laguerreL

Обобщенные полиномы функции и Лагерра Лагерра

Синтаксис

laguerreL(n,x)

laguerreL(n,a,x)

Описание

laguerreL(n,x) возвращает полином Лагерра степени n, если n является неотрицательным целым числом. Когда n не является неотрицательным целым числом, laguerreL возвращает функцию Лагерра. Для получения дополнительной информации смотрите Обобщенную Функцию Лагерра.

пример

laguerreL(n,a,x) возвращает обобщенный полином Лагерра степени n, если n является неотрицательным целым числом. Когда n не является неотрицательным целым числом, laguerreL возвращает обобщенную функцию Лагерра.

Примеры

Найдите полиномы Лагерра для числовых и символьных входных параметров

Найдите полином Лагерра степени 3 для входа 4.3.

laguerreL(3,4.3)

ans =
    2.5838

Найдите полином Лагерра для символьных входных параметров. Задайте степень n как 3, чтобы возвратить явную форму полинома.

syms x
laguerreL(3,x)

ans =
- x^3/6 + (3*x^2)/2 - 3*x + 1

Если степень полинома Лагерра, n не задан, laguerreL, не может найти полином. Когда laguerreL не может найти полином, он возвращает вызов функции.

syms n x
laguerreL(n,x)

ans =
laguerreL(n, x)

Найдите обобщенный полином Лагерра

Найдите явную форму обобщенного полинома Лагерра L(n,a,x) степени n = 2.

syms a x
laguerreL(2,a,x)

ans =
(3*a)/2 - x*(a + 2) + a^2/2 + x^2/2 + 1

Возвратите обобщенную функцию Лагерра

Когда n не является неотрицательным целым числом, laguerreL(n,a,x) возвращает обобщенную функцию Лагерра.

laguerreL(-2.7,3,2)

ans =
    0.2488

laguerreL не задан для определенных входных параметров и возвращает ошибку.

syms x
laguerreL(-5/2, -3/2, x)

Error using symengine
Function 'laguerreL' not supported for parameter values '-5/2' and '-3/2'.

Найдите полином Лагерра с векторными и матричными входными параметрами

Найдите полиномы Лагерра степеней 1 и 2 установкой n = [1 2].

syms x
laguerreL([1 2],x)

ans =
[ 1 - x, x^2/2 - 2*x + 1]

Действия laguerreL, поэлементные на n, чтобы возвратить вектор с двумя элементами.

Если несколько входных параметров заданы как вектор, матрица или многомерный массив, входные параметры должны быть одного размера. Найдите обобщенные полиномы Лагерра, где входные параметры n и x являются матрицами.

syms a
n = [2 3; 1 2];
xM = [x^2 11/7; -3.2 -x];
laguerreL(n,a,xM)

ans =
[ a^2/2 - a*x^2 + (3*a)/2 + x^4/2 - 2*x^2 + 1,...
      a^3/6 + (3*a^2)/14 - (253*a)/294 - 676/1029]
[                                    a + 21/5,...
          a^2/2 + a*x + (3*a)/2 + x^2/2 + 2*x + 1]

Действия laguerreL, поэлементные на n и x, чтобы возвратить матрицу, одного размера как n и x.

Дифференцируйте и найдите пределы полиномов Лагерра

Используйте limit, чтобы найти предел обобщенного полинома Лагерра степени 3, когда x склоняется к ∞.

syms x
expr = laguerreL(3,2,x);
limit(expr,x,Inf)

ans =
-Inf

Используйте diff, чтобы найти третью производную обобщенного полинома Лагерра laguerreL(n,a,x).

syms n a
expr = laguerreL(n,a,x);
diff(expr,x,3)

ans =
-laguerreL(n - 3, a + 3, x)

Найдите расширение ряда Тейлора полиномов Лагерра

Используйте taylor, чтобы найти расширение Ряда Тейлора обобщенного полинома Лагерра степени 2 в x = 0.

syms a x
expr = laguerreL(2,a,x);
taylor(expr,x)

ans =
(3*a)/2 - x*(a + 2) + a^2/2 + x^2/2 + 1

Постройте полиномы Лагерра

Постройте полиномы Лагерра порядков 1 через 4.

syms x
fplot(laguerreL(1:4,x))
axis([-2 10 -10 10])
grid on

ylabel('L_n(x)')
title('Laguerre polynomials of orders 1 through 4')
legend('1','2','3','4','Location','best')

Входные параметры

свернуть все

`n` Степень полинома
номер | вектор | матрица | многомерный массив | символьное число | символьный вектор | символьная матрица | символьная функция | символьный многомерный массив

Степень полинома, заданного как номер, вектор, матрица, многомерный массив, или символьное число, вектор, матрица, функция или многомерный массив.

`x` Входной параметр
номер | вектор | матрица | многомерный массив | символьное число | символьный вектор | символьная матрица | символьная функция | символьный многомерный массив

Введите, заданный как номер, вектор, матрица, многомерный массив, или символьное число, вектор, матрица, функция или многомерный массив.

`a` Входной параметр
номер | вектор | матрица | многомерный массив | символьное число | символьный вектор | символьная матрица | символьная функция | символьный многомерный массив

Больше о

свернуть все

Обобщенная функция Лагерра

Обобщенная функция Лагерра задана с точки зрения гипергеометрической функции как

$laguerreL (n, a, x) = (\begin{matrix} n + a \\ a \end{matrix}) {}_{1}F_{1} (- n; a + 1; x) .$

Для неотрицательных целочисленных значений n функция возвращает обобщенные полиномы Лагерра, которые являются ортогональными относительно скалярного произведения

$〈 f 1, f 2 〉 = \int_{0}^{\infty} e^{- x} x^{a} f 1 (x) f 2 (x) d x .$

В частности,

$〈 laguerreL (n, a, x), laguerreL (m, a, x) 〉 = {\begin{matrix} 0 & если n \neq m \\ \frac{Γ (a + n + 1)}{n!} & если n = m . \end{matrix}$

Алгоритмы

Обобщенная функция Лагерра не задана для всех значений параметров n и a, потому что определенные ограничения на параметры существуют в определении гипергеометрических функций. Если обобщенная функция Лагерра не задана для конкретной пары n и a, функция laguerreL возвращает сообщение об ошибке. Смотрите Возвращают Обобщенную Функцию Лагерра.
Вызовы laguerreL(n,x) и laguerreL(n,0,x) эквивалентны.
Если n является неотрицательным целым числом, функция laguerreL возвращает явную форму соответствующего полинома Лагерра.
Специальные значения $laguerreL (n, a, 0) = (\begin{matrix} n + a \\ a \end{matrix})$ реализованы для произвольных значений n и a.
Если n является отрицательным целым числом, и a является числовым значением нецелого числа, удовлетворяющим a ≥ -n, то laguerreL возвращает 0.
Если n является отрицательным целым числом, и a является целым числом, удовлетворяющим a <-n, функция возвращает явное выражение, заданное отражательным правилом

$laguerreL (n, a, x) = {(- 1)}^{a} e^{x} laguerreL (- n - a - 1, a, - x)$
Если все аргументы являются числовыми, и по крайней мере один аргумент является числом с плавающей запятой, то laguerreL(x) возвращает число с плавающей запятой. Для всех других аргументов laguerreL(n,a,x) возвращает символьный вызов функции.

Документация