Покажите, как использование объектов decomposition может повысить эффективность решения $\mathrm{Ax}=\mathit{b}$ со многими правыми сторонами.

Обратная итерация является итеративным алгоритмом собственного значения, который решает линейные системы со многими правыми сторонами. Это - метод, чтобы итеративно вычислить собственное значение матрицы, начинающей с предположения соответствующего собственного вектора. Каждая итерация вычисляет x = A\x, и затем масштабирует x его нормой.

Создайте разреженную матрицу A и случайные стартовые векторы x1 и x2.

n = 1e3;
rng default % for reproducibility
A = sprandn(n,n,0.2) + speye(n);
x1 = randn(n,1);
x2 = x1;

Примените 100 итераций обратного алгоритма итерации с помощью наклонной черты влево, чтобы вычислить собственное значение A.

tic
for ii=1:100
    x1 = A \ x1;
    x1 = x1 / norm(x1);
end
toc

Elapsed time is 12.635409 seconds.

lambda = x1'*A*x1

lambda = -0.6707

Теперь используйте объект decomposition решить ту же проблему.

tic
dA = decomposition(A); 
for ii=1:100
    x2 = dA \ x2;
    x2 = x2 / norm(x2);
end
toc

Elapsed time is 0.904487 seconds.

lambda = x2'*A*x2

lambda = -0.6707

Производительность алгоритма улучшается существенно, потому что матричный A не должен быть разложен на множители во время каждой итерации. Кроме того, даже при том, что алгоритм наклонной черты влево может быть улучшен путем выполнения разложения LU A перед for - цикл, объект decomposition предоставляет доступ ко всему тому же увеличению производительности, не требуя, чтобы вы записали сложный код.

Выберите тип разложения, чтобы заменить автоматический выбор по умолчанию на основе входной матрицы.

Создайте матрицу коэффициентов и анализируйте матрицу с помощью выбора по умолчанию типа разложения.

A = ones(3);
dA = decomposition(A)

dA = 
  decomposition with properties:

    MatrixSize: [3 3]
          Type: 'ldl'

  Show all properties

Решите линейную систему с помощью вектора из единиц для правой стороны.

b = ones(3,1);
x = dA\b

Warning: Matrix is singular to working precision.

x = 3×1

   NaN
   NaN
   NaN

Задайте тип разложения, чтобы использовать метод 'qr' вместо метода 'ldl' по умолчанию. Это обеспечивает наклонную черту влево (\), чтобы найти решение методом наименьших квадратов к проблеме вместо того, чтобы возвратить вектор NaN s.

dA_qr = decomposition(A,'qr')

dA_qr = 
  decomposition with properties:

    MatrixSize: [3 3]
          Type: 'qr'

  Show all properties

x = dA_qr\b

Warning: Rank deficient, rank = 1, tol =  1.153778e-15.

x = 3×1

     1
     0
     0

Задайте 'upper', чтобы использовать только верхний треугольный фрагмент входной матрицы в разложении.

Создайте матрицу коэффициентов. Создайте треугольное разложение для матрицы с помощью только верхний треугольный фрагмент. Эта опция может быть полезной в случаях, где и верхняя треугольная и нижняя треугольная матрица хранится в той же матрице.

A = randi([0 5],10)

A = 10×10

     4     0     3     4     2     1     4     5     2     0
     5     5     0     0     2     4     1     1     4     0
     0     5     5     1     4     3     3     4     3     3
     5     2     5     0     4     0     4     1     3     4
     3     4     4     0     1     0     5     5     5     5
     0     0     4     4     2     2     5     2     1     0
     1     2     4     4     2     5     3     1     4     3
     3     5     2     1     3     2     0     1     4     2
     5     4     3     5     4     3     0     3     2     0
     5     5     1     0     4     1     1     2     3     2

dA = decomposition(A,'triangular','upper')

dA = 
  decomposition with properties:

    MatrixSize: [10 10]
          Type: 'triangular'

  Show all properties

Используйте пару "имя-значение" 'CheckCondition', чтобы выключить предупреждения на основе условия матрицы коэффициентов при решении линейной системы с помощью decomposition.

Создайте матрицу коэффициентов, которая плохо обусловливается. В этой матрице, составляя в среднем вместе первые два столбца производит третий столбец.

A = [1 2 1.5; 3 4 3.5; 5 6 5.5]

A = 3×3

    1.0000    2.0000    1.5000
    3.0000    4.0000    3.5000
    5.0000    6.0000    5.5000

Решите линейную систему $\mathrm{Ax}=\mathit{b}$ использование вектора 1 с для правой стороны. mldivide производит предупреждение о создании условий матрицы коэффициентов.

b = ones(3,1);
x = A\b

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND =  1.850372e-17.

x = 3×1

   -0.6250
    1.3750
   -0.7500

Теперь создайте объект decomposition для матрицы и решите ту же линейную систему. Задайте 'CheckCondition' как false так, чтобы mldivide не проверял условие матрицы коэффициентов. Даже при том, что то же решение возвращено, mldivide не отображает предупреждающее сообщение.

dA = decomposition(A,'CheckCondition',false);
x = dA\b

x = 3×1

   -0.6250
    1.3750
   -0.7500

Используйте функцию isIllConditioned, чтобы проверять, основан ли объект decomposition на плохо обусловленной матрице.

tf = isIllConditioned(dA)

tf = logical
   1