Симуляция Монте-Карло коррелированого актива возвращается
RetSeries = portsim(ExpReturn,ExpCovariance,NumObs)NASSETS активы по NUMOBS последовательные интервалы наблюдения. Возвраты актива симулированы как пропорциональный шаг постоянного дрейфа, постоянных стохастических процессов энергозависимости, таким образом, аппроксимировав геометрическое броуновское движение непрерывного времени.
RetSeries = portsim(___,RetIntervals,NumSim,Method)
Этот пример показывает различие между Exact и Expected методы симуляции.
Рассмотрите портфель пяти активов со следующими ожидаемыми доходами, стандартными отклонениями, и корреляционная матрица на основе ежедневного актива возвращается (где ExpReturn и Sigmas разделены на 100, чтобы преобразовать проценты в возвраты).
ExpReturn = [0.0246 0.0189 0.0273 0.0141 0.0311]/100;
Sigmas = [0.9509 1.4259 1.5227 1.1062 1.0877]/100;
Correlations = [1.0000 0.4403 0.4735 0.4334 0.6855
0.4403 1.0000 0.7597 0.7809 0.4343
0.4735 0.7597 1.0000 0.6978 0.4926
0.4334 0.7809 0.6978 1.0000 0.4289
0.6855 0.4343 0.4926 0.4289 1.0000];Преобразуйте корреляции и стандартные отклонения к ковариационной матрице.
ExpCovariance = corr2cov(Sigmas, Correlations)
ExpCovariance = 5×5
10-3 ×
0.0904 0.0597 0.0686 0.0456 0.0709
0.0597 0.2033 0.1649 0.1232 0.0674
0.0686 0.1649 0.2319 0.1175 0.0816
0.0456 0.1232 0.1175 0.1224 0.0516
0.0709 0.0674 0.0816 0.0516 0.1183
Примите, что существует 252 торговых дня в календарный год и симулируют два демонстрационных пути (реализация) ежедневной газеты, возвращает более чем период 2D года. Начиная с ExpReturn и ExpCovariance ежедневно выражаются, установите RetIntervals = 1.
StartPrice = 100; NumObs = 504; % two calendar years of daily returns NumSim = 2; RetIntervals = 1; % one trading day NumAssets = 5;
Чтобы проиллюстрировать различие между методами, симулируйте два пути каждым методом, начиная с того же состояния случайных чисел.
rng('default'); RetExact = portsim(ExpReturn, ExpCovariance, NumObs, ... RetIntervals, NumSim, 'Exact'); rng(0); RetExpected = portsim(ExpReturn, ExpCovariance, NumObs, ... RetIntervals, NumSim, 'Expected');
Сравните среднее значение и ковариацию RetExact с входными параметрами (ExpReturn и ExpCovariance), вы заметите, что они почти идентичны.
На данном этапе RetExact и RetExpected оба 504 5 2 массивами. Теперь примите одинаково взвешенный портфель, сформированный из этих пяти активов, и создайте массивы портфеля, возвращается, в котором каждый столбец представляет портфель, возвращаются из соответствующего демонстрационного пути симулированных возвратов этих пяти активов. Массивы портфеля PortRetExact и PortRetExpected 504 2 матрицы.
Weights = ones(NumAssets, 1)/NumAssets; PortRetExact = zeros(NumObs, NumSim); PortRetExpected = zeros(NumObs, NumSim); for i = 1:NumSim PortRetExact(:,i) = RetExact(:,:,i) * Weights; PortRetExpected(:,i) = RetExpected(:,:,i) * Weights; end
Наконец, преобразуйте симулированный портфель, возвращается к ценам, и отобразите данные на графике. В частности, обратите внимание что начиная с Exact ожидаемый доход соответствий метода и ковариация, терминальные цены портфеля фактически идентичны для каждого демонстрационного пути. Это не верно для Expected метод симуляции. Несмотря на то, что этот пример исследует портфели, те же методы применяются к отдельным активам также. Таким образом, Exact симуляция является самой соответствующей, когда уникальные пути обязаны достигать тех же терминальных цен.
PortExact = ret2tick(PortRetExact, ... repmat(StartPrice,1,NumSim)); PortExpected = ret2tick(PortRetExpected, ... repmat(StartPrice,1,NumSim)); subplot(2,1,1), plot(PortExact, '-r') ylabel('Portfolio Prices') title('Exact Method') subplot(2,1,2), plot(PortExpected, '-b') ylabel('Portfolio Prices') title('Expected Method')
ExpReturn, ExpCovariance, и RetIntervalsЭтот пример показывает взаимодействие среди ExpReturn, ExpCovariance, и RetIntervals. Вспомните тот portsim симулирует коррелируемый актив, возвращает на интервале длины dt, данный уравнением
где S является ценой активов, μ является ожидаемой нормой прибыли, σ является энергозависимостью цены активов, и ε представляет случайный рисунок от стандартизированного нормального распределения.
Шаг времени dt определяется дополнительным входом RetIntervals, или как явный входной параметр или как единица времени постепенно увеличиваются по умолчанию. Независимо, периодичность ExpReturn, ExpCovariance, и RetIntervals должно быть сопоставимым. Например, если ExpReturn и ExpCovariance пересчитаны на год, затем RetIntervals должен быть в годах. Эта точка часто неправильно понимается.
Проиллюстрировать взаимодействие среди ExpReturn, ExpCovariance, и RetIntervals, рассмотрите портфель пяти активов со следующими ожидаемыми доходами, стандартными отклонениями, и корреляционная матрица на основе ежедневного актива возвращается.
ExpReturn = [0.0246 0.0189 0.0273 0.0141 0.0311]/100;
Sigmas = [0.9509 1.4259 1.5227 1.1062 1.0877]/100;
Correlations = [1.0000 0.4403 0.4735 0.4334 0.6855
0.4403 1.0000 0.7597 0.7809 0.4343
0.4735 0.7597 1.0000 0.6978 0.4926
0.4334 0.7809 0.6978 1.0000 0.4289
0.6855 0.4343 0.4926 0.4289 1.0000];
Преобразуйте корреляции, и стандартные отклонения к ковариационной матрице ежедневной газеты возвращается.
ExpCovariance = corr2cov(Sigmas, Correlations);
Примите 252 торговых дня в календарный год и симулируйте один демонстрационный путь ежедневной газеты, возвращается за четырехлетний период. Начиная с ExpReturn и ExpCovariance входные параметры ежедневно выражаются, установите RetIntervals = 1.
StartPrice = 100; NumObs = 1008; % four calendar years of daily returns RetIntervals = 1; % one trading day NumAssets = length(ExpReturn); randn('state',0); RetSeries1 = portsim(ExpReturn, ExpCovariance, NumObs, ... RetIntervals, 1, 'Expected');
Теперь пересчитайте на год ежедневные данные, таким образом, изменив периодичность данных, путем умножения ExpReturn и ExpCovariance 252 и делящийся RetIntervals 252 (RetIntervals = 1/252 года). Сбрасывая генератор случайных чисел к его начальному состоянию, можно воспроизвести результаты.
rng('default'); RetSeries2 = portsim(ExpReturn*252, ExpCovariance*252, ... NumObs, RetIntervals/252, 1, 'Expected');
Примите одинаково взвешенный портфель и вычислите портфель, возвращается сопоставленный с каждым симулированным, возвращают ряд.
Weights = ones(NumAssets, 1)/NumAssets; PortRet1 = RetSeries2 * Weights; PortRet2 = RetSeries2 * Weights;
Сравнение данных показывает тот PortRet1 и PortRet2 идентичны.
В этом примере показано, как симулировать одномерный процесс геометрического броуновского движения. Это основано на примере, найденном в Оболочке, Опциях, фьючерсах и Других Производных, 5-й Выпуск (см. пример 12.2 на странице 236). В дополнение к проверке примера Оболочки это также графически иллюстрирует логарифмически нормальное свойство терминальных курсов акций довольно большой симуляцией Монте-Карло.
Примите, что вы владеете запасом с начальной ценой 20$, пересчитанным на год ожидаемым доходом 20% и энергозависимостью 40%. Симулируйте ежедневный ценовой процесс для этого запаса в течение одного целого календарного года (252 торговых дня).
StartPrice = 20; ExpReturn = 0.2; ExpCovariance = 0.4^2; NumObs = 252; NumSim = 10000; RetIntervals = 1/252;
RetIntervals выражается в годах, сопоставимых с фактом что ExpReturn и ExpCovariance пересчитаны на год. Кроме того, ExpCovariance вводится как отклонение, а не более знакомое стандартное отклонение (энергозависимость).
Установите состояние генератора случайных чисел и симулируйте 10 000 испытаний (реализация) запаса, возвращается за целый календарный год 252 торговых дней.
rng('default'); RetSeries = squeeze(portsim(ExpReturn, ExpCovariance, NumObs, ... RetIntervals, NumSim, 'Expected'));
squeeze функция переформатировала выходной массив симулированных возвратов из 252- 1- 10000 массив к более удобному 252- 10000 массив. (Вспомните тот portsim существенно многомерный механизм симуляции).
В соответствии с уравнениями Оболочки 12.4 и 12.5 на странице 236
преобразуйте симулированный ряд возврата в ценовой ряд и вычислите демонстрационное среднее значение и отклонение терминальных курсов акций.
StockPrices = ret2tick(RetSeries, repmat(StartPrice, 1, NumSim)); SampMean = mean(StockPrices(end,:)) SampVar = var(StockPrices(end,:))
SampMean = 24.4489 SampVar = 101.4243
Сравните эти значения со значениями, которые вы получаете при помощи уравнений Оболочки.
ExpValue = StartPrice*exp(ExpReturn) ExpVar = ... StartPrice*StartPrice*exp(2*ExpReturn)*(exp((ExpCovariance)) - 1)
ExpValue = 24.4281 ExpVar = 103.5391
Эти результаты очень близко к результатам, показанным в примере Оболочки 12.2.
Отобразите демонстрационную функцию плотности терминального курса акций после одного календарного года. От демонстрационной функции плотности логарифмически нормальное распределение терминальных курсов акций очевидно.
[count, BinCenter] = hist(StockPrices(end,:), 30); figure bar(BinCenter, count/sum(count), 1, 'r') xlabel('Terminal Stock Price') ylabel('Probability') title('Lognormal Terminal Stock Prices')
[1] Оболочка, J. C. Опции, фьючерсы и другие производные. Prentice Hall, 2003.