ = 1 – L, таким образом, Δ_yt = _yt – y _{t –1}.
ε _t является инновационным процессом.

Phillips-крыльцо настраивает тестовую статистику, чтобы составлять последовательную корреляцию.

Существует три варианта и adftest и pptest, соответствуя следующим значениям параметра 'model':

'AR' принимает c и δ, которые появляются в предыдущих уравнениях, оба 0; альтернатива 'AR' имеет среднее значение 0.
'ARD' принимает, что δ является 0. Альтернатива 'ARD' имеет средний c / (1–γ).
'TS' не делает предположения о c и δ.

Для получения информации о том, как выбрать соответствующее значение 'model', смотрите, Выбирают Models to Test.

Тест KPSS

Тест KPSS, kpsstest, является инверсией теста Phillips-крыльца: это инвертирует пустые и альтернативные гипотезы. Тест KPSS использует модель:

_yt = _ct + δt + _ut, с
_ct = c _{t –1} + _vt.

Здесь _ut является стационарным процессом, и _vt является i.i.d. процессом со средним значением 0 и отклонением σ ². Нулевая гипотеза - то, что σ ² = 0, так, чтобы случайный термин обхода _ct стал постоянным прерыванием. Альтернативой является σ ^2> 0, который вводит модульный корень в случайном обходе.

Тест отношения отклонения

Тест отношения отклонения, vratiotest, основан на том, что отклонение случайного обхода увеличивается линейно со временем. vratiotest может также учесть heteroscedasticity, где отклонение увеличивается по плавающему курсу со временем. Тест имеет нулевые гипотезы случайного обхода:

Δ_yt = ε _t.

Тестирование на модульные корни

Преобразуйте данные
Выберите Models to Test
Определите соответствующие задержки
Проведите модульные корневые тесты в нескольких задержках

Преобразуйте данные

Преобразуйте свои временные ряды, чтобы быть приблизительно линейными прежде, чем протестировать на модульный корень. Если ряд имеет экспоненциальный рост, возьмите его логарифм. Например, GDP и потребительские цены обычно имеют экспоненциальный рост, так протестируйте их логарифмы на модульные корни.

Если вы хотите преобразовать свои данные, чтобы быть стационарными вместо приблизительно линейного, модульные корневые тесты могут помочь вам определить ли к различию ваши данные или вычесть линейный тренд. Для обсуждения этой темы смотрите то, Что Модульный Корневой Тест?

Выберите Models to Test

Для adftest или pptest, выберите model в можно следующим образом:
- Если ваши данные показывают линейный тренд, установите model на 'TS'.
- Если ваши данные не показывают тренда, но, кажется, имеют ненулевое среднее значение, устанавливают model на 'ARD'.
- Если ваши данные не показывают тренда, и, кажется, имеют нулевое среднее значение, устанавливают model на 'AR' (значение по умолчанию).
Для kpsstest, набор trend к true (значение по умолчанию), если данные показывают линейный тренд. В противном случае установите trend на false.
Для vratiotest, набор IID к true, если вы хотите протестировать на независимые, тождественно распределенные инновации (никакой heteroscedasticity). В противном случае оставьте IID в значении по умолчанию, false. Линейные тренды не влияют на vratiotest.

Определите соответствующие задержки

Установка соответствующих задержек зависит от теста, который вы используете:

adftest — Один метод должен начать задержку имеющую, такую как та, рекомендуемая Schwert [2]. Затем тест вниз путем оценки значения коэффициента термина в задержке p _{максимум}. Schwert рекомендует максимальную задержку
$p_{\max} = максимальная задержка = ⌊ 12 {(T / 100)}^{1 / 4} ⌋,$
где $⌊ x ⌋$ целая часть x. Обычная статистическая величина t подходит для тестирования значения коэффициентов, как сообщается в reg структура вывода.
Другой метод должен объединить меру подгонки, такой как SSR, с информационными критериями, такими как AIC, BIC и HQC. Эти статистические данные также появляются в reg структура вывода. Ын и Крыльцо [3] предоставляют дальнейшие инструкции.
kpsstest — Один метод должен начаться с немногих задержек, и затем оценить чувствительность результатов путем добавления большего количества задержек. Для непротиворечивости Newey-западного средства оценки количество задержек должно перейти к бесконечности, когда объем выборки увеличивается. Квиатковский и др. [4] предлагает использовать много задержек на порядке T ^1/2, где T является объемом выборки.
Для примера выбора задержек для kpsstest смотрите Тестовые Данные временных рядов для Модульного Корня.
pptest — Один метод должен начаться с немногих задержек, и затем оценить чувствительность результатов путем добавления большего количества задержек. Другой метод должен посмотреть на демонстрационные автокорреляции _yt – y _{t –1}; низкие скорости затухания требуют большего количества задержек. Newey-западное средство оценки сопоставимо, если количество задержек является O (T ^1/4), где T является эффективным объемом выборки, настроенным для задержки и отсутствующих значений. Белый и Domowitz [5] и Крыльцо [6] предоставляют дальнейшие инструкции.
Для примера выбора задержек для pptest смотрите Тестовые Данные временных рядов для Модульного Корня.
vratiotest не использует задержки.

Проведите модульные корневые тесты в нескольких задержках

Запустите несколько тестов одновременно путем ввода вектора параметров для lags, alpha, model или test. Все векторные параметры должны иметь ту же длину. Тест расширяет любой скалярный параметр до длины векторного параметра. Для примера с помощью этого метода смотрите Тестовые Данные временных рядов для Модульного Корня.

Ссылки

[1] Грейнджер, C. W. J. и P. Ньюболд. “Побочные Регрессии в Эконометрике”. Журнал Эконометрики. Vol 2, 1974, стр 111–120.

[2] Schwert, W. “Тесты для Модульных Корней: Расследование Монте-Карло”. Журнал Бизнес-и Экономической статистики. Издание 7, 1989, стр 147–159.

[3] Ын, S. и P. Крыльцо. “Модульные Корневые Тесты в Моделях ARMA с Информационно-зависимыми Методами для Выбора Задержки Усечения”. Журнал американской Статистической Ассоциации. Издание 90, 1995, стр 268–281.

[4] Квиатковский, D., П. К. Б. Филлипс, П. Шмидт и И. Шин. “Тестируя Нулевую гипотезу Стационарности против Альтернативы для Модульного Корня”. Журнал Эконометрики. Издание 54, 1992, стр 159–178.

[5] Белый, H. и я. Domowitz. “Нелинейная Регрессия с Зависимыми Наблюдениями”. Econometrica. Издание 52, 1984, стр 143–162.

[6] Крыльцо, P. “Тренды и Случайные Обходы в Макроэкономических Временных рядах: Новые доказательства от Нового Подхода”. Журнал Экономической Динамики и Управления. Издание 12, 1988, стр 297–332.

Документация