Сначала пять полиномов Чебышева второго вида

Найдите первые пять Полиномов Чебышева второго вида для переменной x.

syms x
chebyshevU([0, 1, 2, 3, 4], x)

ans =
[ 1, 2*x, 4*x^2 - 1, 8*x^3 - 4*x, 16*x^4 - 12*x^2 + 1]

Полиномы Чебышева для числовых и символьных аргументов

В зависимости от его аргументов chebyshevU возвращает или точные символьные результаты с плавающей точкой.

Найдите значение Полинома Чебышева пятой степени второго вида в этих точках. Поскольку эти числа не являются символьными объектами, chebyshevU возвращает результаты с плавающей точкой.

chebyshevU(5, [1/6, 1/3, 1/2, 2/3, 4/5])

ans =
    0.8560    0.9465    0.0000   -1.2675   -1.0982

Найдите значение Полинома Чебышева пятой степени второго вида для тех же чисел преобразованным в символьные объекты. Для символьных чисел chebyshevU возвращает точные символьные результаты.

chebyshevU(5, sym([1/6, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 4/5]))

ans =
[ 208/243, 33/32, 230/243, 0, -308/243, -3432/3125]

Оцените полиномы Чебышева с числами с плавающей запятой

Оценка с плавающей точкой Полиномов Чебышева прямыми вызовами chebyshevU численно стабильна. Однако сначала вычисление полинома с помощью символьной переменной, и затем заменяя значениями переменной точности в это выражение может быть численно нестабильным.

Найдите значение Полинома Чебышева 500-й степени второго вида в 1/3 и vpa(1/3). Оценка с плавающей точкой численно стабильна.

chebyshevU(500, 1/3)
chebyshevU(500, vpa(1/3))

ans =
    0.8680
 
ans =
0.86797529488884242798157148968078

Теперь, найдите символьный полиномиальный U500 = chebyshevU(500, x) и замените x = vpa(1/3) в результат. Этот подход численно нестабилен.

syms x
U500 = chebyshevU(500, x);
subs(U500, x, vpa(1/3))

ans =
63080680195950160912110845952.0

Аппроксимируйте полиномиальные коэффициенты при помощи vpa, и затем замените x = sym(1/3) в результат. Этот подход также численно нестабилен.

subs(vpa(U500), x, sym(1/3))

ans =
-1878009301399851172833781612544.0

Постройте полиномы Чебышева второго вида

Постройте первые пять Полиномов Чебышева второго вида.

syms x y
fplot(chebyshevU(0:4, x))
axis([-1.5 1.5 -2 2])
grid on

ylabel('U_n(x)')
legend('U_0(x)', 'U_1(x)', 'U_2(x)', 'U_3(x)', 'U_4(x)', 'Location', 'Best')
title('Chebyshev polynomials of the second kind')