mvksdensity

Ядро, сглаживающее функциональную оценку для многомерных данных

Синтаксис

f = mvksdensity(x,pts,'Bandwidth',bw)

f = mvksdensity(x,pts,'Bandwidth',bw,Name,Value)

Описание

f = mvksdensity(x,pts,'Bandwidth',bw) вычисляет оценку плотности вероятности выборочных данных в n-by-d матричный x, оцененный в точках в pts с помощью необходимого значения аргумента пары "имя-значение" bw для значения пропускной способности. Оценка основана на продукте Гауссова функция ядра.

Для одномерных или двумерных данных используйте ksdensity вместо этого.

пример

f = mvksdensity(x,pts,'Bandwidth',bw,Name,Value) возвращает любой из предыдущих выходных аргументов, с помощью дополнительных опций, заданных одним или несколькими аргументами пары Name,Value. Например, можно задать функциональный тип, который mvksdensity оценивает, такие как плотность вероятности, интегральная вероятность или функция оставшегося в живых. Можно также присвоить веса входным значениям.

Примеры

свернуть все

Оцените многомерную плотность ядра

Скрипт Open Live Script

Загрузите цементные данные Hald.

load hald

Данные измеряют тепло укрепления для 13 различных цементных составов. Матрица предиктора ingredients содержит состав процента для каждого из четырех цементных компонентов. Матрица ответа heat содержит тепло укрепления (в cal\g) после 180 дней.

Оцените плотность ядра для первых трех наблюдений в ingredients.

xi = ingredients(1:3,:);
f = mvksdensity(ingredients,xi,'Bandwidth',0.8);

Оцените многомерную плотность ядра Используя сетки

Скрипт Open Live Script

Загрузите цементные данные Hald.

load hald

Создайте массив точек, в которых можно оценить плотность. Во-первых, задайте область значений и располагающий с интервалами для каждой переменной, с помощью подобного числа точек в каждой размерности.

gridx1 = 0:2:22;
gridx2 = 20:5:80;
gridx3 = 0:2:24;
gridx4 = 5:5:65;

Затем, используйте ndgrid, чтобы сгенерировать полную сетку точек с помощью заданной области значений и интервала.

[x1,x2,x3,x4] = ndgrid(gridx1,gridx2,gridx3,gridx4);

Наконец, преобразуйте и конкатенируйте, чтобы создать массив, который содержит точки, в которых можно оценить плотность. Этот массив имеет один столбец для каждой переменной.

x1 = x1(:,:)';
x2 = x2(:,:)';
x3 = x3(:,:)';
x4 = x4(:,:)';
xi = [x1(:) x2(:) x3(:) x4(:)];

Оцените плотность.

f = mvksdensity(ingredients,xi,...
	'Bandwidth',[4.0579 10.7345 4.4185 11.5466],...
	'Kernel','normpdf');

Просмотрите размер xi и f, чтобы подтвердить, что mvksdensity вычисляет плотность в каждой точке в xi.

size_xi = size(xi)

size_xi = 1×2

       26364           4

size_f = size(f)

size_f = 1×2

       26364           1

Входные параметры

свернуть все

`x` Выборочные данные
числовая матрица

Выборочные данные, для которых mvksdensity возвращает оценку плотности вероятности, заданную как n-by-d матрица числовых значений. n является количеством точек данных (строки) в x, и d является количеством размерностей (столбцы).

Типы данных: single | double

`pts` — Точки, в которых можно оценить f
матрица

Точки, в которых можно оценить плотность вероятности, оценивают f, заданный как матрица с одинаковым числом столбцов как x. Возвращенная оценка f и pts имеет одинаковое число строк.

Типы данных: single | double

`bw` — Значение для пропускной способности окна сглаживания ядра
скалярное значение | d - вектор элемента

Значение для пропускной способности сглаживающего ядро окна, заданного как скалярное значение или d - вектор элемента. d является количеством размерностей (столбцы) в выборочных данных x. Если bw является скалярным значением, он применяется ко всем размерностям.

Если вы задаете 'BoundaryCorrection' как 'log' (значение по умолчанию) и 'Support' или как 'positive' или как матрица 2D строки, mvksdensity преобразовывает ограниченные данные, чтобы быть неограниченным при помощи логарифмического преобразования. Значение bw находится в шкале преобразованных значений.

Эмпирическое правило Сильвермана для пропускной способности

$b_{i} = σ_{i} {\frac{4}{(d + 2) n}}^{\frac{1}{(d + 4)}}, i = 1, 2, ..., d,$

где d является количеством размерностей, n является количеством наблюдений, и $σ_{i}$ стандартное отклонение i ^th варьируемая величина [4].

Пример: 'Bandwidth',0.8

Типы данных: single | double

Аргументы в виде пар имя-значение

Укажите необязательные аргументы в виде пар ""имя, значение"", разделенных запятыми. Имя (Name) — это имя аргумента, а значение (Value) — соответствующее значение. Name должен появиться в кавычках. Вы можете задать несколько аргументов в виде пар имен и значений в любом порядке, например: Name1, Value1, ..., NameN, ValueN.

Пример: 'Kernel','triangle','Function,'cdf' указывает, что mvksdensity оценивает cdf выборочных данных с помощью треугольной функции ядра.

`'BoundaryCorrection'` — Граничный метод исправления
'журнал' (значение по умолчанию) | 'отражение'

Граничный метод исправления, заданный как пара, разделенная запятой, состоящая из 'BoundaryCorrection' и или 'log' или 'reflection'.

Значение Описание

Значение	Описание
`'log'`	`mvksdensity` преобразовывает ограниченные данные, чтобы быть неограниченным при помощи одного из следующих преобразований. Затем это преобразовывает назад к исходной ограниченной шкале после оценки плотности. Если вы задаете `'Support','positive'`, то `mvksdensity` применяет `log` (_xj) для каждой размерности, где _xj является `j` th столбец входного параметра `x`. Если вы задаете `'Support'` как матрицу 2D строки, состоящую из нижних и верхних пределов для каждой размерности, то `mvksdensity` применяет `log` ((_xj-_Lj) / (_Uj-_xj)) для каждой размерности, где _Lj и _Uj являются нижними и верхними пределами `j` th размерность, соответственно. Значение `bw` находится в шкале преобразованных значений.
`'reflection'`	`mvksdensity` увеличивает ограниченные данные путем добавления отраженных данных около контуров, затем это возвращает оценки, соответствующие исходной поддержке. Для получения дополнительной информации см. Отражательный Метод.

'log'

mvksdensity преобразовывает ограниченные данные, чтобы быть неограниченным при помощи одного из следующих преобразований. Затем это преобразовывает назад к исходной ограниченной шкале после оценки плотности.

Если вы задаете 'Support','positive', то mvksdensity применяет log (_xj) для каждой размерности, где _xj является j th столбец входного параметра x.
Если вы задаете 'Support' как матрицу 2D строки, состоящую из нижних и верхних пределов для каждой размерности, то mvksdensity применяет log ((_xj-_Lj) / (_Uj-_xj)) для каждой размерности, где _Lj и _Uj являются нижними и верхними пределами j th размерность, соответственно.

Значение bw находится в шкале преобразованных значений.

'reflection'

mvksdensity увеличивает ограниченные данные путем добавления отраженных данных около контуров, затем это возвращает оценки, соответствующие исходной поддержке. Для получения дополнительной информации см. Отражательный Метод.

mvksdensity применяет граничное исправление только, когда вы задаете 'Support' как значение кроме 'unbounded'.

Пример: 'BoundaryCorrection','reflection'

`функция` Функционируйте, чтобы оценить
`'pdf'` (значение по умолчанию) | `'cdf'` | `'survivor'`

Функция, чтобы оценить, заданный как пара, разделенная запятой, состоящая из 'Function' и одно из следующих.

Значение	Описание
`'pdf'`	Функция плотности вероятности
`'cdf'`	Кумулятивная функция распределения
`'survivor'`	Функция оставшегося в живых

Пример: 'Function', 'cdf'

`'Kernel'` — Тип более сглаженного ядра
`'normal'` (значение по умолчанию) | `'box'` | `'triangle'` | `'epanechnikov'` | указатель на функцию | вектор символов | представляет скаляр в виде строки

Тип ядра, более сглаженного, заданного как пара, разделенная запятой, состоящая из 'Kernel' и одно из следующих.

Значение	Описание
`'normal'`	Нормальное (Гауссово) ядро
`'box'`	Ядро поля
`'triangle'`	Треугольное ядро
`'epanechnikov'`	Ядро Епанечникова

Можно также задать функцию ядра, которая является пользовательским или встроенной функцией. Задайте функцию как указатель на функцию (например, @myfunction или @normpdf) или как вектор символов или представьте скаляр в виде строки (например, 'myfunction' или 'normpdf'). Программное обеспечение вызывает заданную функцию с одним аргументом, который является массивом расстояний между значениями данных и местоположениями, где плотность оценена, нормирована пропускной способностью в той размерности. Функция должна возвратить массив, одного размера содержащий соответствующие значения функции ядра.

mvksdensity применяет то же ядро к каждой размерности.

Пример: 'Kernel','box'

`Поддержка` Поддержка плотности
`'unbounded'` (значение по умолчанию) | `'positive'` | 2 d матрицей

Поддержка плотности, заданной как пара, разделенная запятой, состоящая из 'support' и одно из следующих.

Значение	Описание
`'unbounded'`	Позвольте плотности расширять по целой действительной строке
`'positive'`	Ограничьте плотность положительными значениями
2 d матрицей	Задайте конечные нижние и верхние границы для поддержки плотности. Первая строка содержит нижние пределы, и вторая строка содержит верхние пределы. Каждый столбец содержит пределы для одной размерности `x`.

'Support' может также быть комбинацией положительных, неограниченных, и ограниченных переменных, заданных как [0 -Inf L; Inf Inf U].

Пример: 'Support','positive'

Типы данных: single | double | char | string

`'Weights'` — Веса для выборочных данных
вектор

Веса для выборочных данных, заданных как пара, разделенная запятой, состоящая из 'Weights' и вектор длины size(x,1), где x является выборочными данными.

Пример: 'Weights',xw

Типы данных: single | double

Выходные аргументы

свернуть все

`f` Предполагаемые значения функции
вектор

Предполагаемые значения функции, возвращенные как вектор. f и pts имеют одинаковое число строк.

Больше о

свернуть все

Многомерное распределение ядра

Многомерное распределение ядра является непараметрическим представлением функции плотности вероятности (PDF) случайного вектора. Можно использовать распределение ядра, когда параметрическое распределение не может правильно описать данные, или когда это необходимо постараться не делать предположения о распределении данных. Многомерное распределение ядра задано функцией сглаживания и матрицей пропускной способности, которые управляют гладкостью получившейся кривой плотности.

Многомерным средством оценки плотности ядра является предполагаемый PDF случайного вектора. Позвольте x = (_x1, _x2, …, _xd)' быть d - размерный случайный вектор с функцией плотности f и позволить _yi = (_yi1, _yi2, …, _yid)' быть случайной выборкой, чертившей от f для i = 1, 2, …, n, где n является количеством случайных выборок. Для любых векторов действительных чисел x многомерным средством оценки плотности ядра дают

${\hat{f}}_{H} (x) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} K_{H} (x - y_{i}),$

где $K_{H} (x) = {| H |}^{- 1 / 2} K (H^{- 1 / 2} x)$ , $K (\cdot)$ функция сглаживания ядра, и H является d-by-d матрица пропускной способности.

mvksdensity использует диагональную матрицу пропускной способности и ядро продукта. Таким образом, ^H1/2 является квадратной диагональной матрицей с элементами вектора (_h1, _h2, …, _hd) на основной диагонали. K(x) принимает форму продукта K(x) = k (_x1) k (_x2) ⋯k (_xd), где $k (\cdot)$ одномерная функция сглаживания ядра. Затем многомерное средство оценки плотности ядра становится

${\hat{f}}_{H} (x) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} K_{H} (x - y_{i}) = \frac{1}{n h_{1} h_{2} \dots h_{d}} \sum_{i = 1}^{n} K (\frac{x_{1} - y_{i 1}}{h_{1}}, \frac{x_{2} - y_{i 2}}{h_{2}}, \dots, \frac{x_{d} - y_{i d}}{h_{d}}) = \frac{1}{n h_{1} h_{2} \dots h_{d}} \sum_{i = 1}^{n} \prod_{j = 1}^{d} k (\frac{x_{j} - y_{i j}}{h_{j}}) .$

Средством оценки ядра для кумулятивной функции распределения (cdf), для любых векторов действительных чисел x, дают

${\hat{F}}_{H} (x) = \int_{- \infty}^{x_{1}} \int_{- \infty}^{x_{2}} \dots \int_{- \infty}^{x_{d}} {\hat{f}}_{H} (t) d t_{d} \dots d t_{2} d t_{1} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \prod_{j = 1}^{d} G (\frac{x_{j} - y_{i j}}{h_{j}}),$

где $G (x_{j}) = \int_{- \infty}^{x_{j}} k (t_{j}) d t_{j}$ .

Отражательный метод

Отражательный метод является граничным методом исправления, который точно находит средства оценки плотности ядра, когда случайная переменная имеет ограниченный носитель. Если вы задаете 'BoundaryCorrection','reflection', mvksdensity использует отражательный метод.

Если вы дополнительно задаете 'Support' как матрицу 2D строки, состоящую из нижних и верхних пределов для каждой размерности, то mvksdensity находит средство оценки ядра можно следующим образом.

Если 'Function' является 'pdf', то средство оценки плотности ядра
${\hat{f}}_{H} (x) = \frac{1}{n h_{1} h_{2} \dots h_{d}} \sum_{i = 1}^{n} \prod_{j = 1}^{d} [k (\frac{x_{j} - y_{i j}^{-}}{h_{j}}) + k (\frac{x_{j} - y_{i j}}{h_{j}}) + k (\frac{x_{j} - y_{i j}^{+}}{h_{j}})]$ для _Lj ≤ _xj ≤ _Uj,
где $y_{i j}^{-} = 2 L_{j} - y_{i j}$ , $y_{i j}^{+} = 2 U_{j} - y_{i j}$ , и _yij является j th элемент i th выборочные данные, соответствующие x(i,j) входного параметра x. _Lj и _Uj являются нижними и верхними пределами j th размерность, соответственно.
Если 'Function' является 'cdf', то средство оценки ядра для cdf
${\hat{F}}_{H} (x) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \prod_{j = 1}^{d} [G (\frac{x_{j} - y_{i j}^{-}}{h_{j}}) + G (\frac{x_{j} - y_{i j}}{h_{j}}) + G (\frac{x_{j} - y_{i j}^{+}}{h_{j}}) - G (\frac{L_{j} - y_{i j}^{-}}{h_{j}}) - G (\frac{L_{j} - y_{i j}}{h_{j}}) - G (\frac{L_{j} - y_{i j}^{+}}{h_{j}})]$ для _Lj ≤ _xj ≤ _Uj.
Чтобы получить средство оценки ядра для функции оставшегося в живых (когда 'Function' является 'survivor'), mvksdensity использует обоих ${\hat{f}}_{H} (x)$ и ${\hat{F}}_{H} (x)$ .

Если вы дополнительно задаете 'Support' как 'positive' или матрицу включая [0 inf], то mvksdensity находит средство оценки плотности ядра, заменяя _{[Lj Uj]} на [0 inf] в вышеупомянутых уравнениях.

Ссылки

[1] Лучник, A. W. и А. Аццалини. Прикладные методы сглаживания для анализа данных. Нью-Йорк: Oxford University Press Inc., 1997.

[2] Выступ, P. D. “Оценка ядра функции распределения”. Коммуникации в Статистике – Теория и Методы. Издание 14, Выпуск 3, 1985, стр 605-620.

[3] Джонс, Член конгресса “Простое граничное исправление для оценки плотности ядра”. Статистика и Вычисление. Издание 3, Выпуск 3, 1993, стр 135-146.

[4] Сильверман, B. W. Оценка плотности для статистики и анализ данных. Chapman & Hall/CRC, 1986.

[5] Скотт, D. W. Многомерная оценка плотности: теория, практика и визуализация. John Wiley & Sons, 2015.

Расширенные возможности

Генерация кода C/C++
Генерация кода C и C++ с помощью MATLAB® Coder™.

Указания и ограничения по применению:

Имена в аргументах пары "имя-значение", включая 'Bandwidth', должны быть константами времени компиляции.
Значения в следующих аргументах пары "имя-значение" должны также быть константами времени компиляции: 'BoundaryCorrection', 'Function' и 'Kernel'. Например, чтобы использовать аргумент пары "имя-значение" 'Function','cdf' в сгенерированном коде, включайте {coder.Constant('Function'),coder.Constant('cdf')} в значение -args codegen.
Значение аргумента пары "имя-значение" 'Kernel' не может быть пользовательским указателем на функцию. Чтобы задать пользовательскую функцию ядра, используйте вектор символов или представьте скаляр в виде строки.
Для значения аргумента пары "имя-значение" 'Support' тип данных времени компиляции должен совпадать с типом данных во время выполнения.

Для получения дополнительной информации о генерации кода смотрите Введение в Генерацию кода и Общий Рабочий процесс Генерации кода.

Смотрите также

ksdensity

Документация

mvksdensity

Синтаксис

Описание

Примеры

Оцените многомерную плотность ядра

Оцените многомерную плотность ядра Используя сетки

Входные параметры

`x` Выборочные данные
числовая матрица

`pts` — Точки, в которых можно оценить f
матрица

`bw` — Значение для пропускной способности окна сглаживания ядра
скалярное значение | d - вектор элемента

Аргументы в виде пар имя-значение

`'BoundaryCorrection'` — Граничный метод исправления
'журнал' (значение по умолчанию) | 'отражение'

`функция` Функционируйте, чтобы оценить
`'pdf'` (значение по умолчанию) | `'cdf'` | `'survivor'`

`'Kernel'` — Тип более сглаженного ядра
`'normal'` (значение по умолчанию) | `'box'` | `'triangle'` | `'epanechnikov'` | указатель на функцию | вектор символов | представляет скаляр в виде строки

`Поддержка` Поддержка плотности
`'unbounded'` (значение по умолчанию) | `'positive'` | 2 d матрицей

`'Weights'` — Веса для выборочных данных
вектор

Выходные аргументы

`f` Предполагаемые значения функции
вектор

Больше о

Многомерное распределение ядра

Отражательный метод

Ссылки

Расширенные возможности

Генерация кода C/C++
Генерация кода C и C++ с помощью MATLAB® Coder™.

Смотрите также

Темы

Введенный в R2016a

Документация Statistics and Machine Learning Toolbox

Поддержка

Документация

mvksdensity

Синтаксис

Описание

Примеры

Оцените многомерную плотность ядра

Оцените многомерную плотность ядра Используя сетки

Входные параметры

x Выборочные данные числовая матрица

pts — Точки, в которых можно оценить f матрица

bw — Значение для пропускной способности окна сглаживания ядра скалярное значение | d - вектор элемента

Аргументы в виде пар имя-значение

'BoundaryCorrection' — Граничный метод исправления 'журнал' (значение по умолчанию) | 'отражение'

функция Функционируйте, чтобы оценить 'pdf' (значение по умолчанию) | 'cdf' | 'survivor'

'Kernel' — Тип более сглаженного ядра 'normal' (значение по умолчанию) | 'box' | 'triangle' | 'epanechnikov' | указатель на функцию | вектор символов | представляет скаляр в виде строки

Поддержка Поддержка плотности 'unbounded' (значение по умолчанию) | 'positive' | 2 d матрицей

'Weights' — Веса для выборочных данных вектор

Выходные аргументы

f Предполагаемые значения функции вектор

Больше о

Многомерное распределение ядра

Отражательный метод

Ссылки

Расширенные возможности

Генерация кода C/C++ Генерация кода C и C++ с помощью MATLAB® Coder™.

Смотрите также

Темы

Введенный в R2016a

Документация Statistics and Machine Learning Toolbox

Поддержка

`x` Выборочные данные
числовая матрица

`pts` — Точки, в которых можно оценить f
матрица

`bw` — Значение для пропускной способности окна сглаживания ядра
скалярное значение | d - вектор элемента

`'BoundaryCorrection'` — Граничный метод исправления
'журнал' (значение по умолчанию) | 'отражение'

`функция` Функционируйте, чтобы оценить
`'pdf'` (значение по умолчанию) | `'cdf'` | `'survivor'`

`Поддержка` Поддержка плотности
`'unbounded'` (значение по умолчанию) | `'positive'` | 2 d матрицей

`'Weights'` — Веса для выборочных данных
вектор

`f` Предполагаемые значения функции
вектор

Генерация кода C/C++
Генерация кода C и C++ с помощью MATLAB® Coder™.