Документация

Определение

Функция плотности вероятности для обобщенного распределения Парето с параметром формы k ≠ 0, масштабный коэффициент σ и пороговый параметр θ,

для θ <x, когда k> 0, или для θ <x <θ – σ/k, когда k <0.

Для k = 0, плотность

для θ <x.

Если k = 0 и θ = 0, обобщенное распределение Парето эквивалентно экспоненциальному распределению. Если k> 0 и θ = σ/k, обобщенное распределение Парето эквивалентно распределению Парето с масштабным коэффициентом, равным σ/k и параметру формы, равному 1/k.

Фон

Как экспоненциальное распределение, обобщенное распределение Парето часто используется, чтобы смоделировать хвосты другого распределения. Например, у вас могут быть шайбы от производственного процесса. Если случайные влияния в выводе процесса к различиям в размерах шайб, стандартного распределения вероятностей, такой как нормальное, могли использоваться, чтобы смоделировать те размеры. Однако, в то время как нормальное распределение может быть хорошей моделью около своего режима, оно не может быть подходящим вариантом для действительных данных в хвостах, и более сложная модель может быть необходима, чтобы описать полный спектр данных. С другой стороны, только запись размеров больше шайб (или меньший), чем определенный порог означает, что можно соответствовать отдельной модели к тем данным о хвосте, которые известны exceedences. Можно использовать обобщенное распределение Парето таким образом, чтобы обеспечить хорошую подгонку к экстремальным значениям сложных данных.

Обобщенное распределение Парето позволяет непрерывную область значений возможных форм, которая включает и экспоненциал и дистрибутивы Парето как особые случаи. Можно использовать любой из тех дистрибутивов, чтобы смоделировать конкретный набор данных exceedences. Обобщенное распределение Парето позволяет вам “позволять данным решить”, какое распределение является соответствующим.

Обобщенное распределение Парето имеет три канонических формы, каждый соответствующий ограничивающему распределению exceedence данных из различного класса базовых дистрибутивов.

Обобщенное распределение Парето используется в хвостах объектов подгонки распределения объекта paretotails.

Параметры

Если вы генерируете большое количество случайных значений от t распределения Студента с 5 степенями свободы, и затем отбрасываете все меньше чем 2, можно соответствовать обобщенному распределению Парето к тем exceedences.

rng default  % For reproducibility
t = trnd(5,5000,1);
y = t(t > 2) - 2;
paramEsts = gpfit(y)

paramEsts = 1×2

    0.1445    0.7225

Заметьте, что оценка параметра формы (первый элемент) положительна, который является тем, что вы ожидали бы на основе exceedences от t распределения Студента.

hist(y+2,2.25:.5:11.75);
h = findobj(gca,'Type','patch');
h.FaceColor = [.8 .8 1];
xgrid = linspace(2,12,1000);
line(xgrid,.5*length(y)*...
     gppdf(xgrid,paramEsts(1),paramEsts(2),2));

Примеры

x = linspace(0,10,1000);
y1 = gppdf(x,-.25,1,0); 
y2 = gppdf(x,0,1,0); 
y3 = gppdf(x,1,1,0);

figure;
plot(x,y1,'-', x,y2,'--', x,y3,':')
legend({'K < 0' 'K = 0' 'K > 0'});