`laplacian`

Лапласиан

Блокноты MuPAD® будут демонтированы в будущем релизе. Используйте live скрипты MATLAB® вместо этого.

Live скрипты MATLAB поддерживают большую часть функциональности MuPAD, хотя существуют некоторые различия. Для получения дополнительной информации смотрите, Преобразуют Notebook MuPAD в Live скрипты MATLAB.

Синтаксис

laplacian(f, [x₁, x₂, …])
laplacian(f, [x₁, x₂, …], ogCoord, <c>)

Описание

_{laplacian(f, [ x1, x2, ...])} вычисляет Лапласиан, т.е. div (grad (f)), функционального f = f (x ₁, x ₂, …) в Декартовых координатах x ₁, x ₂, ….

Таблица linalg::ogCoordTab обеспечивает некоторые предопределенные 3D преобразования прямоугольной координаты. В настоящее время его записями является Cartesian, Cylindrical, Spherical, Spherical[LeftHanded], EllipticCylindrical, ParabolicCylindrical, RotationParabolic, и Torus. Смотрите linalg::ogCoordTab для деталей. Например, команда

laplacian(f(r, Theta, phi), [r, Theta, phi], Spherical)

производит Лапласиан f в сферических координатах r, θ, ϕ, заданный преобразованием

Произвольные ортогональные системы u = (u ₁, …, u _n) (в любой размерности n) могут использоваться путем передачи соответствующих “масштабных коэффициентов” в качестве третьего аргумента к laplacian. Они определяются следующим образом. Позвольте быть Декартовыми координатами, позволить быть orthognal преобразованием (т.е. векторы являются ортогональными). Евклидовы длины векторов задают “шкалы”. Список s = [s ₁, …, s _n] может быть передан в качестве третьего аргумента laplacian. Например, обычные двумерные полярные координаты x = r cos (ϕ), y = r sin (ϕ) приводят к масштабным коэффициентам

Таким образом, laplacian(f(r, phi), [r, phi], [1, r]) производит Лапласиан f (r, ϕ) в полярных координатах r и ϕ.

Примеры

Пример 1

Вычислите Лапласиан в Декартовых координатах:

laplacian(f(x[1], x[2]), [x[1], x[2]])

laplacian(x^2*y + c*exp(y) + u*v^2, [x, y, u, v])

Пример 2

Вычислите Лапласиан в цилиндрических координатах (r, ϕ, z) данный

expand(laplacian(f(r, phi, z), [r, phi, z], Cylindrical))

laplacian(r*cos(phi)*z^3, [r, phi, z], Cylindrical)

Передача имени Cylindrical из ортогональной системы, предопределенной в linalg::ogCoordTab самый простой способ использовать цилиндрические координаты. В качестве альтернативы можно передать соответствующие 'масштабные коэффициенты' явным образом. Они хранятся в linalg::ogCoordTab и может быть назван следующим образом:

linalg::ogCoordTab[Cylindrical, Scales](r, phi, z)

laplacian(r*cos(phi)*z^3, [r, phi, z], %)

Пример 3

Рассмотрите координаты Торуса (r, θ, ϕ) введенный

Здесь, c является вещественной константой и 0 ≤ r <c, 0 ≤ θ ≤ 2 π, 0 ≤ ϕ ≤ 2 π принят. “Масштабные коэффициенты” хранятся в linalg::ogCoordTab:

linalg::ogCoordTab[Torus, Scales](r, thet, phi, c)

Лапласиан функционального f (r, ϕ, z) = r в этих координатах:

laplacian(r, [r, thet, phi], %)

Пример 4

Можно ввести новые ортогональные системы. Например, рассмотрите ортогональные “координаты с 6 сферами” (u, v, w) введенный

Это преобразование не хранится в linalg::ogCoordTab, следовательно соответствующие “масштабные коэффициенты” метрики должны быть вычислены сначала:

С этими “шкалами” Лапласиан может быть вычислен через laplacian:

s := 1/(u^2 + v^2 + w^2):
factor(laplacian(f(u, v, w), [u, v, w], [s, s, s]))

Поскольку Лапласиан является расхождением градиента, можно вычислить его следующим образом, также:

divergence(gradient(f(u, v, w), [u, v, w], [s, s, s]),
                   [u, v, w], [s, s, s])

expand(% - %2)

delete s:

Параметры

`f`	Арифметическое выражение в переменных `_x1_x2` и т.д.
`_{x1, x2, …}`	идентификаторы или индексированные идентификаторы
`ogCoord`	Имя 3D системы прямоугольной координаты предопределено в таблице `linalg::ogCoordTab`, или список алгебраических выражений, представляющих масштабные коэффициенты системы прямоугольной координаты.
`c`	Параметр систем координат EllipticCylindrical и Торус, соответственно: арифметическое выражение. Значением по умолчанию является `c` = 1.