Биномиальное распределение

Обзор

Биномиальное распределение моделирует общее количество успехов в повторных испытаниях от бесконечной генеральной совокупности при следующих условиях:

Только два результата возможны на каждом из испытаний n.
Вероятность успеха для каждого испытания является постоянной.
Все испытания независимы друг от друга.

Параметры

Биномиальное распределение использует следующие параметры.

Параметр	Описание	Поддержка
`N`	Количество испытаний	положительное целое число
`p`	Вероятность успеха	$0 \leq p \leq 1$

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности (PDF)

$f (x | N, p) = (\begin{matrix} N \\ x \end{matrix}) p^{x} {(1 - p)}^{N - x}; x = 0, 1, 2, ..., N,$

где x является количеством успехов в испытаниях n Бернуллиевого процесса с вероятностью успеха p.

Среднее значение и отклонение

Среднее значение

$среднее значение = n p .$

Отклонение

$var = n p (1 - p) .$

Отношение к другим дистрибутивам

Биномиальное распределение является обобщением Бернуллиевого распределения, допуская много испытаний n, больше, чем 1. Биномиальное распределение делает вывод к распределению многочлена, когда существует больше чем два возможных исхода для каждого испытания.

Пример

Предположим, что вы собираете данные от производственного процесса виджета, и вы записываете количество виджетов в спецификации в каждом пакете 100. Вы можете интересоваться вероятностью, что отдельный виджет в спецификации. Оценка параметра является процессом определения параметра, p, биномиального распределения, которое соответствует этим данным лучше всего в некотором смысле.

Один популярный критерий совершенства должен максимизировать функцию правдоподобия. Вероятность имеет ту же форму как биномиальный PDF выше. Но для PDF, параметры (n и p) являются известными константами, и переменная является x. Функция правдоподобия инвертирует роли переменных. Здесь, демонстрационные значения (x's) уже наблюдаются. Таким образом, они - фиксированные постоянные. Переменные являются неизвестными параметрами. MLE включает вычисление значения p, которые дают самую высокую вероятность, учитывая определенный набор данных.

Функциональный binofit возвращает MLEs и доверительные интервалы для параметров биномиального распределения. Вот пример с помощью случайных чисел от биномиального распределения с n = 100 и p = 0.9.

rng default;  % for reproducibility
r = binornd(100,0.9)

r = 85

[phat, pci] = binofit(r,100)

phat = 0.8500

pci = 1×2

    0.7647    0.9135

MLE для параметра p 0.8800, по сравнению с истинным значением 0,9. 95%-й доверительный интервал для p идет от 0,7998 до 0,9364, который включает истинное значение. В этом искусственном примере вы знаете “истинное значение” p. В экспериментировании вы не делаете.

Следующие команды генерируют график биномиального PDF для n = 10 и p = 1/2.

x = 0:10;
y = binopdf(x,10,0.5);
plot(x,y,'+')

Смотрите также

BinomialDistribution

Документация