Ищите разъединенные блоки в системах уравнений
[
идентифицирует подмножества (блоки) уравнений, которые могут использоваться, чтобы задать подмножества переменных. Количество переменных eqsBlocks
,varsBlocks
]
= findDecoupledBlocks(eqs
,vars
)vars
должен совпасть с количеством уравнений eqs
.
i th блок является системой уравнений, определяющей переменные в vars(varsBlocks{i})
. Переменные в vars([varsBlocks{1},…,varsBlocks{i-1}])
определяются рекурсивно предыдущими блоками уравнений. После того, как вы решаете первый блок уравнений для первого блока переменных, второго блока уравнений, данных eqs(eqsBlocks{2})
, задает разъединенное подмножество уравнений, содержащих только подмножество переменных, данных вторым блоком переменных, vars(varsBlock{2})
, плюс переменные из первого блока (эти переменные известны в это время). Таким образом, если нетривиальная блочная декомпозиция возможна, можно разделить процесс решения для большой системы уравнений, включающей много переменных в несколько шагов, где каждый шаг включает меньшую подсистему.
Количество блоков length(eqsBlocks)
совпадает с length(varsBlocks)
. Если length(eqsBlocks) = length(varsBlocks) = 1
, затем нетривиальная блочная декомпозиция уравнений не возможна.
Вычислите блок нижнее треугольное разложение (разложение BLT) символьной системы дифференциальных алгебраических уравнений (ДАУ).
Создайте следующую систему четырех дифференциальных алгебраических уравнений. Здесь, символьные вызовы функции x1(t)
, x2(t)
, x3(t)
, и x4(t)
представляйте переменные состояния системы. Система также содержит символьные параметры c1
C2
, c3
, c4
, и функции f(t,x,y)
и g(t,x,y)
.
syms x1(t) x2(t) x3(t) x4(t) syms c1 c2 c3 c4 syms f(t,x,y) g(t,x,y) eqs = [c1*diff(x1(t),t)+c2*diff(x3(t),t)==c3*f(t,x1(t),x3(t));... c2*diff(x1(t),t)+c1*diff(x3(t),t)==c4*g(t,x3(t),x4(t));... x1(t)==g(t,x1(t),x3(t));... x2(t)==f(t,x3(t),x4(t))]; vars = [x1(t), x2(t), x3(t), x4(t)];
Используйте findDecoupledBlocks
найти блочную структуру системы.
[eqsBlocks, varsBlocks] = findDecoupledBlocks(eqs, vars)
eqsBlocks = 1×3 cell array {1×2 double} {[2]} {[4]} varsBlocks = 1×3 cell array {1×2 double} {[4]} {[2]}
Первый блок содержит два уравнения в двух переменных.
eqs(eqsBlocks{1})
ans = c1*diff(x1(t), t) + c2*diff(x3(t), t) == c3*f(t, x1(t), x3(t)) x1(t) == g(t, x1(t), x3(t))
vars(varsBlocks{1})
ans = [ x1(t), x3(t)]
После того, как вы решаете этот блок для переменных x1(t)
, x3(t)
, можно решить следующий блок уравнений. Этот блок состоит из одного уравнения.
eqs(eqsBlocks{2})
ans = c2*diff(x1(t), t) + c1*diff(x3(t), t) == c4*g(t, x3(t), x4(t))
Блок включает одну переменную.
vars(varsBlocks{2})
ans = x4(t)
После того, как вы решаете уравнение от блока 2 для переменной x4(t)
, оставшийся блок уравнений, eqs(eqsBlocks{3})
, задает остающуюся переменную, vars(varsBlocks{3})
.
eqs(eqsBlocks{3}) vars(varsBlocks{3})
ans = x2(t) == f(t, x3(t), x4(t)) ans = x2(t)
Найдите сочетания, которые преобразуют систему в блок нижняя треугольная форма.
eqsPerm = [eqsBlocks{:}] varsPerm = [varsBlocks{:}]
eqsPerm = 1 3 2 4 varsPerm = 1 3 4 2
Преобразуйте систему в блок нижняя треугольная система уравнений.
eqs = eqs(eqsPerm) vars = vars(varsPerm)
eqs = c1*diff(x1(t), t) + c2*diff(x3(t), t) == c3*f(t, x1(t), x3(t)) x1(t) == g(t, x1(t), x3(t)) c2*diff(x1(t), t) + c1*diff(x3(t), t) == c4*g(t, x3(t), x4(t)) x2(t) == f(t, x3(t), x4(t)) vars = [ x1(t), x3(t), x4(t), x2(t)]
Найдите матрицу падения получившейся системы. Матрица падения показывает, что система переставленных уравнений имеет три диагональных блока размера 2
- 2
, 1-
1
, и 1
- 1
.
incidenceMatrix(eqs, vars)
ans = 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1
Найдите блоки уравнений в линейной алгебраической системе, и затем решите систему путем последовательного решения каждого блока уравнений, начинающих с первого.
Создайте следующую систему линейных алгебраических уравнений.
syms x1 x2 x3 x4 x5 x6 c1 c2 c3 eqs = [c1*x1 + x3 + x5 == c1 + c2 + 1;... x1 + x3 + x4 + 2*x6 == 4 + c2;... x1 + 2*x3 + c3*x5 == 1 + 2*c2 + c3;... x2 + x3 + x4 + x5 == 2 + c2;... x1 - c2*x3 + x5 == 2 - c2^2;... x1 - x3 + x4 - x6 == 1 - c2]; vars = [x1, x2, x3, x4, x5, x6];
Используйте findDecoupledBlocks
преобразовывать систему в нижнюю треугольную форму. Для этой системы, findDecoupledBlocks
идентифицирует три блока уравнений и соответствующих переменных.
[eqsBlocks, varsBlocks] = findDecoupledBlocks(eqs, vars)
eqsBlocks = 1×3 cell array {1×3 double} {1×2 double} {[4]} varsBlocks = 1×3 cell array {1×3 double} {1×2 double} {[2]}
Идентифицируйте переменные в первом блоке. Этот блок состоит из трех уравнений в трех переменных.
vars(varsBlocks{1})
ans = [ x1, x3, x5]
Решите первый блок уравнений для первого блока переменных, присваивающих решения соответствующих переменных.
[x1,x3,x5] = solve(eqs(eqsBlocks{1}), vars(varsBlocks{1}))
x1 = 1 x3 = c2 x5 = 1
Идентифицируйте переменные во втором блоке. Этот блок состоит из двух уравнений в двух переменных.
vars(varsBlocks{2})
ans = [ x4, x6]
Решите этот блок уравнений, присваивающих решения соответствующих переменных.
[x4, x6] = solve(eqs(eqsBlocks{2}), vars(varsBlocks{2}))
x4 = x3/3 - x1 - c2/3 + 2 x6 = (2*c2)/3 - (2*x3)/3 + 1
Используйте subs
оценивать результат для уже известных значений переменных x1
, x3
, и x5
.
x4 = subs(x4) x6 = subs(x6)
x4 = 1 x6 = 1
Идентифицируйте переменные в третьем блоке. Этот блок состоит из одного уравнения в одной переменной.
vars(varsBlocks{3})
ans = x2
Решите это уравнение, присваивающее решение x2
.
x2 = solve(eqs(eqsBlocks{3}), vars(varsBlocks{3}))
x2 = c2 - x3 - x4 - x5 + 2
Используйте subs
оценивать результат для уже известных значений всех других переменных этой системы.
x2 = subs(x2)
x2 = 0
В качестве альтернативы можно переписать этот пример с помощью for
- цикл. Этот подход позволяет вам использовать пример в больших системах уравнений.
syms x1 x2 x3 x4 x5 x6 c1 c2 c3 eqs = [c1*x1 + x3 + x5 == c1 + c2 + 1;... x1 + x3 + x4 + 2*x6 == 4 + c2;... x1 + 2*x3 + c3*x5 == 1 + 2*c2 + c3;... x2 + x3 + x4 + x5 == 2 + c2;... x1 - c2*x3 + x5 == 2 - c2^2 x1 - x3 + x4 - x6 == 1 - c2]; vars = [x1, x2, x3, x4, x5, x6]; [eqsBlocks, varsBlocks] = findDecoupledBlocks(eqs, vars); vars_sol = vars; for i = 1:numel(eqsBlocks) sol = solve(eqs(eqsBlocks{i}), vars(varsBlocks{i})); vars_sol_per_block = subs(vars(varsBlocks{i}), sol); for k=1:i-1 vars_sol_per_block = subs(vars_sol_per_block, vars(varsBlocks{k}),... vars_sol(varsBlocks{k})); end vars_sol(varsBlocks{i}) = vars_sol_per_block end
vars_sol = [ 1, x2, c2, x4, 1, x6] vars_sol = [ 1, x2, c2, 1, 1, 1] vars_sol = [ 1, 0, c2, 1, 1, 1]
Реализованный алгоритм требует этого для каждой переменной в vars
в eqs
должно быть по крайней мере одно соответствующее уравнение включение этой переменной. То же уравнение не может также быть соответствующим к другой переменной. Если система не удовлетворяет этому условию, то
findDecoupledBlocks
выдает ошибку. В частности, findDecoupledBlocks
требует того length(eqs) = length(vars)
.
Применение сочетаний e = [eqsBlocks{:}]
к векторному eqs
и v = [varsBlocks{:}]
к векторному vars
производит матрицу падения incidenceMatrix(eqs(e), vars(v))
это имеет блок нижний треугольный шаблон разреженности.
daeFunction
| decic
| diag
| incidenceMatrix
| isLowIndexDAE
| massMatrixForm
| odeFunction
| reduceDAEIndex
| reduceDAEToODE
| reduceDifferentialOrder
| reduceRedundancies
| tril
| triu