Partial Differential Equation Toolbox™ решает уравнения формы

Когда m и коэффициенты d 0, это уменьшает до

который документация вызывает уравнение elliptic, является ли уравнение эллиптическим в математическом смысле. Уравнение содержит в Ω, где Ω является ограниченной областью в два или три измерения. c, a, f и неизвестное решение u являются комплексными функциями, заданными на Ω. c может также быть матричной функцией 2 на 2 на Ω. Граничные условия задают комбинацию u и его производной по нормали на контуре:

$$\overrightarrow{n}$$ исходящий нормальный модуль. g, q, h и r являются функциями, определяемыми на ∂ Ω.

Наша номенклатура отклоняется немного от традиции для теории потенциала, где Нейманово условие обычно относится к случаю, q = 0 и наш Нейман был бы назван смешанным условием. В некоторых контекстах обобщенные Неймановы граничные условия также упоминаются как граничные условия Робина. В вариационном исчислении условия Дирихле также называются существенными граничными условиями и ограничивают испытательный пробел. Неймановы условия также называются естественными условиями и возникают по мере необходимости условия для решения. Вариационная форма уравнения Partial Differential Equation Toolbox с Неймановыми условиями приведена ниже.

Приближенное решение эллиптического УЧП найдено на трех шагах:

Более тщательно продуманные приложения используют метод конечных элементов (FEM) определенная информация, возвращенная различными функциями программного обеспечения. Поэтому мы быстро обобщаем теорию и метод решателей FEM, чтобы позволить усовершенствованным приложениям полностью использовать вычисленные количества.

FEM может быть получен в итоге в следующем предложении: Спроектируйте слабую форму дифференциального уравнения на конечномерное функциональное пространство. Остальная часть этого раздела имеет дело с объяснением предыдущего оператора.

Мы запускаем со слабой формы дифференциального уравнения. Не ограничивая общность, мы принимаем обобщенные Неймановы условия на целом контуре, поскольку условия Дирихле могут быть аппроксимированы обобщенными Неймановыми условиями. В простом случае единичной матрицы h установка g = qr и затем разрешение q → ∞ приводят к условию Дирихле, потому что деление с очень большим q отменяет условия производной по нормали. Фактическая реализация отличается, поскольку предыдущая процедура может создать проблемы создания условий. Смешанное граничное условие системного случая требует более сложного лечения, описанного в Системах УЧП.

Примите, что u является решением дифференциального уравнения. Умножьте уравнение с произвольной тестовой функцией v и объединяйтесь на Ω:

Объединяйтесь частями (т.е. используйте формулу Грина) получить

Граничный интеграл может быть заменен граничным условием:

Замените исходную проблему на Находку вы таким образом что

Это уравнение называется вариационной, или слабой, формой дифференциального уравнения. Очевидно, любое решение дифференциального уравнения является также решением вариационной проблемы. Реверс верен в условиях некоторых ограничений на область и на коэффициентные функции. Решение вариационной проблемы также называется слабым решением дифференциального уравнения.

Решение u и тестовые функции v принадлежит некоторому функциональному пространству V. Следующий шаг должен выбрать подпространство Np-dimensional $$V_{N_p}\subset V$$. Предположите, что слабая форма дифференциального уравнения на конечномерное функциональное пространство просто означает запрашивать u и v лечь в $$V_{N_p}$$ вместо V. Решение конечномерной проблемы оказывается элементом $$V_{N_p}$$ это находится самое близкое к слабому решению, когда измерено в энергетической норме. Сходимость гарантируется если пробел $$V_{N_p}$$ склоняется к V как _Np →∞. Поскольку дифференциальный оператор линеен, мы требуем, чтобы вариационному уравнению удовлетворили для тестовых функций _Np Φ_i ∊$$V_{N_p}$$ та форма основание, т.е.

Расширьте u в том же основании $$V_{N_p}$$ элементы

и получите систему уравнений

Используйте следующие обозначения:

и перепишите систему в форме

K, M и Q является _Np-by-_Np матрицы, и F и G является _Np - векторы. K, M и F производятся assema, в то время как Q, G производится assemb. Когда не необходимо отличить K, M, и Q или F и G, мы сворачиваем обозначения к KU = F, которые формируют вывод assempde.

Когда проблема является самопримыкающей и эллиптической в обычном математическом смысле, матричный K + M +, Q становится симметричным и положительным определенный. Много типичных проблем имеют эти характеристики, прежде всего те, которые могут также быть сформулированы как проблемы минимизации. Для случая скалярного уравнения K, M и Q очевидно симметричны. Если c (x) ≥ δ> 0, a (x) ≥ 0 и q (x) ≥ 0 с q (x)> 0 на некоторой части ∂ Ω, то, если U ≠ 0.

^UT (K + M + Q) U является энергетической нормой. Существует много вариантов тестовых функциональных пространств. Программное обеспечение использует непрерывные функции, которые линейны на каждом элементе 2D mesh, и линейны или квадратичны на элементах 3-D mesh. Кусочная линейность гарантирует, что интегралы, задающие матрицу жесткости K, существуют. Проекция на $$V_{N_p}$$ не что иное как линейная интерполяция, и оценка решения в элементе сделана только с точки зрения узловых значений. Если mesh однородно усовершенствована, $$V_{N_p}$$ аппроксимирует набор сглаженных функций на Ω.

Подходящее основание для $$V_{N_p}$$ в 2D набор функций “палатки” или “шляпы” ϕ _i. Они линейны на каждом элементе и принимают значение 0 во всех узлах _xj за исключением _xi. Для определения основных функций для 3-D геометрии смотрите Основание Конечного элемента для 3-D. Запрос ϕ _i (_xi) = 1 урожай очень приятное свойство

Таким образом, путем решения системы FEM мы получаем узловые значения приближенного решения. _i ϕ основной функции исчезает на всех элементах, которые не содержат узел _xi. Непосредственное следствие - то, что интегралы, появляющиеся в _Ki,j, _Mi,j, _Qi,j, _Fi и _Gi только, должны быть вычислены на элементах, которые содержат узел x _i. Во-вторых, это означает, что _Ki,j and_Mi,j является нулем, если _xi и _xj не являются вершинами того же элемента, и таким образом K и M являются очень разреженными матрицами. Их разреженная структура зависит от упорядоченного расположения индексов точек mesh.

Интегралы в матрицах FEM вычисляются путем добавления вкладов от каждого элемента до соответствующих записей (т.е. только если соответствующая точка mesh является вершиной элемента). Этот процесс обычно называется, собираясь, отсюда имя функционального assempde.

Собирающиеся стандартные программы сканируют элементы mesh. Для каждого элемента они вычисляют так называемые локальные матрицы и добавляют их компоненты в правильные положения в разреженных матрицах или векторах.

Обсуждение теперь специализируется к треугольным сеткам на 2D. Локальные 3х3 матрицы содержат интегралы, оцененные только на текущем треугольнике. Коэффициенты приняты постоянные на треугольнике, и они оценены только в треугольном барицентре. Интегралы вычисляются, используя правило средней точки. Это приближение оптимально, поскольку оно имеет тот же порядок точности как кусочная линейная интерполяция.

Считайте треугольник данным узлами P ₁, P ₂, и P ₃ как в следующей фигуре.

Самыми простыми вычислениями является для локальной большой матрицы m:

где _Pc является центром массы Δ P _1P2P3, т.е.

Вклад в правую сторону F справедлив

Для локальной матрицы жесткости мы должны оценить градиенты основных функций, которые не исчезают на P _1P2P3. Поскольку основные функции линейны на треугольном P _1P2P3, градиенты являются константами. Обозначьте основные функции ϕ ₁, ϕ ₂, и ϕ ₃ таким образом что ϕ (_Pi) = 1. Если P ₂ – P ₃ = [x ₁, y ₁] ^T затем у нас есть это

и после интегрирования (берущий c в качестве постоянной матрицы на треугольнике)

Если две вершины треугольной лжи на контуре ∂ Ω, они способствуют линейным интегралам, сопоставленным к граничным условиям. Если этими двумя граничными точками является P ₁ и P ₂, то мы имеем

и

где _Pb является средней точкой P _1P2.

Для каждого треугольника вершины _Pm локального треугольника соответствуют индексам _im точек mesh. Вклады отдельного треугольника добавляются к матрицам, таким образом что, например,

Это сделано функциональным assempde. Градиенты и области треугольников вычисляются функциональным pdetrg.

Граничные условия Дирихле обработаны немного отличающимся способом. Они устраняются из линейной системы процедурой, которая приводит к симметричной, уменьшаемой системе. Функциональный assempde может возвратить матрицы K, F, B и ud, таким образом, что решением является u = Bv + ud где Kv = F. u является _Np - вектор, и если рангом условий Дирихле является rD, то v имеет _Np – компоненты rD.

Подводя итоги, assempde выполняет следующие шаги, чтобы получить решение u к эллиптическому УЧП:

assempde использует один из двух алгоритмов для сборки проблемы в объединенную матричную форму конечного элемента. Форма reduced linear system приводит к мгновенному решению через линейную алгебру. Вы выбираете алгоритм количеством выходных параметров. Для уменьшаемой формы линейной системы запросите четыре выходных параметров:

Для stiff-spring approximation запросите два выходных параметров:

Для получения дополнительной информации смотрите Уменьшаемое Приближение Линейной системы и жесткого Spring.

Программное обеспечение Partial Differential Equation Toolbox может также обработать системы дифференциальных уравнений с частными производными N по области Ω. У нас есть эллиптическая система

параболическая система

гиперболическая система

и система собственного значения

где c является N-by-N-by-D-by-D тензор, и D является размерностями геометрии, 2 или 3.

Для 2D систем, обозначения $$\nabla \cdot (c\otimes \nabla u)$$ представляет N-by-1 матрица с (i, 1) - компонент

Для 3-D систем, обозначения $$\nabla \cdot (c\otimes \nabla u)$$ представляет N-by-1 матрица с (i, 1) - компонент

Символы a и d обозначают N-by-N матрицы, и f обозначает вектор-столбец длины N.

Элементы _cijkl, _aij, _dij и _fi c, a, d, и f хранятся построчные в матрицах MATLAB c, a, d и f. Случай идентичности, диагонали и симметричных матриц обработан как особые случаи. Для тензора _cijkl это применяет и к индексам i и к j, и к индексам k и l.

Программное обеспечение Partial Differential Equation Toolbox не проверяет эллиптичность проблемы, и довольно возможно задать систему, которая не является эллиптической в математическом смысле. Предыдущая процедура, которая описывает скалярный случай, применяется к каждому компоненту системы, приводя к симметричной положительной определенной системе уравнений каждый раз, когда дифференциальная система обладает этими характеристиками.

Граничные условия теперь в целом смешаны, т.е. для каждой точки на контуре комбинация Дирихле и обобщили Неймановы условия,

Для 2D систем, обозначения $$n·\left(c\otimes \nabla u\right)$$ представляет N-by-1 матрица с (i, 1) - компонент

где исходящий вектор нормали контура $$n=\left(\mathrm{потому\; что}(\alpha ),\sin (\alpha )\right)$$.

Для 3-D систем, обозначения $$n·\left(c\otimes \nabla u\right)$$ представляет N-by-1 матрица с (i, 1) - компонент

где исходящее нормальное к контуру

Существует M, условиями Дирихле и h-матрицей является M-by-N, M ≥ 0. Обобщенное Нейманово условие содержит источник $$h^{\prime }\mu$$, где множители Лагранжа, μ вычисляется таким образом, что условия Дирихле становятся удовлетворенными. В структурной проблеме механики этот термин является точно силой реакции, необходимой, чтобы удовлетворить кинематические ограничения, описанные условиями Дирихле.

Остальная часть этого раздела детализирует обработку условий Дирихле и может быть пропущена на первом чтении.

Программное обеспечение Partial Differential Equation Toolbox поддерживает две реализации условий Дирихле. Самой простой является модель “Stiff Spring”, таким образом названная по имени ее интерпретации в механике твердого тела. Смотрите Эллиптические уравнения для скалярного случая, который эквивалентен диагональной h-матрице. Для общего случая, условий Дирихле

аппроксимированы путем добавления термина

к уравнениям KU = F, где L является большим количеством такой как ¹⁰⁴ раза представительный размер элементов K.

Когда это число будет увеличено, hu = r будет более точно удовлетворен, но потенциальное плохо создание условий измененных уравнений станет более серьезным.

Второй метод также применим к общим смешанным условиям с недиагональным h, и свободен от плохо создания условий, но более включен в вычислительном отношении. Примите, что существуют узлы _Np в mesh. Затем количеством неизвестных является _Np N = _Nu. Когда граничные условия Дирихле фиксируют некоторые неизвестные, линейная система может соответственно уменьшаться. Это легко сделано путем удаления строк и столбцов, когда значения u даны, но здесь мы должны обработать случай, когда некоторые линейные комбинации компонентов u даны, hu = r. Они собраны в HU = R, где H является M-by-_Nu матрица, и R является M - вектор.

С реакцией сила называет систему, становится

Ограничения могут быть решены для M U - переменных, остающегося названного V, _Nu – вектор M. Пустой пробел H заполнен столбцами B и U = BV +_{, ud} заставляет U удовлетворить условия Дирихле. Перестановка к диагональной блоком форме использует разреженность H, чтобы ускорить следующее вычисление, чтобы найти B численно стабильным способом. µ может быть устранен путем предварительного умножения B´ с тех пор, конструкцией, HB = 0 или B ´H´ = 0. Уменьшаемая система становится

который симметричен и положительный определенный, если K.

Метод конечных элементов для 3-D геометрии подобен 2D методу, описанному в Эллиптических уравнениях. Основное различие - то, что элементы в 3-D геометрии являются тетраэдрами, что означает, что основные функции отличаются от тех в 2D геометрии.

Удобно сопоставить четырехгранник с каноническим четырехгранником с системой локальной координаты (r, s, t).

В локальных координатах точка p 1 в (0,0,0), p 2 в (1,0,0), p 3 в (0,1,0), и p 4 в (0,0,1).

Для линейного четырехгранника основные функции

Для квадратичного четырехгранника существуют дополнительные узлы в средних точках ребра.

Соответствующие основные функции

Как в 2D случае, 3-D основная функция _ϕi принимает значение 0 во всех узлах j, за исключением узла i, где это принимает значение 1.