Документация

Структурированные матричные переменные

Довольно комплексные матричные переменные структуры и взаимозависимости могут быть заданы с lmivar. Вспомните, что симметричные диагональные блоком или прямоугольные структуры покрыты Типами 1 и 2 lmivar при условии, что матричные переменные независимы. Чтобы описать более комплексные структуры или корреляции между переменными, необходимо использовать Тип 3 и задать каждую запись матричных переменных непосредственно с точки зрения свободных скалярных переменных проблемы (так называемые переменные решения).

С Типом 3 каждая запись задана или как 0 или как ±xn, где xn является энной переменной решения. Следующие примеры иллюстрируют, как задать нетривиальные матричные переменные структуры с lmivar. Следующие структуры переменной show в качестве примера с некоррелироваными и взаимозависимыми матричными переменными.

setlmis([]) 
[X,n] = lmivar(1,[3 1]);
n

n = 6

Y = lmivar(3,n+[1 2 3;2 1 2;3 2 1]);

Y = lmivar(3,toeplitz(n+[1 2 3]));

lmis = getlmis; 
decinfo(lmis,X)

ans = 3×3

     1     2     4
     2     3     5
     4     5     6

decinfo(lmis,Y)

ans = 3×3

     7     8     9
     8     7     8
     9     8     7

setlmis([]); 
[X,n,sX] = lmivar(1,[1 0;1 0]);
[Y,n,sY] = lmivar(1,[1 0;1 0]);

sX

sX = 2×2

     1     0
     0     2

sY

sY = 2×2

     3     0
     0     4

[Z,n,sZ] = lmivar(3,[0 -sX(1,1);-sY(2,2) 0]);

sZ

sZ = 2×2

     0    -1
    -4     0

LMIs с комплексным знаком

Решатели LMI записаны для матриц с действительным знаком и не могут непосредственно решить проблемы LMI, включающие матрицы с комплексным знаком. Однако LMIs с комплексным знаком может быть превращен в LMIs с действительным знаком путем замечания, что комплексная Эрмитова матрица L (x) удовлетворяет

L (x) <0

если и только если

Это предлагает выполняющую систематическую процедуру для превращения комплексного LMIs в действительные единицы:

Для LMIs без внешнего фактора оптимизированная версия этой процедуры состоит из замены любого вхождения матричной переменной X = X1 + jX2

и любая фиксированная матрица А = A1 + jA2, включая действительные единицы,

Например, действительный дубликат системы LMI

чтения (учитывая разложения M = M ₁ + jM2 и X = X1 + jX2 с Mj, действительный Xj):

Обратите внимание на то, что X = X^H в свою очередь требует этого $$X_1=X_1^H$$ и $$X_2+X_2^T=0$$. Следовательно, X1 и _X2 должны быть объявлены как переменные симметрической и кососимметрической матрицы, соответственно.

Предположение, например, что ∊ C5×5 M, система LMI (уравнение 1) была бы задана можно следующим образом:

M1=real(M), M2=imag(M) 
bigM=[M1 M2;-M2 M1] 
setlmis([])

% declare bigX=[X1 X2;-X2 X1] with X1=X1' and X2+X2'=0:

[X1,n1,sX1] = lmivar(1,[5 1]) 
[X2,n2,sX2] = lmivar(3,skewdec(5,n1)) 
bigX = lmivar(3,[sX1 sX2;-sX2 sX1])

% describe the real counterpart of (1.12):

lmiterm([1 1 1 0],1) 
lmiterm([-1 1 1 bigX],1,1) 
lmiterm([2 1 1 bigX],bigM',bigM) 
lmiterm([-2 1 1 bigX],1,1)

lmis = getlmis

Отметьте объявление с тремя шагами структурированной матричной переменной bigX,

Дополнительную информацию см. в Структурированных Матричных Переменных на таких манипуляциях со структурами.

Определение ^cTx Цели для mincx

mincx решателя LMI минимизирует линейные цели формы cTx, где x является вектором переменных решения. В большинстве проблем управления, однако, такие цели выражаются с точки зрения матричных переменных, а не x. Примеры включают Трассировку (X), где X переменная симметрической матрицы или uTXu, где u является данным вектором.

Функциональный defcx упрощает деривацию c вектора, когда цель является аффинной функцией матричных переменных. Ради рисунка рассмотрите линейную цель

где X и P две симметричных переменные, и x0 является данным вектором. Если lmsisys является внутренним представлением системы LMI и если x0, X, P были объявлены

x0 = [1;1] 
setlmis([]) 
X = lmivar(1,[3 0]) 
P = lmivar(1,[2 1]) 
	: 
	: 
lmisys = getlmis

c вектор, таким образом, что $$c^{T}x=\text{Трассировка}\left(X\right)+x_0^{T}P{x}_0$$ может быть вычислен можно следующим образом:

n = decnbr(lmisys) 
c = zeros(n,1)

for j=1:n, 
	[Xj,Pj] = defcx(lmisys,j,X,P) 
	c(j) = trace(Xj) + x0'*Pj*x0 
end

Первая команда возвращает количество переменных решения в проблеме и вторых размерностях команды c соответственно. Затем цикл for выполняет следующие операции:

В нашем примере результат

c = 
	3 
	1 	
	2
	1

Другие цели обработаны так же путем редактирования следующего типичного скелета:

n = decnbr( LMI system ) 
c = zeros(n,1) 
for j=1:n, 
	[ matrix values ] = defcx( LMI system,j,
matrix identifiers) 
	c(j) = objective(matrix values) 
end

Радиус выполнимости

При решении проблем LMI с feasp, mincx или gevp, возможно ограничить решение x лечь в шаре

xTx <R2

где R> 0 называется радиусом выполнимости. Это задает максимум (Евклидова норма) значение для x и старается не получать решения очень большой нормы. Это может также ускорить вычисления и улучшить числовую устойчивость. Наконец, связанный радиус выполнимости упорядочивает проблемы с избыточными переменными наборами. В грубых терминах набор скалярных переменных избыточен, когда эквивалентная проблема могла быть сформулирована с меньшим числом переменных.

Радиус выполнимости R установлен третьей записью вектора опций решателей LMI. Его значение по умолчанию является R = 109. Установка R к отрицательной величине означает “нет твердый связанный”, в этом случае радиус выполнимости увеличен во время оптимизации при необходимости. Этот “гибкий связанный” режим может привести к решениям больших норм.

Хорошо-Posedness проблемы

Решатели LMI, используемые в LMI Lab, основаны на методах оптимизации внутренней точки. Чтобы вычислить выполнимые решения, такие методы требуют, чтобы система ограничений LMI была строго выполнима, то есть, выполнимый набор имеет непустую внутреннюю часть. В результате эти решатели могут столкнуться с трудностью, когда ограничения LMI выполнимы, но не строго выполнимы, то есть, когда LMI

L (x) ≤ 0

имеет решения в то время как

L (x) <0

не имеет никакого решения.

Для проблем выполнимости эта трудность автоматически обходится feasp, который повторно формулирует проблему:

Найдите x таким образом что

как:

Минимизируйте t, подвергающийся

В этой измененной проблеме ограничение LMI всегда строго выполнимо в x, t, и исходное уравнение LMI  2 выполнимо, если и только если глобальный минимум tmin уравнения 2 удовлетворяет

tmin ≤ 0

Для выполнимого, но не строго выполнимых проблем, однако, вычислительное усилие обычно выше, когда feasp стремится приблизиться к глобальному оптимуму tmin = 0 с высокой точностью.

Для проблем LMI, решенных mincx и gevp, нестрогая выполнимость обычно заставляет решатели приводить к сбою и возвращать “infeasibility” диагноз. Несмотря на то, что нет никакого универсального средства от этой трудности, иногда возможно устранить базовые алгебраические ограничения, чтобы получить строго выполнимую проблему с меньшим количеством переменных.

Другая проблема имеет отношение к гомогенным проблемам выполнимости такой как

ATP + P <0, P> 0

В то время как эта проблема технически хорошо изложена, оптимизация LMI, вероятно, произведет решения близко к нулю (тривиальное решение нестрогой проблемы). Чтобы вычислить нетривиальную матрицу Ляпунова и легко дифференцироваться между выполнимостью и infeasibility, замените ограничение P> 0 P> αI с α> 0. Обратите внимание на то, что это не изменяет проблему из-за ее гомогенного характера.

Полуопределенный B (x) в gevp проблемах

Рассмотрите обобщенную проблему минимизации собственного значения

Минимизируйте λ, подвергающийся

Технически, положительность B (x) для некоторого x ∊ R ⁿ требуется для хорошо-posedness проблемы и применимости полиномиально-разовых методов внутренней точки. Следовательно проблемы, где

с B ₁ (x) > 0 строго выполнимых, не может быть непосредственно решен с gevp. Простое средство состоит из замены ограничений

(x) <B (x), B (x)> 0

где Y является дополнительной симметричной переменной соответствующих размерностей. Получившаяся проблема эквивалентна уравнению 3 и может быть решена непосредственно с gevp.

Эффективность и проблемы сложности

Как объяснено в Инструментах для Определения и Решения LMIs, ориентированное на термин описание LMIs, используемого в LMI Lab обычно, приводит к более высокой эффективности, чем каноническое представление

Это более не верно, однако, когда количество переменных условий почти равно или больше, чем количество N переменных решения в проблеме. Если ваша проблема LMI имеет немного свободных скалярных переменных, но много условий в каждом LMI, поэтому предпочтительно переписать его как уравнение 4 и задать его в этой форме. Каждая скалярная переменная x_j затем объявляется независимо, и условия LMI имеют форму xjA_j.

Если M обозначает размер строки итогов системы LMI и N общее количество скалярных переменных решения, количество переброса на итерацию для feasp и решателей mincx пропорционально

В то время как теория гарантирует, что итерация худшего случая считает пропорциональными M, количество итераций, на самом деле выполняемых, медленно растет с M в большинстве проблем. Наконец, в то время как feasp и mincx сопоставимы в сложности, gevp обычно требует большего вычислительного усилия. Убедитесь, что ваша проблема LMI не может быть решена с mincx перед использованием gevp.

Решение M + ^PTXQ + ^QTXTP <0

Во многих проблемах синтеза выходной обратной связи проект может быть выполнен на двух шагах:

Оказывается, что конкретное решение Xc уравнения 5 может быть вычислено через простые манипуляции с линейными алгебрами [1]. Как правило, Xc соответствует центру эллипсоида матриц, заданных уравнением 5.

function basiclmi возвращает “явное” решение Xc:

Xc = basiclmi(M,P,Q)

Поскольку это центральное решение иногда имеет большую норму, basiclmi также предлагает опцию вычисления аппроксимированного решения наименьшего-количества-нормы уравнения 5. Это сделано

X = basiclmi(M,P,Q,'Xmin')

и включает оптимизацию LMI, чтобы минимизировать ∥X ∥.