Этот пример показывает различие между Exact и Expected методы симуляции.

Рассмотрите портфель пяти активов со следующими ожидаемыми доходами, стандартными отклонениями, и корреляционная матрица на основе ежедневного актива возвращается (где ExpReturn и Sigmas разделены на 100, чтобы преобразовать проценты в возвраты).

ExpReturn     = [0.0246  0.0189  0.0273  0.0141  0.0311]/100;
Sigmas        = [0.9509  1.4259  1.5227  1.1062  1.0877]/100;
Correlations  = [1.0000  0.4403  0.4735  0.4334  0.6855
                 0.4403  1.0000  0.7597  0.7809  0.4343
                 0.4735  0.7597  1.0000  0.6978  0.4926
                 0.4334  0.7809  0.6978  1.0000  0.4289
                 0.6855  0.4343  0.4926  0.4289  1.0000];

Преобразуйте корреляции и стандартные отклонения к ковариационной матрице.

ExpCovariance = corr2cov(Sigmas, Correlations)

ExpCovariance = 5×5
10-3 ×

    0.0904    0.0597    0.0686    0.0456    0.0709
    0.0597    0.2033    0.1649    0.1232    0.0674
    0.0686    0.1649    0.2319    0.1175    0.0816
    0.0456    0.1232    0.1175    0.1224    0.0516
    0.0709    0.0674    0.0816    0.0516    0.1183

Примите, что существует 252 торговых дня в календарный год и симулируют два демонстрационных пути (реализация) ежедневной газеты, возвращает более чем период 2D года. Начиная с ExpReturn и ExpCovariance ежедневно выражаются, установите RetIntervals = 1.

StartPrice    = 100;
NumObs        = 504;  % two calendar years of daily returns
NumSim        = 2;
RetIntervals  = 1;    % one trading day
NumAssets     = 5;

Чтобы проиллюстрировать различие между методами, симулируйте два пути каждым методом, начиная с того же состояния случайных чисел.

rng('default'); 
RetExact = portsim(ExpReturn, ExpCovariance, NumObs, ... 
RetIntervals, NumSim, 'Exact');
rng(0); 
RetExpected = portsim(ExpReturn, ExpCovariance, NumObs, ... 
RetIntervals, NumSim, 'Expected');

Сравните среднее значение и ковариацию RetExact с входными параметрами (ExpReturn и ExpCovariance), вы заметите, что они почти идентичны.

На данном этапе RetExact и RetExpected оба 504 5 2 массивами. Теперь примите одинаково взвешенный портфель, сформированный из этих пяти активов, и создайте массивы портфеля, возвращается, в котором каждый столбец представляет портфель, возвращаются из соответствующего демонстрационного пути симулированных возвратов этих пяти активов. Массивы портфеля PortRetExact и PortRetExpected 504 2 матрицы.

Weights         = ones(NumAssets, 1)/NumAssets;
PortRetExact    = zeros(NumObs, NumSim);
PortRetExpected = zeros(NumObs, NumSim);

for i = 1:NumSim
    PortRetExact(:,i)    = RetExact(:,:,i) * Weights;
    PortRetExpected(:,i) = RetExpected(:,:,i) * Weights; 
end

Наконец, преобразуйте симулированный портфель, возвращается к ценам, и отобразите данные на графике. В частности, обратите внимание что начиная с Exact ожидаемый доход соответствий метода и ковариация, терминальные цены портфеля фактически идентичны для каждого демонстрационного пути. Это не верно для Expected метод симуляции. Несмотря на то, что этот пример исследует портфели, те же методы применяются к отдельным активам также. Таким образом, Exact симуляция является самой соответствующей, когда уникальные пути обязаны достигать тех же терминальных цен.

PortExact   = ret2tick(PortRetExact, ... 
repmat(StartPrice,1,NumSim)); 
PortExpected = ret2tick(PortRetExpected, ... 
repmat(StartPrice,1,NumSim)); 
subplot(2,1,1), plot(PortExact, '-r')
ylabel('Portfolio Prices')
title('Exact Method')
subplot(2,1,2), plot(PortExpected, '-b')
ylabel('Portfolio Prices')
title('Expected Method')

Этот пример показывает взаимодействие среди ExpReturn, ExpCovariance, и RetIntervals. Вспомните тот portsim симулирует коррелируемый актив, возвращает на интервале длины dt, данный уравнением

где S является ценой активов, μ является ожидаемой нормой прибыли, σ является энергозависимостью цены активов, и ε представляет случайный рисунок от стандартизированного нормального распределения.

Шаг времени dt определяется дополнительным входом RetIntervals, или как явный входной параметр или как единица времени постепенно увеличиваются по умолчанию. Независимо, периодичность ExpReturn, ExpCovariance, и RetIntervals должно быть сопоставимым. Например, если ExpReturn и ExpCovariance пересчитаны на год, затем RetIntervals должен быть в годах. Эта точка часто неправильно понимается.

ExpReturn     = [0.0246  0.0189  0.0273  0.0141  0.0311]/100;

Sigmas        = [0.9509  1.4259  1.5227  1.1062  1.0877]/100;

Correlations  = [1.0000  0.4403  0.4735  0.4334  0.6855
                 0.4403  1.0000  0.7597  0.7809  0.4343
                 0.4735  0.7597  1.0000  0.6978  0.4926
                 0.4334  0.7809  0.6978  1.0000  0.4289
                 0.6855  0.4343  0.4926  0.4289  1.0000];

 ExpCovariance = corr2cov(Sigmas, Correlations);

StartPrice    = 100;
NumObs        = 1008;   % four calendar years of daily returns
RetIntervals  = 1;      % one trading day
NumAssets     = length(ExpReturn);
randn('state',0);
RetSeries1 = portsim(ExpReturn, ExpCovariance, NumObs, ... 
RetIntervals, 1, 'Expected');

rng('default'); 
RetSeries2 = portsim(ExpReturn*252, ExpCovariance*252, ... 
NumObs, RetIntervals/252, 1, 'Expected');

Weights  = ones(NumAssets, 1)/NumAssets;

PortRet1 = RetSeries2 * Weights;
PortRet2 = RetSeries2 * Weights;

В этом примере показано, как симулировать одномерный процесс геометрического броуновского движения. Это основано на примере, найденном в Оболочке, Опциях, фьючерсах и Других Производных, 5-й Выпуск (см. пример 12.2 на странице 236). В дополнение к проверке примера Оболочки это также графически иллюстрирует логарифмически нормальное свойство терминальных курсов акций довольно большой симуляцией Монте-Карло.

StartPrice    = 20;
ExpReturn     = 0.2; 
ExpCovariance = 0.4^2;
NumObs        = 252;
NumSim        = 10000;
RetIntervals  = 1/252;

rng('default');
RetSeries = squeeze(portsim(ExpReturn, ExpCovariance, NumObs, ... 
RetIntervals, NumSim, 'Expected'));

StockPrices = ret2tick(RetSeries, repmat(StartPrice, 1, NumSim));

SampMean = mean(StockPrices(end,:))
SampVar = var(StockPrices(end,:))

SampMean =

   24.4489


SampVar =

  101.4243

ExpValue = StartPrice*exp(ExpReturn)
ExpVar = ... 
StartPrice*StartPrice*exp(2*ExpReturn)*(exp((ExpCovariance)) - 1)

ExpValue =

   24.4281


ExpVar =

  103.5391

[count, BinCenter] = hist(StockPrices(end,:), 30);
figure
bar(BinCenter, count/sum(count), 1, 'r')
xlabel('Terminal Stock Price')
ylabel('Probability')
title('Lognormal Terminal Stock Prices')