Найдите аппроксимирующую функцию Padé для символьных выражений

Найдите аппроксимирующую функцию Padé sin(x). По умолчанию pade возвращает третий порядок аппроксимирующая функция Padé.

syms x
pade(sin(x))

ans =
-(x*(7*x^2 - 60))/(3*(x^2 + 20))

Задайте переменную расширения

Если вы не задаете переменную расширения, symvar выбирает ее. Найдите аппроксимирующую функцию Padé sin(x) + cos(y). Функция symvar выбирает x в качестве переменной расширения.

syms x y
pade(sin(x) + cos(y))

ans =
(- 7*x^3 + 3*cos(y)*x^2 + 60*x + 60*cos(y))/(3*(x^2 + 20))

Задайте переменную расширения как y. Функция pade возвращает аппроксимирующую функцию Padé относительно y.

pade(sin(x) + cos(y),y)

ans =
(12*sin(x) + y^2*sin(x) - 5*y^2 + 12)/(y^2 + 12)

Приближенное значение функции в конкретной точке

Найдите значение tan(3*pi/4). Используйте pade, чтобы найти аппроксимирующую функцию Padé для tan(x) и занять место в него с помощью subs, чтобы найти tan(3*pi/4).

syms x
f = tan(x);
P = pade(f);
y = subs(P,x,3*pi/4)

y =
(pi*((9*pi^2)/16 - 15))/(4*((9*pi^2)/8 - 5))

Используйте vpa, чтобы преобразовать y в числовое значение.

vpa(y)

ans =
-1.2158518789569086447244881326842

Увеличьте точность аппроксимирующей функции Padé

Можно увеличить точность аппроксимирующей функции Padé путем увеличения порядка. Если точка расширения является полюсом или нулем, точность может также быть увеличена установкой OrderMode до relative. Опция OrderMode не имеет никакого эффекта, если точка расширения не является полюсом или нулем.

Найдите аппроксимирующую функцию Padé tan(x) с помощью pade с точкой расширения 0 и Order [1 1]. Найдите значение tan(1/5) путем замены в аппроксимирующую функцию Padé с помощью subs и используйте vpa, чтобы преобразовать 1/5 в числовое значение.

syms x
p11 = pade(tan(x),x,0,'Order',[1 1])
p11 = subs(p11,x,vpa(1/5))

p11 =
x
p11 =
0.2

Найдите ошибку приближения путем вычитания p11 из фактического значения tan(1/5).

y = tan(vpa(1/5));
error = y - p11

error =
0.0027100355086724833213582716475345

Увеличьте точность аппроксимирующей функции Padé путем увеличения порядка с помощью Order. Установите Order на [2 2] и найдите ошибку.

p22 = pade(tan(x),x,0,'Order',[2 2])
p22 = subs(p22,x,vpa(1/5));
error = y - p22

p22 =
-(3*x)/(x^2 - 3)
error =
0.0000073328059697806186555689448317799

Точность увеличивается с увеличивающимся порядком.

Если точка расширения является полюсом или нулем, точностью уменьшений аппроксимирующей функции Padé. Установка опции OrderMode к relative компенсирует уменьшенную точность. Для получения дополнительной информации см. Аппроксимирующую функцию Padé. Поскольку функция tan имеет нуль в 0, установке OrderMode с точностью увеличений relative. Эта опция не имеет никакого эффекта, если точка расширения не является полюсом или нулем.

p22Rel = pade(tan(x),x,0,'Order',[2 2],'OrderMode','relative')
p22Rel = subs(p22Rel,x,vpa(1/5));
error = y - p22Rel

p22Rel =
(x*(x^2 - 15))/(3*(2*x^2 - 5))
error =
0.0000000084084014806113311713765317725998

Точность увеличивается, если точка расширения является полюсом или нулем, и OrderMode установлен в relative.

Постройте точность аппроксимирующей функции Padé

Постройте различие между exp(x) и его аппроксимирующими функциями Padé порядков [1 1] через [4 4]. Используйте axis, чтобы фокусироваться на видимой области. График показывает, что точность увеличивается с увеличивающимся порядком аппроксимирующей функции Padé.

syms x
expr = exp(x);

hold on
grid on

for i = 1:4
    fplot(expr - pade(expr,'Order',i))
end

axis([-4 4 -4 4])
legend('Order [1,1]','Order [2,2]','Order [3,3]','Order [4,4]',...
                                            'Location','Best')
title('Difference Between exp(x) and its Pade Approximant')
ylabel('Error')