Мы изучили, как дискретный вейвлет преобразовывает, может использоваться, чтобы анализировать, или разложиться, сигналы и изображения. Этот процесс называется разложением или анализом. Другая половина истории - то, как те компоненты могут быть собраны назад в исходный сигнал без потери информации. Этот процесс называется реконструкцией или синтезом. Математическая манипуляция, что синтез эффектов называется обратным дискретным вейвлетом преобразовывает (IDWT).
Чтобы синтезировать сигнал с помощью программного обеспечения Wavelet Toolbox™, мы восстанавливаем его от коэффициентов вейвлета.
Где анализ вейвлета включает фильтрацию и субдискретизацию, процесс реконструкции вейвлета состоит из повышающей дискретизации и фильтрации. Повышающая дискретизация является процессом удлинения компонента сигнала путем вставки нулей между выборками.
Тулбокс включает команды, как idwt и waverec, которые выполняют одноуровневую или многоуровневую реконструкцию, соответственно, на компонентах 1D сигналов. Эти команды имеют свои 2D и 3-D аналоги, idwt2, waverec2, idwt3 и waverec3.
Часть фильтрации процесса реконструкции также переносит некоторое обсуждение, потому что это - выбор фильтров, который крайне важен для достижения совершенной реконструкции исходного сигнала.
Субдискретизация компонентов сигнала, выполняемых во время фазы разложения, вводит названное искажение искажения. Оказывается, что путем тщательного выбора фильтров для фаз разложения и реконструкции, которые тесно связаны (но не идентичны), мы можем “уравновесить” эффекты искажения.
Техническое обсуждение того, как разработать эти фильтры, доступно на странице 347 книги Вейвлеты и Наборы фильтров Странгом и Нгуеном. Минимум - и фильтры разложения высокой передачи (L и H), вместе с их связанными фильтрами реконструкции (L' и H'), формирует систему того, что называется квадратурными фильтрами зеркала:
Мы видели, что возможно восстановить наш исходный сигнал от коэффициентов приближений и деталей.
Также возможно восстановить приближения и сами детали от их векторов коэффициентов. Как пример, давайте рассмотрим, как мы восстановили бы приближение первого уровня A1 от вектора коэффициентов cA1.
Мы передаем вектор коэффициентов cA1 посредством того же процесса, мы раньше восстанавливали исходный сигнал. Однако вместо того, чтобы комбинировать его с уровнем одна деталь cD1, мы питаемся в векторе нулей вместо содействующего вектора детали:
Процесс приводит к восстановленному приближению
A1, который имеет ту же длину как исходный S сигнала и который является действительным приближением его.
Точно так же мы можем восстановить деталь первого уровня D1, с помощью аналогичного процесса:
Восстановленные детали и приближения являются истинными составляющими исходного сигнала. На самом деле мы находим, когда мы комбинируем их это
A 1 + D 1 = S.
Обратите внимание на то, что векторы коэффициентов cA1 и cD1 — потому что они были произведены путем субдискретизации и являются только половиной длины исходного сигнала — не могут непосредственно быть объединены, чтобы воспроизвести сигнал. Необходимо восстановить приближения и детали прежде, чем объединить их.
Расширяя этот метод к компонентам многоуровневого анализа, мы находим, что подобные отношения содержат для всех восстановленных составляющих сигнала. Таким образом, существует несколько способов повторно собрать исходный сигнал:
В разделе Reconstruction Filters мы говорили о важности выбора правильных фильтров. На самом деле выбор фильтров не только определяет, возможна ли совершенная реконструкция, это также определяет форму вейвлета, который мы используем, чтобы выполнить анализ.
Чтобы создать вейвлет некоторой практической утилиты, вы редко запускаете путем рисования формы волны. Вместо этого обычно имеет больше смысла разрабатывать соответствующие квадратурные фильтры зеркала, и затем использовать их, чтобы создать форму волны. Давайте смотреть, как это сделано путем фокусировки на примере.
Рассмотрите фильтр реконструкции низкой передачи (L') для вейвлета db2.
Коэффициенты фильтра могут быть получены из функции dbaux. Путем инвертирования порядка масштабирующегося вектора фильтра и умножения каждого ровного элемента (индексирующий от 1) (-1), вы получаете фильтр высоких частот.
Неоднократно повышающая дискретизация два и свертка к выводу с масштабирующимся фильтром производят экстремальный вейвлет фазы Добечиса.
L = dbaux(2); H = wrev(L).*[1 -1 1 -1]; HU = dyadup(H,0); HU = conv(HU,L); plot(HU); title('1st Iteration'); H1 = conv(dyadup(HU,0),L); H2 = conv(dyadup(H1,0),L); H3 = conv(dyadup(H2,0),L); H4 = conv(dyadup(H3,0),L); figure; for k =1:4 subplot(2,2,k); eval(['plot(H' num2str(k) ')']); axis tight; end
Кривая начинает прогрессивно больше походить на вейвлет db2. Это означает, что форма вейвлета определяется полностью коэффициентами фильтров реконструкции.
Это отношение имеет глубокие последствия. Это означает, что вы не можете выбрать только форму, вызовите его вейвлет и выполните анализ. По крайней мере, вы не можете выбрать произвольную форму волны вейвлета, если вы хотите смочь восстановить исходный сигнал точно. Вы вынуждены выбрать форму, определенную квадратурными фильтрами разложения зеркала.
Мы видели взаимосвязь вейвлетов и квадратурных фильтров зеркала. Функция вейвлета ψ определяется фильтром высоких частот, который также производит детали разложения вейвлета.
Существует дополнительная функция, сопоставленная с некоторыми, но не всеми, вейвлетами. Это - так называемая функция масштабирования, ϕ. Масштабирующаяся функция очень похожа на функцию вейвлета. Это определяется квадратурными фильтрами зеркала низкой передачи, и таким образом сопоставлено с приближениями разложения вейвлета.
Таким же образом это, которое итеративно повышающая дискретизация и свертка к фильтру высоких частот производят форму, аппроксимирующую функцию вейвлета, итеративно сверхдискретизировав и применяя операцию свертки к фильтру нижних частот, производит форму, аппроксимирующую масштабирующуюся функцию.
