Сравните решения системы линейных уравнений, полученных наклонной чертой влево (\) и pinv.

Если прямоугольная матрица коэффициентов, A имеет низкий ранг, то задача наименьших квадратов минимизации norm(A*x-b) имеет бесконечно много решений. Два решения возвращены x1 = A\b и x2 = pinv(A)*b. Различающие свойства этих решений состоят в том, что x1 имеет только rank(A) ненулевые компоненты, и norm(x2) меньше, чем для любого другого решения.

Создайте 8 6 матрица, которая имеет rank(A) = 3.

A = magic(8); 
A = A(:,1:6) 

A = 8×6

    64     2     3    61    60     6
     9    55    54    12    13    51
    17    47    46    20    21    43
    40    26    27    37    36    30
    32    34    35    29    28    38
    41    23    22    44    45    19
    49    15    14    52    53    11
     8    58    59     5     4    62

Создайте вектор для правой стороны системы уравнений.

b = 260*ones(8,1)

b = 8×1

   260
   260
   260
   260
   260
   260
   260
   260

Номер, выбранный для правой стороны, 260, является значением 8 8 волшебной суммы для A. Если бы A были все еще 8 8 матрица, то одно решение для x было бы вектором 1 с. Только с шестью столбцами существует решение, поскольку уравнения все еще сопоставимы, но решение не составляет всю 1 с. Поскольку матрица имеет низкий ранг, существует бесконечно много решений.

Решите для двух из решений с помощью наклонной черты влево и pinv.

x1 = A\b

Warning: Rank deficient, rank = 3, tol =  1.882938e-13.

x1 = 6×1

    3.0000
    4.0000
         0
         0
    1.0000
         0

x2 = pinv(A)*b

x2 = 6×1

    1.1538
    1.4615
    1.3846
    1.3846
    1.4615
    1.1538

Оба из этих решений точны, в том смысле, что norm(A*x1-b) и norm(A*x2-b) находятся на порядке ошибки округления. x1 решения является особенным, потому что он имеет только три ненулевых элемента. Решение x2 является особенным, потому что norm(x2) меньше, чем он, для любого другого решения, включая norm(x1).

norm(x1)

ans = 5.0990

norm(x2)

ans = 3.2817