кватернион

Создайте массив кватерниона

расширьте все на странице

Описание

Кватернион является гиперкомплексным числом с четырьмя частями, используемым в 3D вращениях и ориентациях.

Номер кватерниона представлен в форме a+bi+cj+dk, где a, b, c и части d являются вещественными числами и i, j, и k являются базисными элементами, удовлетворяя уравнению: i2 = j2 = k2 = ijk = −1.

Набор кватернионов, обозначенных H, задан в четырехмерном векторном пространстве по вещественным числам, R4. Каждый элемент H имеет уникальное представление на основе линейной комбинации базисных элементов, i, j, и k.

Все вращения в 3-D могут быть описаны осью вращения и угла о той оси. Преимущество кватернионов по матрицам вращения состоит в том, что ось и угол вращения легко интерпретировать. Например, рассмотрите вопрос в R3. Чтобы вращать точку, вы задаете ось вращения и угол вращения.

Представление кватерниона вращения может быть выражено как q=потому что(θ2)+sin(θ2)(ubi+ucj+udk), где θ является углом вращения и [ub, uc, и ud] является осью вращения.

Создание

Синтаксис

quat = quaternion()
quat = quaternion(A,B,C,D)
quat = quaternion(matrix)
quat = quaternion(RV,'rotvec')
quat = quaternion(RV,'rotvecd')
quat = quaternion(RM,'rotmat',PF)
quat = quaternion(E,'euler',RS,PF)
quat = quaternion(E,'eulerd',RS,PF)

Описание

пример

quat = quaternion() создает пустой кватернион.

пример

quat = quaternion(A,B,C,D) создает массив кватерниона, где четыре части кватерниона взяты из массивов A, B, C и D. Все входные параметры должны иметь тот же размер и быть совпадающего типа данных.

пример

quat = quaternion(matrix) создает N-by-1 массив кватерниона от N-by-4 матрица, где каждый столбец становится одной частью кватерниона.

пример

quat = quaternion(RV,'rotvec') создает N-by-1 массив кватерниона от N-by-3 матрица векторов вращения, RV. Каждая строка RV представляет вектор вращения в радианах.

пример

quat = quaternion(RV,'rotvecd') создает N-by-1 массив кватерниона от N-by-3 матрица векторов вращения, RV. Каждая строка RV представляет вектор вращения в градусах.

пример

quat = quaternion(RM,'rotmat',PF) создает N-by-1 массив кватерниона от 3 3 N массивом матриц вращения, RM. PF может быть или 'point', если Углы Эйлера представляют вращения точки или 'frame' для вращений кадра.

пример

quat = quaternion(E,'euler',RS,PF) создает N-by-1 массив кватерниона от N-by-3 матрица, E. Каждая строка E представляет набор Углов Эйлера в радианах. Углы в E являются вращениями вокруг осей в последовательности RS.

пример

quat = quaternion(E,'eulerd',RS,PF) создает N-by-1 массив кватерниона от N-by-3 матрица, E. Каждая строка E представляет набор Углов Эйлера в градусах. Углы в E являются вращениями вокруг осей в последовательности RS.

Входные параметры

развернуть все

Части кватерниона, заданного как четыре разделенных от запятой скаляра, матрицы или многомерные массивы, одного размера.

Пример: quat = quaternion(1,2,3,4) создает кватернион формы 1 + 2i + 3j + 4k.

Пример: quat = quaternion([1,5],[2,6],[3,7],[4,8]) создает 1 2 массив кватерниона где quat(1,1) = 1 + 2i + 3j + 4k и quat(1,2) = 5 + 6i + 7j + 8k

Типы данных: single | double

Матрица частей кватерниона, заданных как N-by-4 матрица. Каждая строка представляет отдельный кватернион. Каждый столбец представляет отдельную часть кватерниона.

Пример: quat = quaternion(rand(10,4)) создает массив кватерниона 10 на 1.

Типы данных: single | double

Матрица векторов вращения, заданных как N-by-3 матрица. Каждая строка RV представляет [X Y Z] элементы вектора вращения. Вектор вращения является единичным вектором, представляющим ось вращения, масштабируемого углом вращения в радианах или степенях.

Чтобы использовать этот синтаксис, задайте первый аргумент как матрицу векторов вращения и второго аргумента как 'rotvec' или 'rotvecd'.

Пример: quat = quaternion(rand(10,3),'rotvec') создает массив кватерниона 10 на 1.

Типы данных: single | double

Массив матриц вращения, заданных 3х3 матрицей или 3 3 N массивом. Каждая страница массива представляет отдельную матрицу вращения.

Пример: quat = quaternion(rand(3),'rotmat','point')

Пример: quat = quaternion(rand(3),'rotmat','frame')

Типы данных: single | double

Тип матрицы вращения, заданной 'point' или 'frame'.

Пример: quat = quaternion(rand(3),'rotmat','point')

Пример: quat = quaternion(rand(3),'rotmat','frame')

Типы данных: char | string

Матрица Углов Эйлера, заданных N-by-3 матрица. При использовании синтаксиса 'euler' задайте E в радианах. При использовании синтаксиса 'eulerd' задайте E в градусах.

Пример: quat = quaternion(E,'euler','YZY','point')

Пример: quat = quaternion(E,'euler','XYZ','frame')

Типы данных: single | double

Последовательность вращения, заданная как трехэлементный вектор символов:

  • 'YZY'

  • 'YXY'

  • 'ZYZ'

  • 'ZXZ'

  • 'XYX'

  • 'XZX'

  • 'XYZ'

  • 'YZX'

  • 'ZXY'

  • 'XZY'

  • 'ZYX'

  • 'YXZ'

Примите, что вы хотите определить новые координаты точки, когда ее система координат вращается с помощью вращения кадра. Точка задана в системе исходной координаты как:

point = [sqrt(2)/2,sqrt(2)/2,0];
В этом представлении первый столбец представляет x - ось, второй столбец представляет y - ось, и третий столбец представляет z - ось.

Вы хотите вращать точку с помощью представления Угла Эйлера [45,45,0]. Вращайте точку с помощью двух различных последовательностей вращения:

  • Если вы создаете вращающее устройство кватерниона и задаете последовательность 'ZYX', кадр сначала вращается 45 ° вокруг z - ось, то 45 ° вокруг нового y - ось.

    quatRotator = quaternion([45,45,0],'eulerd','ZYX','frame');
newPointCoordinate = rotateframe(quatRotator,point)
    newPointCoordinate =

    0.7071   -0.0000    0.7071

  • Если вы создаете вращающее устройство кватерниона и задаете последовательность 'YZX', кадр сначала вращается 45 ° вокруг y - ось, то 45 ° вокруг нового z - ось.

    quatRotator = quaternion([45,45,0],'eulerd','YZX','frame');
newPointCoordinate = rotateframe(quatRotator,point)
    newPointCoordinate =

    0.8536    0.1464    0.5000

Типы данных: char | string

Функции объекта

classUnderlyingКласс частей в кватернионе
compactПреобразуйте массив кватерниона в матрицу N-4
conjСопряженное комплексное число кватерниона
ctransposeКомплексное сопряженное транспонирование массива кватерниона
distУгловое расстояние в радианах
eulerПреобразуйте кватернион в Углы Эйлера (радианы)
eulerdПреобразуйте кватернион в Углы Эйлера (степени)
meanrotСреднее вращение кватерниона
minus, -Вычитание кватерниона
mtimes, *Умножение кватерниона
normНорма кватерниона
normalizeНормализация кватерниона
onesСоздайте массив кватерниона с набором действительных частей одному и обнуленным мнимым частям
partsИзвлеките части кватерниона
prodПродукт массива кватерниона
rotateframeВращение кадра кватерниона
rotatepointВращение точки кватерниона
rotmatПреобразуйте кватернион в матрицу вращения
rotvecПреобразуйте кватернион в вектор вращения (радианы)
rotvecdПреобразуйте кватернион в вектор вращения (степени)
slerpСферическая линейная интерполяция
times, .*Поэлементное умножение кватерниона
ldivide, .\Поэлементный кватернион покинул деление
rdivide, ./Поэлементное деление права кватерниона
power, .^Поэлементная степень кватерниона
expЭкспоненциал массива кватерниона
logНатуральный логарифм массива кватерниона
transposeТранспонируйте массив кватерниона
uminus, -Кватернион, унарный минус
zerosСоздайте массив кватерниона со всеми обнуленными частями
randrotРавномерно распределенные случайные вращения

Примеры

свернуть все

Скрипт Open Live Script
quat = quaternion()
quat = 

  0x0 empty quaternion array

По умолчанию базовый класс кватерниона является двойным.

classUnderlying(quat)
ans = 
'double'
Скрипт Open Live Script

Можно создать массив кватерниона путем определения этих четырех частей как разделенных от запятой скаляров, матриц или многомерных массивов, одного размера.

Задайте части кватерниона как скаляры.

A = 1.1;
B = 2.1;
C = 3.1;
D = 4.1;
quatScalar = quaternion(A,B,C,D)
quatScalar = quaternion
     1.1 + 2.1i + 3.1j + 4.1k

Задайте части кватерниона как вектор-столбцы.

A = [1.1;1.2];
B = [2.1;2.2];
C = [3.1;3.2];
D = [4.1;4.2];
quatVector = quaternion(A,B,C,D)
quatVector = 2x1 quaternion array
     1.1 + 2.1i + 3.1j + 4.1k
     1.2 + 2.2i + 3.2j + 4.2k

Задайте части кватерниона как матрицы.

A = [1.1,1.3; ...
     1.2,1.4];
B = [2.1,2.3; ...
     2.2,2.4];
C = [3.1,3.3; ...
     3.2,3.4];
D = [4.1,4.3; ...
     4.2,4.4];
quatMatrix = quaternion(A,B,C,D)
quatMatrix = 2x2 quaternion array
     1.1 + 2.1i + 3.1j + 4.1k     1.3 + 2.3i + 3.3j + 4.3k
     1.2 + 2.2i + 3.2j + 4.2k     1.4 + 2.4i + 3.4j + 4.4k

Задайте части кватерниона как трехмерные массивы.

A = randn(2,2,2);
B = zeros(2,2,2);
C = zeros(2,2,2);
D = zeros(2,2,2);
quatMultiDimArray = quaternion(A,B,C,D)
quatMultiDimArray = 2x2x2 quaternion array
quatMultiDimArray(:,:,1) = 

     0.53767 +       0i +       0j +       0k     -2.2588 +       0i +       0j +       0k
      1.8339 +       0i +       0j +       0k     0.86217 +       0i +       0j +       0k


quatMultiDimArray(:,:,2) = 

     0.31877 +       0i +       0j +       0k    -0.43359 +       0i +       0j +       0k
     -1.3077 +       0i +       0j +       0k     0.34262 +       0i +       0j +       0k
Скрипт Open Live Script

Можно создать скаляр, или вектор-столбец кватернионов задают матрицу N-4 частей кватерниона, где столбцы соответствуют частям A кватерниона, B, C, и D.

Создайте вектор-столбец случайных кватернионов.

quatParts = rand(3,4)
quatParts = 3×4

    0.8147    0.9134    0.2785    0.9649
    0.9058    0.6324    0.5469    0.1576
    0.1270    0.0975    0.9575    0.9706


quat = quaternion(quatParts)
quat = 3x1 quaternion array
     0.81472 + 0.91338i +  0.2785j + 0.96489k
     0.90579 + 0.63236i + 0.54688j + 0.15761k
     0.12699 + 0.09754i + 0.95751j + 0.97059k

Чтобы получить матрицу quatParts из представления кватерниона, используйте compact.

retrievedquatParts = compact(quat)
retrievedquatParts = 3×4

    0.8147    0.9134    0.2785    0.9649
    0.9058    0.6324    0.5469    0.1576
    0.1270    0.0975    0.9575    0.9706
Скрипт Open Live Script

Можно создать массив кватерниона N-1 путем определения матрицы N-3 векторов вращения в радианах или степенях. Векторы вращения являются компактными пространственными представлениями, которые имеют непосредственное отношение с нормированными кватернионами.

Векторы вращения в радианах

Создайте скалярный кватернион с помощью вектора вращения и проверьте, что получившийся кватернион нормирован.

rotationVector = [0.3491,0.6283,0.3491];
quat = quaternion(rotationVector,'rotvec')
quat = quaternion
     0.92124 + 0.16994i + 0.30586j + 0.16994k


norm(quat)
ans = 1.0000

Можно преобразовать от кватернионов до векторов вращения в радианах с помощью функции rotvec. Восстановите rotationVector с кватерниона, quat.

rotvec(quat)
ans = 1×3

    0.3491    0.6283    0.3491

Векторы вращения в градусах

Создайте скалярный кватернион с помощью вектора вращения и проверьте, что получившийся кватернион нормирован.

rotationVector = [20,36,20];
quat = quaternion(rotationVector,'rotvecd')
quat = quaternion
     0.92125 + 0.16993i + 0.30587j + 0.16993k


norm(quat)
ans = 1

Можно преобразовать от кватернионов до векторов вращения в градусах с помощью функции rotvecd. Восстановите rotationVector с кватерниона, quat.

rotvecd(quat)
ans = 1×3

   20.0000   36.0000   20.0000
Скрипт Open Live Script

Можно создать массив кватерниона N-1 путем определения 3 3 N массивом матриц вращения. Каждая страница матричного массива вращения соответствует одному элементу массива кватерниона.

Создайте скалярный кватернион с помощью 3х3 матрицы вращения. Задайте, должна ли матрица вращения быть интерпретирована как вращение точки или кадр.

rotationMatrix = [1 0         0; ...
                  0 sqrt(3)/2 0.5; ...
                  0 -0.5      sqrt(3)/2];
quat = quaternion(rotationMatrix,'rotmat','frame')
quat = quaternion
     0.96593 + 0.25882i +       0j +       0k

Можно преобразовать от кватернионов до матриц вращения с помощью функции rotmat. Восстановите rotationMatrix с кватерниона, quat.

rotmat(quat,'frame')
ans = 3×3

    1.0000         0         0
         0    0.8660    0.5000
         0   -0.5000    0.8660
Скрипт Open Live Script

Можно создать массив кватерниона N-1 путем определения массива N-3 Углов Эйлера в радианах или степенях.

Углы Эйлера в радианах

Используйте синтаксис euler, чтобы создать скалярный кватернион с помощью 1 3 вектор Углов Эйлера в радианах. Задайте последовательность вращения Углов Эйлера и представляют ли углы вращение точки или кадр.

E = [pi/2,0,pi/4];
quat = quaternion(E,'euler','ZYX','frame')
quat = quaternion
     0.65328 +  0.2706i +  0.2706j + 0.65328k

Можно преобразовать от кватернионов до Углов Эйлера с помощью функции euler. Восстановите Углы Эйлера, E, от кватерниона, quat.

euler(quat,'ZYX','frame')
ans = 1×3

    1.5708         0    0.7854

Углы Эйлера в градусах

Используйте синтаксис eulerd, чтобы создать скалярный кватернион с помощью 1 3 вектор Углов Эйлера в градусах. Задайте последовательность вращения Углов Эйлера и представляют ли углы вращение точки или кадр.

E = [90,0,45];
quat = quaternion(E,'eulerd','ZYX','frame')
quat = quaternion
     0.65328 +  0.2706i +  0.2706j + 0.65328k

Можно преобразовать от кватернионов до Углов Эйлера в градусах с помощью функции eulerd. Восстановите Углы Эйлера, E, от кватерниона, quat.

eulerd(quat,'ZYX','frame')
ans = 1×3

   90.0000         0   45.0000
Скрипт Open Live Script

Кватернионы формируют некоммутативную ассоциативную алгебру по вещественным числам. Этот пример иллюстрирует правила алгебры кватернионов.

Сложение и вычитание

Сложение кватерниона и вычитание происходят часть частью и являются коммутативными:

Q1 = quaternion(1,2,3,4)
Q1 = quaternion
     1 + 2i + 3j + 4k


Q2 = quaternion(9,8,7,6)
Q2 = quaternion
     9 + 8i + 7j + 6k


Q1plusQ2 = Q1 + Q2
Q1plusQ2 = quaternion
     10 + 10i + 10j + 10k


Q2plusQ1 = Q2 + Q1
Q2plusQ1 = quaternion
     10 + 10i + 10j + 10k


Q1minusQ2 = Q1 - Q2
Q1minusQ2 = quaternion
    -8 - 6i - 4j - 2k


Q2minusQ1 = Q2 - Q1
Q2minusQ1 = quaternion
     8 + 6i + 4j + 2k

Можно также выполнить сложение и вычитание вещественных чисел и кватернионов. Первая часть кватерниона упоминается как действительная часть, в то время как вторые, третьи, и четвертые части упоминаются как вектор. Сложение и вычитание с вещественными числами влияют только на действительную часть кватерниона.

Q1plusRealNumber = Q1 + 5
Q1plusRealNumber = quaternion
     6 + 2i + 3j + 4k


Q1minusRealNumber = Q1 - 5
Q1minusRealNumber = quaternion
    -4 + 2i + 3j + 4k

Умножение

Умножение кватерниона определяется продуктами базисных элементов и дистрибутивного закона. Вспомните, что умножение базисных элементов, i, j, и k, не являюсь коммутативной, и поэтому умножение кватерниона не является коммутативным.

Q1timesQ2 = Q1 * Q2
Q1timesQ2 = quaternion
    -52 + 16i + 54j + 32k


Q2timesQ1 = Q2 * Q1
Q2timesQ1 = quaternion
    -52 + 36i + 14j + 52k


isequal(Q1timesQ2,Q2timesQ1)
ans = logical
   0

Можно также умножить кватернион на вещественное число. Если вы умножаете кватернион на вещественное число, каждая часть кватерниона умножается на вещественное число индивидуально:

Q1times5 = Q1*5
Q1times5 = quaternion
      5 + 10i + 15j + 20k

Умножение кватерниона вещественным числом является коммутативным.

isequal(Q1*5,5*Q1)
ans = logical
   1

Спряжение

Сопряженное комплексное число кватерниона задано таким образом, что каждый элемент векторного фрагмента кватерниона отрицается.

Q1
Q1 = quaternion
     1 + 2i + 3j + 4k


conj(Q1)
ans = quaternion
     1 - 2i - 3j - 4k

Умножение между кватернионом и его сопряженным является коммутативным:

isequal(Q1*conj(Q1),conj(Q1)*Q1)
ans = logical
   1
Скрипт Open Live Script

Можно организовать кватернионы в векторы, матрицы и многомерные массивы. Функции Built-in MATLAB® были улучшены, чтобы работать с кватернионами.

Конкатенация

Кватернионы обработаны как отдельные объекты во время конкатенации и следуют правилам MATLAB для манипуляции с массивами.

Q1 = quaternion(1,2,3,4);
Q2 = quaternion(9,8,7,6);

qVector = [Q1,Q2]
qVector = 1x2 quaternion array
     1 + 2i + 3j + 4k     9 + 8i + 7j + 6k


Q3 = quaternion(-1,-2,-3,-4);
Q4 = quaternion(-9,-8,-7,-6);

qMatrix = [qVector;Q3,Q4]
qMatrix = 2x2 quaternion array
     1 + 2i + 3j + 4k     9 + 8i + 7j + 6k
    -1 - 2i - 3j - 4k    -9 - 8i - 7j - 6k


qMultiDimensionalArray(:,:,1) = qMatrix;
qMultiDimensionalArray(:,:,2) = qMatrix
qMultiDimensionalArray = 2x2x2 quaternion array
qMultiDimensionalArray(:,:,1) = 

     1 + 2i + 3j + 4k     9 + 8i + 7j + 6k
    -1 - 2i - 3j - 4k    -9 - 8i - 7j - 6k


qMultiDimensionalArray(:,:,2) = 

     1 + 2i + 3j + 4k     9 + 8i + 7j + 6k
    -1 - 2i - 3j - 4k    -9 - 8i - 7j - 6k

Индексация

Чтобы получить доступ или присвоить элементы в массиве кватерниона, используйте индексацию.

qLoc2 = qMultiDimensionalArray(2)
qLoc2 = quaternion
    -1 - 2i - 3j - 4k

Замените кватернион в индексе два с кватернионом один.

qMultiDimensionalArray(2) = ones('quaternion')
qMultiDimensionalArray = 2x2x2 quaternion array
qMultiDimensionalArray(:,:,1) = 

     1 + 2i + 3j + 4k     9 + 8i + 7j + 6k
     1 + 0i + 0j + 0k    -9 - 8i - 7j - 6k


qMultiDimensionalArray(:,:,2) = 

     1 + 2i + 3j + 4k     9 + 8i + 7j + 6k
    -1 - 2i - 3j - 4k    -9 - 8i - 7j - 6k

Изменение

Чтобы изменить размерность массивов кватерниона, используйте функцию reshape.

qMatReshaped = reshape(qMatrix,4,1)
qMatReshaped = 4x1 quaternion array
     1 + 2i + 3j + 4k
    -1 - 2i - 3j - 4k
     9 + 8i + 7j + 6k
    -9 - 8i - 7j - 6k

Перемещение

Чтобы транспонировать векторы кватерниона и матрицы, используйте функцию transpose.

qMatTransposed = transpose(qMatrix)
qMatTransposed = 2x2 quaternion array
     1 + 2i + 3j + 4k    -1 - 2i - 3j - 4k
     9 + 8i + 7j + 6k    -9 - 8i - 7j - 6k

Перестановка

Чтобы переставить векторы кватерниона, матрицы и многомерные массивы, используют функцию permute.

qMultiDimensionalArray
qMultiDimensionalArray = 2x2x2 quaternion array
qMultiDimensionalArray(:,:,1) = 

     1 + 2i + 3j + 4k     9 + 8i + 7j + 6k
     1 + 0i + 0j + 0k    -9 - 8i - 7j - 6k


qMultiDimensionalArray(:,:,2) = 

     1 + 2i + 3j + 4k     9 + 8i + 7j + 6k
    -1 - 2i - 3j - 4k    -9 - 8i - 7j - 6k


qMatPermute = permute(qMultiDimensionalArray,[3,1,2])
qMatPermute = 2x2x2 quaternion array
qMatPermute(:,:,1) = 

     1 + 2i + 3j + 4k     1 + 0i + 0j + 0k
     1 + 2i + 3j + 4k    -1 - 2i - 3j - 4k


qMatPermute(:,:,2) = 

     9 + 8i + 7j + 6k    -9 - 8i - 7j - 6k
     9 + 8i + 7j + 6k    -9 - 8i - 7j - 6k

Расширенные возможности

Генерация кода C/C++
Генерация кода C и C++ с помощью MATLAB® Coder™.

Смотрите также

Темы

Введенный в R2018a

Документация Sensor Fusion and Tracking Toolbox
Поддержка
Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте