Геометрическое распределение

Обзор

Геометрическое распределение моделирует количество отказов перед одним успехом в ряду независимых испытаний, где каждое испытание результаты в любой успешности или неуспешности и вероятность успеха в любом отдельном испытании является постоянным. Например, если вы бросаете монету, геометрическое распределение моделирует количество хвостов, наблюдаемых прежде, чем получить головы. Геометрическое распределение является дискретным, существующим только на неотрицательных целых числах.

Параметры

Геометрическое распределение использует следующий параметр.

Параметр	Описание
$0 \leq p \leq 1$	Вероятность успеха

Probability Distribution Function

Определение

Функция распределения вероятностей (PDF) геометрического распределения

$y = f (x | p) = p {(1 - p)}^{x}; x = 0, 1, 2, \dots,$

где p является вероятностью успеха, и x является количеством отказов перед первым успехом. y результата является вероятностью наблюдения точно испытаний x перед успехом, когда вероятностью успеха в любом данном испытании является p. Для дискретных распределений функция распределения вероятностей также известна как функцию вероятностной меры (pmf).

График

Этот график показывает, как, изменяя значение параметра вероятности p изменяет форму PDF. Использование geopdf, чтобы вычислить PDF для значений в x равняется 1 - 10 для трех различных значений p. Затем постройте все три pdfs на той же фигуре для визуального сравнения.

x = [1:10];
y1 = geopdf(x,0.1);   % For p = 0.1
y2 = geopdf(x,0.25);  % For p = 0.25
y3 = geopdf(x,0.75);  % For p = 0.75

figure;
plot(x,y1,'kd')
hold on
plot(x,y2,'ro')
plot(x,y3,'b+')
legend({'p = 0.1','p = 0.25','p = 0.75'})
hold off

В этом графике значение y является вероятностью наблюдения точно испытаний x перед успехом. Когда вероятность успеха, p является большим, y, уменьшается быстро, когда x увеличивается, и вероятность наблюдения большого количества отказов, прежде чем успех быстро станет маленьким. Но когда вероятность успеха, p является маленьким, y, медленно уменьшается, когда x увеличивается. Вероятность наблюдения большого количества отказов перед успехом все еще уменьшается как количество испытательных увеличений, но на намного более медленном уровне.

Генерация случайных чисел

Случайное число, сгенерированное от геометрического распределения, представляет количество отказов, наблюдаемых перед успехом в одном эксперименте, учитывая вероятность успеха p для каждого независимого испытания. Используйте geornd, чтобы сгенерировать случайные числа от геометрического распределения. Например, следующее генерирует случайное число от геометрического распределения с вероятностью успеха p, равный 0,1.

p = 0.1;
r = geornd(p)

r = 1

Возвращенное случайное число представляет количество отказов, наблюдаемых перед успехом в ряду независимых испытаний.

Отношение к другим дистрибутивам

Геометрическое распределение является особым случаем отрицательного биномиального распределения с конкретным количеством параметра успехов r, равный 1.

Кумулятивная функция распределения

Определение

Кумулятивная функция распределения (cdf) геометрического распределения

$y = F (x | p) = 1 - {(1 - p)}^{x + 1}; x = 0, 1, 2, ...,$

где p является вероятностью успеха, и x является количеством отказов перед первым успехом. y результата является вероятностью наблюдения до испытаний x перед успехом, когда вероятностью успеха в любом данном испытании является p.

График

Этот график показывает, как, изменяя значение параметра p изменяет форму cdf. Использование geocdf, чтобы вычислить cdf значения в x равняется 1 - 10 для трех различных значений p. Затем постройте все три cdfs на той же фигуре для визуального сравнения.

x = [1:10];
y1 = geocdf(x,0.1);   % For p = 0.1
y2 = geocdf(x,0.25);  % For p = 0.25
y3 = geocdf(x,0.75);  % For p = 0.75

figure;
plot(x,y1,'kd')
hold on
plot(x,y2,'ro')
plot(x,y3,'b+')
legend({'p = 0.1','p = 0.25','p = 0.75'})
hold off

В этом графике значение y является вероятностью наблюдения до испытаний x перед успехом. Когда вероятность успеха, p является большим, y, увеличивается быстро, как x увеличивается. Вероятность наблюдения успеха быстро становится очень высокой, даже для небольшого количества испытаний. Но когда вероятность успеха, p является маленьким, y, медленно увеличивается, как x увеличивается. Вероятность наблюдения успеха все еще увеличивается как количество испытательных увеличений, но на намного более медленном уровне.

Инверсия cdf

Инверсия cdf геометрического распределения определяет значение x, который соответствует вероятности y наблюдения успехов x подряд в независимых испытаниях. Используйте geoinv, чтобы вычислить инверсию cdf геометрического распределения. Например, следующее возвращает самый маленький целочисленный x, таким образом, что геометрический cdf y, оцененный в x, больше, чем или равен 0,1, когда вероятность успеха для каждого независимого испытательного p 0.03.

y = 0.1;
p = 0.03;
x = geoinv(y,p)

x = 3

Среднее значение и отклонение

Среднее значение геометрического распределения

$среднее значение = \frac{1 - p}{p},$

и отклонение геометрического распределения

$var = \frac{1 - p}{p^{2}},$

где p является вероятностью успеха.

Используйте geostat, чтобы вычислить среднее значение и отклонение геометрического распределения. Например, следующее вычисляет средний m и отклонение v геометрического распределения с параметром вероятности p, равный 0,25.

p = 0.25;
[m,v] = geostat(p)

m = 3

v = 12

Пример

Вычислите вероятности геометрического распределения

Скрипт Open Live Script

Предположим, что вероятность пятилетней автомобильной батареи, не запускающейся в холодную погоду, 0.03. Какова вероятность автомобиля, запускающегося в течение 25 дней подряд во время длинного внезапного похолодания?

Смоделируйте сценарий с помощью геометрического распределения, где "отказ" означает, что автомобиль запускается, и "успех" означает, что автомобиль не запускается. Определите вероятность наблюдения 25 отказов (автомобиль запускается), не наблюдая одного успеха (автомобиль не запускается). Вероятность успеха для каждого испытания (автомобиль, не запускающийся на любой одной попытке), является p, равным 0,03.

Вычислите кумулятивную функцию распределения (cdf) для x, равного 25. Это возвращает вероятность наблюдения успеха (автомобиль, не запускающийся) максимум в 25 испытаниях.

x = 25;
p = 0.03;
psuccess = geocdf(x,p);

Чтобы определить вероятность не наблюдения успеха максимум в 25 испытаниях - другими словами, вероятность, что автомобиль запускается на каждых из 25 попыток - вычитает этот результат 1.

pfail = 1 - psuccess

pfail = 0.4530

Возвращенный pfail = 0.4530 результата является вероятностью, что автомобиль будет запускаться каждый день в течение 25 дней подряд во время внезапного похолодания.

График cdf показывает, что, как количество испытаний (x) увеличения, вероятность успеха (y) также увеличивается. В этом примере это означает что, чем больше раз вы пытаетесь запустить автомобиль, тем больше вероятность, что это не запускается в по крайней мере одном из тех случаев.

figure;
x = 0:25;
y = geocdf(x,0.03);
stairs(x,y)

Документация