Решите систему нелинейных уравнений
Нелинейный системный решатель
Решает задачу, заданную
F (x) = 0
для x, где F (x) является функцией, которая возвращает векторное значение.
x является вектором или матрицей; смотрите Матричные аргументы.
x = fsolve(fun,x0,options)options. Используйте optimoptions установить эти опции.
x = fsolve(problem)problem, где problem структура, описанная во Входных параметрах. Создайте problem структура путем экспорта проблемы из приложения Оптимизации, как описано в Экспорте работы.
В этом примере показано, как решить два нелинейных уравнения в двух переменных. Уравнения
Преобразуйте уравнения в форму
.
Запишите функцию, которая вычисляет левую сторону этих двух уравнений.
function F = root2d(x)
F(1) = exp(-exp(-(x(1)+x(2)))) - x(2)*(1+x(1)^2);
F(2) = x(1)*cos(x(2)) + x(2)*sin(x(1)) - 0.5;
Сохраните этот код как файл с именем root2d.m на вашем пути MATLAB®.
Решите систему уравнений, запускающуюся в точке [0,0].
fun = @root2d; x0 = [0,0]; x = fsolve(fun,x0)
Equation solved.
fsolve completed because the vector of function values is near zero
as measured by the value of the function tolerance, and
the problem appears regular as measured by the gradient.
x =
0.3532 0.6061
Исследуйте процесс решения на нелинейную систему.
Установите опции не иметь никакого отображения и функции построения графика, которая отображает оптимальность первого порядка, которая должна сходиться к 0, когда алгоритм выполняет итерации.
options = optimoptions('fsolve','Display','none','PlotFcn',@optimplotfirstorderopt);
Уравнения в нелинейной системе
Преобразуйте уравнения в форму
.
Запишите функцию, которая вычисляет левую сторону этих двух уравнений.
function F = root2d(x)
F(1) = exp(-exp(-(x(1)+x(2)))) - x(2)*(1+x(1)^2);
F(2) = x(1)*cos(x(2)) + x(2)*sin(x(1)) - 0.5;
Сохраните этот код как файл с именем root2d.m на вашем пути MATLAB®.
Решите нелинейную систему, начинающую с точки [0,0] и наблюдайте процесс решения.
fun = @root2d; x0 = [0,0]; x = fsolve(fun,x0,options)
x =
0.3532 0.6061
Создайте структуру задачи для fsolve и решите задачу.
Решите ту же задачу как в Решении с Опциями Не по умолчанию, но сформулируйте проблему с помощью структуры задачи.
Установите опции для проблемы не иметь никакого отображения и функции построения графика, которая отображает оптимальность первого порядка, которая должна сходиться к 0, когда алгоритм выполняет итерации.
problem.options = optimoptions('fsolve','Display','none','PlotFcn',@optimplotfirstorderopt);
Уравнения в нелинейной системе
Преобразуйте уравнения в форму
.
Запишите функцию, которая вычисляет левую сторону этих двух уравнений.
function F = root2d(x)
F(1) = exp(-exp(-(x(1)+x(2)))) - x(2)*(1+x(1)^2);
F(2) = x(1)*cos(x(2)) + x(2)*sin(x(1)) - 0.5;
Сохраните этот код как файл с именем root2d.m на вашем пути MATLAB®.
Создайте остающиеся поля в структуре задачи.
problem.objective = @root2d;
problem.x0 = [0,0];
problem.solver = 'fsolve';
Решите задачу.
x = fsolve(problem)
x =
0.3532 0.6061
Этот пример возвращает итеративное отображение, показывающее процесс решения для системы двух уравнений и двух неизвестных
Перепишите уравнения в форме :
Запустите свой поиск решения в x0 = [-5 -5].
Во-первых, запишите функцию, которая вычисляет F, значения уравнений в x.
F = @(x) [2*x(1) - x(2) - exp(-x(1));
-x(1) + 2*x(2) - exp(-x(2))];Создайте начальную точку x0.
x0 = [-5;-5];
Установите опции возвращать итеративное отображение.
options = optimoptions('fsolve','Display','iter');
Решите уравнения.
[x,fval] = fsolve(F,x0,options)
Norm of First-order Trust-region
Iteration Func-count f(x) step optimality radius
0 3 47071.2 2.29e+04 1
1 6 12003.4 1 5.75e+03 1
2 9 3147.02 1 1.47e+03 1
3 12 854.452 1 388 1
4 15 239.527 1 107 1
5 18 67.0412 1 30.8 1
6 21 16.7042 1 9.05 1
7 24 2.42788 1 2.26 1
8 27 0.032658 0.759511 0.206 2.5
9 30 7.03149e-06 0.111927 0.00294 2.5
10 33 3.29525e-13 0.00169132 6.36e-07 2.5
Equation solved.
fsolve completed because the vector of function values is near zero
as measured by the value of the function tolerance, and
the problem appears regular as measured by the gradient.
x = 2×1
0.5671
0.5671
fval = 2×1
10-6 ×
-0.4059
-0.4059
Итеративное отображение показывает f(x), который является квадратом нормы функционального F(x). Это значение уменьшается к почти нулю, в то время как итерации продолжают. Мера оптимальности первого порядка аналогично уменьшается к почти нулю, в то время как итерации продолжают. Эти записи показывают сходимость итераций к решению. Для значений других записей смотрите Итеративное Отображение.
fval выведите дает значению функции F(x), который должен быть нулем в решении (к в FunctionTolerance допуск.
Найдите матрицу это удовлетворяет
,
запуск в точке x0 = [1,1;1,1]. Создайте анонимную функцию, которая вычисляет матричное уравнение, и создайте точку x0.
fun = @(x)x*x*x - [1,2;3,4]; x0 = ones(2);
Установите опции не иметь никакого отображения.
options = optimoptions('fsolve','Display','off');
Исследуйте fsolve выходные параметры, чтобы видеть качество решения и процесс.
[x,fval,exitflag,output] = fsolve(fun,x0,options)
x = 2×2
-0.1291 0.8602
1.2903 1.1612
fval = 2×2
10-9 ×
-0.1621 0.0780
0.1160 -0.0474
exitflag = 1
output = struct with fields:
iterations: 6
funcCount: 35
algorithm: 'trust-region-dogleg'
firstorderopt: 2.4093e-10
message: '...'
Выходное флаговое значение 1 указывает, что решение надежно. Чтобы проверить это вручную, вычислите невязку (сумма квадратов fval), чтобы видеть, как близко это должно обнулить.
sum(sum(fval.*fval))
ans = 4.8062e-20
Эта маленькая невязка подтверждает тот x решение.
Вы видите в output структура, сколько итераций и вычислений функции fsolve выполняемый, чтобы найти решение.
Функция, которая будет решена, должна быть непрерывной.
Когда успешный, fsolve только дает один корень.
Метод резкого искривления доверительной области по умолчанию может только использоваться, когда система уравнений квадратная, т.е. количество уравнений равняется количеству неизвестных. Для метода Levenberg-Marquardt система уравнений не должна быть квадратной.
Для больших проблем, означая тех с тысячами переменных или больше, сохраняют память (и возможно сэкономьте время) путем установки Algorithm опция к 'trust-region' и SubproblemAlgorithm опция к 'cg'.
Levenberg-Marquardt и методы доверительной области основаны на алгоритмах нелинейного метода наименьших квадратов, также используемых в lsqnonlin. Используйте один из этих методов, если система не может иметь нуля. Алгоритм все еще возвращает точку, где невязка мала. Однако, если якобиан системы сингулярен, алгоритм может сходиться к точке, которая не является решением системы уравнений (см. Ограничения).
fsolve по умолчанию выбирает алгоритм резкого искривления доверительной области. Алгоритм является вариантом метода резкого искривления Пауэлла, описанного в [8]. Это похоже по своей природе на алгоритм, реализованный в [7]. См. Алгоритм Доверительного Резкого искривления Области.
Алгоритм доверительной области является методом доверительной области подпространства и основан на внутреннем отражающем методе Ньютона, описанном в [1] и [2]. Каждая итерация включает приближенное решение большой линейной системы с помощью метода предобусловленных методов сопряженных градиентов (PCG). См. Алгоритм Доверительной области.
Метод Levenberg-Marquardt описан в ссылках [4], [5], и [6]. См. Метод Levenberg-Marquardt.
[1] Коулман, Т.Ф. и И. Ли, “Внутренний, Доверительный Подход области для Нелинейной Минимизации Согласно Границам”, SIAM Journal на Оптимизации, Издании 6, стр 418-445, 1996.
[2] Коулман, Т.Ф. и И. Ли, “На Сходимости Отражающих Методов Ньютона для Крупномасштабной Нелинейной Минимизации Согласно Границам”, Математическое программирование, Издание 67, Номер 2, стр 189-224, 1994.
[3] Деннис, J. E. Младший, “Нелинейный метод наименьших квадратов”, Состояние в Числовом Анализе, редакторе Д. Джейкобсе, Academic Press, стр 269-312.
[4] Levenberg, K., “Метод для Решения Определенных проблем в Наименьших квадратах”, Ежеквартальная Прикладная математика 2, стр 164-168, 1944.
[5] Marquardt, D., “Алгоритм для Оценки Наименьших квадратов Нелинейных Параметров”, Прикладная математика SIAM Journal, Издание 11, стр 431-441, 1963.
[6] Moré, J. J. “Алгоритм Levenberg-Marquardt: Реализация и Теория”, Числовой Анализ, редактор Г. А. Уотсон, Примечания Лекции в Математике 630, Springer Verlag, стр 105-116, 1977.
[7] Moré, J. J. бакалавр наук Гарбоу, и К. Э. Хиллстром, руководство пользователя для MINPACK 1, национальной лаборатории Аргонна, Rept. ANL-80-74, 1980.
[8] Пауэлл, M. J. D. “Стандартная подпрограмма Фортрана для Решения Систем Нелинейных Алгебраических уравнений”, Численные методы для Нелинейных Алгебраических уравнений, П. Рабиновица, редактора, Ch.7, 1970.