Симулируйте приближенное решение диагонального дрейфа процессы GBM
Используйте функции симуляции GBM. Отделимые модели GBM имеют две определенных функции симуляции:
Перегруженная Эйлерова функция симуляции (simulate), спроектированный для оптимальной эффективности.
simBySolution функция, которая предоставляет приближенное решение базового стохастического дифференциального уравнения, спроектированного для точности.
Загрузите Data_GlobalIdx2 набор данных и задает модель SDE как в Представлении Моделей Рынка Используя Объекты SDE и модели GBM как в Представлении Моделей Рынка Используя SDELD, CEV и Объекты GBM.
load Data_GlobalIdx2 prices = [Dataset.TSX Dataset.CAC Dataset.DAX ... Dataset.NIK Dataset.FTSE Dataset.SP]; returns = tick2ret(prices); nVariables = size(returns,2); expReturn = mean(returns); sigma = std(returns); correlation = corrcoef(returns); t = 0; X = 100; X = X(ones(nVariables,1)); F = @(t,X) diag(expReturn)* X; G = @(t,X) diag(X) * diag(sigma); SDE = sde(F, G, 'Correlation', ... correlation, 'StartState', X); GBM = gbm(diag(expReturn),diag(sigma), 'Correlation', ... correlation, 'StartState', X);
Проиллюстрировать выигрыш в производительности перегруженной Эйлеровой функции приближения (simulate), увеличьте число испытаний к 10000.
nPeriods = 249; % # of simulated observations dt = 1; % time increment = 1 day rng(142857,'twister') [X,T] = simulate(GBM, nPeriods, 'DeltaTime', dt, ... 'nTrials', 10000); whos X
Name Size Bytes Class Attributes X 250x6x10000 120000000 double
Используя этот объем выборки, исследуйте терминальное распределение Составного объекта TSX Канады, чтобы проверить качественно логарифмически нормальный символ данных.
histogram(squeeze(X(end,1,:)), 30), xlabel('Price'), ylabel('Frequency') title('Histogram of Prices after One Year: Canada (TSX Composite)')
Симулируйте 10 испытаний решения и постройте первое испытание:
rng('default') [S,T] = simulate(SDE, nPeriods, 'DeltaTime', dt, 'nTrials', 10); rng('default') [X,T] = simBySolution(GBM, nPeriods,... 'DeltaTime', dt, 'nTrials', 10); subplot(2,1,1) plot(T, S(:,:,1)), xlabel('Trading Day'),ylabel('Price') title('1st Path of Multi-Dim Market Model:Euler Approximation') subplot(2,1,2) plot(T, X(:,:,1)), xlabel('Trading Day'),ylabel('Price') title('1st Path of Multi-Dim Market Model:Analytic Solution')
В этом примере все параметры являются константами и simBySolution действительно производит точное решение. Детали одного индекса для любого данного испытательного показа, что ценовые пути Эйлерового приближения и точного решения близки, но не идентичны.
Следующий график иллюстрирует различие между двумя функциями:
subplot(1,1,1) plot(T, S(:,1,1) - X(:,1,1), 'blue'), grid('on') xlabel('Trading Day'), ylabel('Price Difference') title('Euler Approx Minus Exact Solution:Canada(TSX Composite)')
simByEuler Эйлерово приближение буквально оценивает стохастическое дифференциальное уравнение непосредственно от уравнения движения для некоторого подходящего значения dt шаг времени. Это простое приближение страдает от ошибки дискретизации. Эта ошибка может быть приписана несоответствию между выбором dt шага времени и что в теории является параметром непрерывного времени.
Приближение дискретного времени улучшается как DeltaTime нуль подходов. Эйлерова функция часто является наименее точным и доступным наиболее общим методом. Все модели, поставленные в наборе симуляции, имеют simByEuler функция.
В отличие от этого simBySolution функция предоставляет более детальное описание базовой модели. Эта функция симулирует ценовые пути приближением решения закрытой формы отделимых моделей. А именно, это применяет Эйлеров подход к преобразованному процессу, который в целом не является точным решением этого GBM модель. Это вызвано тем, что вероятностные распределения симулированных и истинных векторов состояния идентичны только для кусочных постоянных параметров.
Когда все параметры модели являются кусочной константой за каждый период наблюдения, симулированный процесс точен в течение времен наблюдения, в которые производится вектор состояния. Поскольку все параметры являются константами в этом примере, simBySolution действительно производит точное решение.
Для примера того, как использовать simBySolution чтобы оптимизировать точность решений, смотрите Точность Оптимизации: О Точности Решения и Ошибке.
simBySolution функция симулирует NTRIALS демонстрационные пути NVARS коррелированые переменные состояния, управляемые NBROWNS Источники броуновского движения риска по NPERIODS последовательные периоды наблюдения, аппроксимируя непрерывное время модели короткого уровня GBM приближением решения закрытой формы.
Рассмотрите отделимую, модель GBM с векторным знаком формы:
где:
Xt является NVARS- 1 вектор состояния переменных процесса.
μ является NVARS- NVARS обобщенный ожидал мгновенную матрицу нормы прибыли.
V является NVARS- NBROWNS мгновенная матрица уровня энергозависимости.
dWt является NBROWNS- 1 Вектор броуновского движения.
simBySolution функция симулирует вектор состояния Xt с помощью приближения решения закрытой формы моделей диагонального дрейфа.
При выполнении выражений, simBySolution принимает, что все параметры модели являются кусочно-постоянными за каждый период симуляции.
В общем случае это не точное решение моделей, потому что вероятностные распределения симулированных и истинных векторов состояния идентичны только для кусочно-постоянных параметров.
Когда параметры являются кусочно-постоянными за каждый период наблюдения, симулированный процесс точен в течение времен наблюдения, в которые производится Xt.
Гауссовы модели диффузии, такие как hwv, позвольте отрицательные состояния. По умолчанию, simBySolution не делает ничего, чтобы предотвратить отрицательные состояния, и при этом это не гарантирует, что модель строго возвращается среднее значение. Таким образом модель может показать ошибочный или взрывной рост.
[1] Aït-Sahalia, Yacine. “Тестируя Модели Непрерывного времени Точечной Процентной ставки”. Анализ Финансовых Исследований 9, № 2 (апрель 1996): 385–426.
[2] Aït-Sahalia, Yacine. “Плотность перехода для Процентной ставки и Другой Нелинейной Диффузии”. Журнал Финансов 54, № 4 (август 1999): 1361–95.
[3] Глассермен, Пол. Методы Монте-Карло в финансовой разработке. Нью-Йорк: Springer-Verlag, 2004.
[4] Оболочка, Джон К. Опции, фьючерсы и Другие Производные. 7-й редактор, Prentice Hall, 2009.
[5] Джонсон, Норман Ллойд, Сэмюэль Коц и Нэраянэсвами Бэлэкришнэн. Непрерывные Одномерные распределения. 2-й редактор Вайли Серис в Вероятности и Математической Статистике. Нью-Йорк: Вайли, 1995.
[6] Shreve, Стивен Э. Стохастическое исчисление для финансов. Нью-Йорк: Springer-Verlag, 2004.
gbm | simByEuler | simBySolution | simulate
