Решите уравнение

Используйте оператор ==, чтобы задать уравнение sin(x) == 1 и решить его.

syms x
eqn = sin(x) == 1;
solx = solve(eqn,x)

solx =
pi/2

Найдите полное решение того же уравнения путем определения опции ReturnConditions как true. Задайте выходные переменные для решения, параметров в решении и условий на решении.

[solx, params, conds] = solve(eqn, x, 'ReturnConditions', true)

solx =
pi/2 + 2*pi*k

params =
k

conds =
in(k, 'integer')

pi/2 + 2*pi*k решения содержит параметр k, который допустим при условии in(k, 'integer'). Это условие означает параметр, k должен быть целым числом.

Если solve возвращает пустой объект, то никакие решения не существуют. Если solve возвращает пустой объект с предупреждением, решения могут существовать, но solve не нашел решений.

eqns = [3*x+2, 3*x+1];
solve(eqns, x)

ans =
Empty sym: 0-by-1

Используйте Параметры, и Условия, Возвращенные, решают, чтобы Совершенствовать Решение

Возвратите полное решение уравнения с параметрами и условиями решения путем определения ReturnConditions как true.

Решите sin уравнения (x) = 0. Обеспечьте две дополнительных выходных переменные для выходных аргументов parameters и conditions.

syms x
eqn = sin(x) == 0;
[solx, param, cond] = solve(eqn, x, 'ReturnConditions', true)

solx =
pi*k
param =
k
cond =
in(k, 'integer')

Решение pi*k содержит параметр k и допустим при условии in(k,'integer'). Это условие означает параметр, k должен быть целым числом. k не существует в рабочей области MATLAB^® и должен быть получен доступ с помощью param.

Найдите допустимое значение k для 0 < x < 2*pi путем принятия условия, cond, и использования solve, чтобы решить эти условия для k. Замените значением k, найденного в решение для x.

assume(cond)
interval = [solx > 0, solx < 2*pi];
solk = solve(interval, param)
valx = subs(solx, param, solk)

solk =
1
valx =
pi

Допустимым значением k для 0 < x < 2*pi является 1. Это производит значение x = pi.

Также найдите решение для x путем выбора значения k. Проверяйте, удовлетворяет ли выбранное значение условие на k с помощью isAlways.

Проверяйте, удовлетворяет ли k = 4 условие на k.

condk4 = subs(cond, param, 4);
isAlways(condk4)

ans =
  logical
   1

isAlways возвращает логический 1 (true), означая, что 4 является допустимым значением для k. Замените k с 4, чтобы получить решение для x. Используйте vpa, чтобы получить числовое приближение.

valx = subs(solx, param, 4)
vpa(valx)

valx =
4*pi
ans =
12.566370614359172953850573533118

Решите многомерные уравнения и присвойте Выходные параметры переменным

Избегайте неоднозначностей при решении уравнений с символьными параметрами путем определения переменной, для которой вы хотите решить уравнение. Если вы не задаете переменную, solve выбирает переменную с помощью symvar. Во-первых, решите квадратное уравнение, не задавая переменную. solve выбирает x, чтобы возвратить знакомое решение. Затем решите квадратное уравнение для a, чтобы возвратить решение для a.

syms a b c x
eqn = a*x^2 + b*x + c == 0;
sol = solve(eqn)
sola = solve(eqn, a)

sol =
 -(b + (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)
 -(b - (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)
sola =
-(c + b*x)/x^2

При решении больше чем для одной переменной порядок, в котором вы задаете переменные, задает порядок, в котором решатель возвращает решения.

Решите эту систему уравнений и присвойте решения переменных solv и solu путем определения переменных явным образом. Решатель возвращает массив решений для каждой переменной.

syms u v
eqns = [2*u^2 + v^2 == 0, u - v == 1];
vars = [v u];
[solv, solu] = solve(eqns, vars)

solv =
 - (2^(1/2)*1i)/3 - 2/3
   (2^(1/2)*1i)/3 - 2/3
solu =
 1/3 - (2^(1/2)*1i)/3
 (2^(1/2)*1i)/3 + 1/3

Записи с тем же индексом формируют решения системы.

solutions = [solv solu]

solutions =
[ - (2^(1/2)*1i)/3 - 2/3, 1/3 - (2^(1/2)*1i)/3]
[   (2^(1/2)*1i)/3 - 2/3, (2^(1/2)*1i)/3 + 1/3]

Решением системы является v = - (2^(1/2)*1i)/3 - 2/3 и u = 1/3 - (2^(1/2)*1i)/3.

Решите многомерные уравнения и присвойте Выходные параметры структуре

При решении для нескольких переменных может быть более удобно сохранить выходные параметры в массиве структур, чем в отдельных переменных. Функция solve возвращает структуру, когда вы задаете один выходной аргумент, и существуют несколько выходных параметров.

Решите систему уравнений, чтобы возвратить решения в массиве структур.

syms u v
eqns = [2*u + v == 0, u - v == 1];
S = solve(eqns, [u v])

S = 
  struct with fields:

    u: [1×1 sym]
    v: [1×1 sym]

Доступ к решениям путем обращения к элементам структуры.

S.u
S.v

ans =
1/3
ans =
-2/3

Используя массив структур позволяет вам удобно заменять решениями в выражения. Функция subs заменяет правильными значениями, независимо от которых переменных вы занимаете место.

Замените решениями в выражения с помощью структуры S.

expr1 = u^2;
subs(expr1, S)
expr2 = 3*v+u;
subs(expr2, S)

ans =
1/9
ans =
-5/3

Возвратите полное решение системы уравнений Используя структуру

Возвратите полное решение системы уравнений с параметрами и условиями решения путем определения ReturnConditions как true.

syms x y
eqns = [sin(x)^2 == cos(y), 2*x == y];
S = solve(eqns, [x y], 'ReturnConditions', true);
S.x
S.y
S.conditions
S.parameters

ans =
 pi*k - asin(3^(1/2)/3)
 asin(3^(1/2)/3) + pi*k
ans =
 2*pi*k - 2*asin(3^(1/2)/3)
 2*asin(3^(1/2)/3) + 2*pi*k
ans =
 in(k, 'integer')
 in(k, 'integer')
ans =
k

Решение формируется элементами того же индекса в S.x, S.y и S.conditions. Любой элемент S.parameters может появиться в любом решении. Например, решением является x = pi*k - asin(3^(1/2)/3) и y = 2*pi*k - 2*asin(3^(1/2)/3), с параметром k при условии in(k, 'integer'). Это условие означает, что k должен быть целым числом для решения быть допустимым. k не существует в рабочем пространстве MATLAB и должен быть получен доступ с S.parameters.

Для первого решения найдите допустимое значение k для 0 < x < pi путем принятия условия S.conditions(1) и использования solve, чтобы решить эти условия для k. Замените значением k, найденного в решение для x.

assume(S.conditions(1))
interval = [S.x(1)>0, S.x(1)<pi];
solk = solve(interval, S.parameters)
solx = subs(S.x(1), S.parameters, solk)

solk =
1
solx =
pi - asin(3^(1/2)/3)

Допустимым значением k для 0 < x < pi является 1. Это производит значение x = pi - asin(3^(1/2)/3).

Также найдите решение для x путем выбора значения k. Проверяйте, удовлетворяет ли выбранное значение условие на k с помощью isAlways.

Проверяйте, удовлетворяет ли k = 4 условие на k.

condk4 = subs(S.conditions(1), S.parameters, 4);
isAlways(condk4)

ans =
  logical
   1

isAlways возвращает логический 1 (true), означающий, что 4 является допустимым значением для k. Замените k с 4, чтобы получить решение для x. Используйте vpa, чтобы получить числовое приближение.

valx = subs(S.x(1), S.parameters, 4)
vpa(valx)

valx =
4*pi - asin(3^(1/2)/3)
ans =
11.950890905688785612783108943994

Численно решите уравнения

Когда solve не может символически решить уравнение, он пытается найти числовое решение с помощью vpasolve. Функция vpasolve возвращает первое найденное решение.

Попытайтесь решить следующее уравнение. solve возвращает числовое решение, потому что он не может найти символьное решение.

syms x
eqn = sin(x) == x^2 - 1;
solve(eqn, x)

Warning: Unable to solve symbolically. Returning a numeric solution using vpasolve. 
> In solve (line 304) 
ans =
-0.63673265080528201088799090383828

Постройте левые и правые стороны уравнения. Заметьте, что уравнение также имеет положительное решение.

fplot([lhs(eqn) rhs(eqn)], [-2 2])

Найдите это решение путем прямого вызова числового решателя vpasolve и определения интервала.

vpasolve(eqn, x, [0 2])

ans =
1.4096240040025962492355939705895

Решите неравенства

solve может решить неравенства, чтобы найти решение, которое удовлетворяет неравенства.

Решите следующие неравенства. Установите ReturnConditions на true возвращать любые параметры в решении и условиях на решении.

syms x y
cond1 = x^2 + y^2 + x*y < 1;
cond2 = x > 0;
cond3 = y > 0;
conds = [cond1 cond2 cond3];

sol = solve(conds, [x y], 'ReturnConditions', true);

sol.x
sol.y
sol.parameters
sol.conditions

ans =
(- 3*v^2 + u)^(1/2)/2 - v/2
ans =
v
ans =
[ u, v]
ans =
4*v^2 < u & u < 4 & 0 < v

Параметры u и v не существуют в рабочем пространстве MATLAB и должны быть получены доступ с помощью sol.parameters.

Проверяйте, удовлетворяют ли значения u = 7/2 и v = 1/2 условие с помощью subs и isAlways.

condWithValues = subs(sol.conditions, sol.parameters, [7/2,1/2]);
isAlways(condWithValues)

ans =
  logical
   1

isAlways возвращает логический 1 (true), указывающий, что эти значения удовлетворяют условие. Замените этими значениями параметров в sol.x и sol.y, чтобы найти решение для x и y.

xSol = subs(sol.x, sol.parameters, [7/2,1/2])
ySol = subs(sol.y, sol.parameters, [7/2,1/2])

xSol =
11^(1/2)/4 - 1/4

ySol =
1/2

Преобразуйте решение в числовую форму при помощи vpa.

vpa(xSol)
vpa(ySol)

ans =
0.57915619758884996227873318416767

ans =
0.5

Возвратите действительные решения

Решите это уравнение. Это имеет пять решений.

syms x
eqn = x^5 == 3125;
solve(eqn, x)

ans =
                                                          5
 - (2^(1/2)*(5 - 5^(1/2))^(1/2)*5i)/4 - (5*5^(1/2))/4 - 5/4
   (2^(1/2)*(5 - 5^(1/2))^(1/2)*5i)/4 - (5*5^(1/2))/4 - 5/4
   (5*5^(1/2))/4 - (2^(1/2)*(5^(1/2) + 5)^(1/2)*5i)/4 - 5/4
   (5*5^(1/2))/4 + (2^(1/2)*(5^(1/2) + 5)^(1/2)*5i)/4 - 5/4

Возвратите только действительные решения путем установки аргумента Real на true. Единственным действительным решением этого уравнения является 5.

solve(eqn, x, 'Real', true)

ans =
5

Возвратите одно решение

Решите это уравнение. Вместо того, чтобы возвратить бесконечное множество периодических решений, решатель выбирает эти три решения, которые он считает самым практичным.

syms x
eqn = sin(x) + cos(2*x) == 1;
solve(eqn, x)

ans =
        0
     pi/6
 (5*pi)/6

Выберите только одно решение с помощью PrincipalValue.

eqn = sin(x) + cos(2*x) == 1;
solve(eqn, x, 'PrincipalValue', true)

ans =
0

Сократите результат с правилами упрощения

Попытайтесь решить это уравнение. По умолчанию solve не применяет упрощения, которые не всегда математически правильны. В результате solve не может решить это уравнение символически.

syms x
eqn = exp(log(x)*log(3*x)) == 4;
solve(eqn, x)

Warning: Unable to solve symbolically. Returning a numeric solution using vpasolve. 
> In solve (line 304) 
ans =
- 14.009379055223370038369334703094 - 2.9255310052111119036668717988769i

Установите IgnoreAnalyticConstraints на true применять упрощения, которые могут позволить solve находить результат. Для получения дополнительной информации см. Алгоритмы.

S = solve(eqn, x, 'IgnoreAnalyticConstraints', true)

S =
 (3^(1/2)*exp(-(log(256) + log(3)^2)^(1/2)/2))/3
  (3^(1/2)*exp((log(256) + log(3)^2)^(1/2)/2))/3

solve применяет упрощения, которые позволяют ему находить решение. Примененные упрощения не всегда содержат. Таким образом решения в этом режиме не могут быть правильны или завершены, и нуждаться в верификации.

Проигнорируйте предположения на переменных

sym и функции syms позволяют вам установить предположения для символьных переменных.

Примите, что переменная x может иметь только положительные значения.

syms x positive

Когда вы решаете уравнение или систему уравнений для переменной под предположениями, решатель только возвращает решения, сопоставимые с предположениями. Решите это уравнение для x.

eqn = x^2 + 5*x - 6 == 0;
solve(eqn, x)

ans =
1

Позвольте решения, которые не удовлетворяют предположения установкой IgnoreProperties к true.

solve(eqn, x, 'IgnoreProperties', true)

ans =
 -6
  1

Для дальнейших вычислений очистите предположение, что вы устанавливаете на переменной x путем воссоздания его с помощью syms.

syms x

Численно аппроксимирующие символьные решения, которые содержат root

При решении полиномов solve может возвратить решения, содержащие root. Чтобы численно аппроксимировать эти решения, используйте vpa. Рассмотрите следующее уравнение и решение.

syms x
eqn = x^4 + x^3 + 1 == 0;
s = solve(eqn, x)

s =
 root(z^4 + z^3 + 1, z, 1)
 root(z^4 + z^3 + 1, z, 2)
 root(z^4 + z^3 + 1, z, 3)
 root(z^4 + z^3 + 1, z, 4)

Поскольку нет никаких параметров в этом решении, используйте vpa, чтобы аппроксимировать его численно.

vpa(s)

ans =
     0.5189127943851558447865795886366 - 0.666609844932018579153758800733i
     0.5189127943851558447865795886366 + 0.666609844932018579153758800733i
 - 1.0189127943851558447865795886366 - 0.60256541999859902604398442197193i
 - 1.0189127943851558447865795886366 + 0.60256541999859902604398442197193i

Решите полиномиальные знатные уравнения

Когда вы решаете уравнение полинома высшего порядка, решатель может использовать root, чтобы возвратить результаты. Решите уравнение порядка 3.

syms x a
eqn = x^3 + x^2 + a == 0;
solve(eqn, x)

ans = 
$$\left(\begin{array}{c}\mathrm{корень}\left(z^3+z^2+a,z,1\right)\\ \mathrm{корень}\left(z^3+z^2+a,z,2\right)\\ \mathrm{корень}\left(z^3+z^2+a,z,3\right)\end{array}\right)$$

Попытайтесь получить явное решение для таких уравнений путем вызова решателя с MaxDegree. Опция задает максимальную степень полиномов, для которых решатель пытается возвратить явные решения. Значением по умолчанию является 2. Увеличивая это значение, можно получить явные решения для полиномов высшего порядка.

Решите те же уравнения для явных решений путем увеличения значения MaxDegree к 3.

S = solve(eqn, x, 'MaxDegree', 3)

S = 
$$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{c}\frac{1}{9\hspace{0.17em}{\sigma }_1}+{\sigma }_1-\frac{1}{3}\\ -\frac{1}{18\hspace{0.17em}{\sigma }_1}-\frac{{\sigma }_1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{3}\hspace{0.17em}\left(\frac{1}{9\hspace{0.17em}{\sigma }_1}-{\sigma }_1\right)\hspace{0.17em}i}{2}\\ -\frac{1}{18\hspace{0.17em}{\sigma }_1}-\frac{{\sigma }_1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}\hspace{0.17em}\left(\frac{1}{9\hspace{0.17em}{\sigma }_1}-{\sigma }_1\right)\hspace{0.17em}i}{2}\end{array}\right)\\ \\ \mathrm{где}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_1={\left(\sqrt{{\left(\frac{a}{2}+\frac{1}{27}\right)}^2-\frac{1}{729}}-\frac{a}{2}-\frac{1}{27}\right)}^{1/3}\end{array}$$