Программное обеспечение Partial Differential Equation Toolbox™ обрабатывает следующую основную задачу о собственных значениях:

где λ является неизвестным комплексным числом. В механике твердого тела это - проблема, сопоставленная с описанием явлений волны, например, естественные режимы вибрирующей мембраны. В квантовой механике λ является энергетическим уровнем связанного состояния в потенциале хорошо a (x), где x представляет 2D или 3-D точку.

Числовое решение найдено путем дискретизации уравнения и решения получившейся алгебраической задачи о собственных значениях. Давайте сначала рассмотрим дискретизацию. Расширьте u в основании FEM, умножьтесь с базисным элементом и объединяйтесь на области Ω. Это приводит к обобщенному уравнению собственного значения

где большая матрица соответствует правой стороне, т.е.

Матрицы K и M производятся путем вызова assema для уравнений

В наиболее распространенном случае, когда функциональный d (x) положителен, большая матрица, M положителен определенный симметричный. Аналогично, когда c (x) положителен, и у нас есть граничные условия Дирихле, матрица жесткости, K также положителен определенный.

Обобщенная задача о собственных значениях, KU = λMU, теперь решена алгоритмом Арнольди, применился к переключенному и инвертировал матрицу с перезапусками, пока все собственные значения в заданном пользователями интервале не были найдены.

Давайте опишем, как это сделано более подробно. Можно хотеть посмотреть на примеры Eigenvalues и Eigenmodes L-образной Мембраны или Eigenvalues и Eigenmodes Квадрата, где о фактических выполнениях сообщают.

Сначала µ сдвига определяется близко к тому, где мы хотим найти собственные значения. Когда и K и M положительны определенный, естественно взять µ = 0 и получить самые маленькие собственные значения; в других случаях берут любую точку в интервале [lb, ub], где собственные значения разыскиваются. Вычтите µM из уравнения собственного значения и получите (K - µM) U = (λ - µ) MU. Затем умножьтесь с инверсией этой переключенной матрицы и доберитесь

Это - стандартная задача о собственных значениях AU = θU с матричным A = (K – µM)^-1M и собственные значения

где i = 1... N. Самые большие собственные значения _θi преобразованного матричного A теперь соответствуют собственным значениям _λi = µ + 1/_θi исходного карандаша (K,M), самый близкий к сдвигу µ.

Алгоритм Арнольди вычисляет ортонормированный базис V, где переключенный и инвертированный оператор A представлен H матрицы Хессенберга,

(Индексы означают, что _Vj и _Ej имеют столбцы j, и _Hj,j имеет строки и столбцы j. Когда никакие индексы не используются, мы имеем дело с векторами и матрицами размера n.)

Некоторые собственные значения этого _Hj,j матрицы Хессенберга в конечном счете дают хорошие приближения собственным значениям исходного карандаша (K,M), когда основание растет в размерности, j, и все меньше и меньше собственного вектора скрыт в остаточном матричном _Ej.

Основание V создается один столбец _vj за один раз. Первый векторный v ₁ выбран наугад как n нормально распределенные случайные числа. На шаге j первые векторы j уже вычисляются и формируют n ×j матричный _Vj. Следующий векторный v _{j +1} вычисляется первым разрешением A работать с новейшим векторным _vj и затем созданием результата, ортогонального ко всем предыдущим векторам.

Это формулируется как $$h_{j+1}{v}_{j+1}=A{v}_j-V_j{h}_j$$, где вектор-столбец_{, hj} состоит из коэффициентов Грамма-Schmidt и h _{j +1, j}, является коэффициентом нормализации, который дает v _{j +1} единичная длина. Поместите соответствующие отношения от предыдущих шагов перед этим и доберитесь

где _Hj,j является j ×j матрица Хессенберга с векторами _hj как столбцы. Второй срок на правой стороне имеет ненули только в последнем столбце; более ранние коэффициенты нормализации обнаруживаются в поддиагонали _Hj,j.

eigensolution маленькой матрицы Хессенберга H дает приближения некоторым собственным значениям и собственные вектора большого матричного оператора _Aj,j следующим образом. Вычислите собственные значения _θi и собственные вектора _{si Hj,j},

Затем _yi = _{Vj si} является аппроксимированным собственным вектором A, и его невязка

Эта невязка должна быть маленькой в норме для _θi, чтобы быть хорошим приближением собственного значения. Норма невязки

продукт последнего поддиагонального элемента матрицы Хессенберга и последнего элемента ее собственного вектора. Это редко происходит, что h _{j +1, j} становится особенно маленьким, но после достаточно много шагов j, там всегда некоторые собственные вектора _si с маленькими последними элементами. Длинный векторный V _{j +1} имеет модульную норму.

Не необходимо на самом деле вычислить приближение собственного вектора _yi, чтобы получить норму невязки; мы только должны исследовать короткие векторы _si и отметить тех с помощью крошечных последних компонентов, как сходился. В типичном случае n может быть 2000, в то время как j редко превышает 50, таким образом, все вычисления, которые включают только матрицы и векторы размера j, являются намного более дешевыми, чем те включающие векторы длины n.

Это вычисление собственного значения и тест для сходимости выполнены каждые несколько шагов j, пока все приближения к собственным значениям в интервале [lb, ub] не отмечаются, как сходился. Когда n намного больше, чем j, это делается очень часто для меньшего n более редко. Когда все собственные значения в интервале сходились, или когда j достиг предписанного максимума, сходившихся собственных векторов, или более соответственно векторов Шура, вычисляется и помещается перед основанием V.

После этого алгоритм Арнольди перезапущен со случайным вектором, если все приближения в интервале отмечаются, как сходился, или иначе с лучшим не сходившимся аппроксимированным собственным вектором _yi. На каждом шаге запускается j этого второго Арнольди, вектор сделан ортогональным ко всем векторам в V включая сходившиеся векторы Шура от предыдущих выполнений. Таким образом, алгоритм применяется к спроектированной матрице и забирает вторую копию любого двойного собственного значения может быть в интервале. Если что-нибудь в интервале сходится во время этого второго выполнения, одна треть предпринята и так далее, до больше аппроксимированных собственных значений _θi обнаруживается внутри. Затем алгоритм сигнализирует о сходимости. Если там все еще не сходятся аппроксимированные собственные значения после предписанного максимального количества шагов, несходимости сигналов алгоритма, и сообщает обо всех решениях, которые оно нашло.

Это - эвристическая стратегия, которая работала хорошо и над симметричными, несимметричными, и над даже дефектными задачами о собственных значениях. Существует крошечный теоретический шанс пропавших без вести собственного значения, если все случайные стартовые векторы, оказывается, являются ортогональными к его собственному вектору. Обычно, алгоритм перезапускает времена p, если максимальной кратностью собственного значения является p. При каждом перезапуске введено новое случайное стартовое направление.

Переключенный и инвертированный матричный A = (K – µM) ^–1M необходим только, чтобы работать с векторным _vj в алгоритме Арнольди. Это сделано путем вычисления LU-факторизации,

использование разреженной команды MATLAB^® lu (P и Q являются перестановками, которые делают треугольные факторы L и U разреженный и факторизация численно стабильный). Эта факторизация должна быть сделана только однажды, в начале, затем x =_{, Avj} вычисляется как,

с одним векторным умножением разреженной матрицы, перестановкой, разреженным форвардом - и задние замены и итоговое изменение нумерации.