bstmr

Сбалансированное стохастическое усечение модели (BST) с помощью метода Шура

Синтаксис

GRED = bstmr(G)
GRED = bstmr(G,order)
[GRED,redinfo] = bstmr(G,key1,value1,...)
[GRED,redinfo] = bstmr(G,order,key1,value1,...)

Описание

bstmr возвращает уменьшаемую модель GRED порядка из G и массив структур redinfo содержа ошибку, связанную упрощенной модели и сингулярных значений Ганкеля матрицы фазы исходной системы [2].

Связанная ошибка вычисляется на основе сингулярных значений Ганкеля матрицы фазы G. Для устойчивой системы эти значения указывают на соответствующую энергию состояния системы. Следовательно, уменьшаемый порядок может быть непосредственно определен путем исследования этих значений.

Только с одним входным параметром G, функция покажет график сингулярного значения Ганкеля матрицы фазы G и подсказка для номера заказа модели, чтобы уменьшать.

Этот метод гарантирует, что ошибка привязала норму по бесконечности мультипликативного ∥ GRED– 1(G-GRED) ∥ ∞ или относительная погрешность ∥ G^- 1(G-GRED) ∥ ∞ для хорошо подготовленных проблем снижения сложности модели [1]:

${‖ G^{- 1} (G - G r e d) ‖}_{\infty} \leq \prod_{k + 1}^{n} (1 + 2 σ_{i} (\sqrt{1 + σ_{i}^{2}} + σ_{i})) - 1$

Эта таблица описывает входные параметры для bstmr.

Аргумент	Описание
`G`	Модель LTI, которая будет уменьшаться (без любых других входных параметров построит ее сингулярные значения Ганкеля и запросит уменьшаемый порядок),
`ORDER`	(Необязательно) целое число для желаемого порядка упрощенной модели или вектора из желаемых порядков для пакетных запусков

Пакетный запуск сериала различных уменьшаемых моделей порядка может быть сгенерирован путем определения order = x:y, или вектор из целых чисел. По умолчанию вся антиустойчивая часть системы сохранена, потому что с точки зрения устойчивости управления, избавление от нестабильного состояния (состояний) опасно, чтобы смоделировать систему.

'MaxError' может быть задан тем же способом как альтернатива для 'ORDER'. В этом случае уменьшаемый порядок будет определен, когда накопленный продукт сингулярных значений Ганкеля, показанных в вышеупомянутом уравнении, достигнет 'MaxError'.

Аргумент	Значение	Описание
`'MaxError'`	Вещественное число или вектор из различных ошибок	Уменьшайте, чтобы достигнуть H _∞ ошибка. Когда существующий, `'``MaxError``'` переопределения `ORDER` входной параметр.
`'Display'`	`'on'` или `'off'`	Отобразите сингулярные графики Ганкеля (`'off'` по умолчанию).
`'Order'`	Целое число, векторный или массив ячеек	Порядок упрощенной модели. Используйте только если не заданный в качестве 2-го аргумента.

Аргумент

Значение

Описание

'MaxError'

Вещественное число или вектор из различных ошибок

Уменьшайте, чтобы достигнуть H _∞ ошибка.

Когда существующий, 'MaxError' переопределения ORDER входной параметр.

'Display'

'on' или 'off'

Отобразите сингулярные графики Ганкеля ('off' по умолчанию).

'Order'

Целое число, векторный или массив ячеек

Порядок упрощенной модели. Используйте только если не заданный в качестве 2-го аргумента.

Эта таблица описывает выходные аргументы.

Аргумент	Описание
`GRED`	LTI уменьшал модель порядка. Станьте массивом мультиразмерности, когда введенный будет сериал различного массива порядка модели.
`REDINFO`	Массив структур с тремя полями: `REDINFO.ErrorBound` (привязанный ∥G–1 (G-GRED) ∥∞) `REDINFO.StabSV` (Ганкель СВ устойчивой части G) `REDINFO.UnstabSV` (Ганкель СВ нестабильной части G)

G может быть устойчивым или нестабильным, непрерывным или дискретным.

Примечание

bstmr на основе balred.

Примеры

Учитывая непрерывную или дискретную, устойчивую или нестабильную систему, G, следующие команды могут получить набор уменьшаемых моделей порядка на основе ваших выборов:

rng(1234,'twister'); 
G = rss(30,5,4);
G.D = zeros(5,4);
[g1, redinfo1] = bstmr(G); % display Hankel SV plot 
                           % and prompt for order (try 15:20)
[g2, redinfo2] = bstmr(G,20); 
[g3, redinfo3] = bstmr(G,[10:2:18]);
[g4, redinfo4] = bstmr(G,'MaxError',[0.01, 0.05]);
for i = 1:4
    figure(i)
	eval(['sigma(G,g' num2str(i) ');']);
end

Алгоритмы

Учитывая пространство состояний (A,B,C,D) системы и k, желаемого уменьшаемого порядка, следующие шаги произведут преобразование подобия, чтобы обрезать исходную систему в пространстве состояний до упрощенной модели порядка ^kth.

Найдите управляемость grammian P и наблюдаемостью grammian Q левого спектрального фактора Φ = Γ (σ) Γ* (–σ) = Ω* (–σ), Ω (σ) путем решения следующих уравнений Ляпунова и Риккати
^{AP + PAT} ^{+ BBT} = 0
_BW ^{= PCT} ^{+ BDT}
^{QA + AT} _{Q + (QBW} ^{– CT} ^{) (–DDT} _{) (QBW} ^{– CT} ^)T = 0
Найдите разложение Шура для PQ и в возрастании и в порядке убывания, соответственно,
$\begin{array}{l} V_{A}^{T} P Q V_{A} = [\begin{matrix} λ_{1} & \dots & \dots \\ 0 & \dots & \dots \\ 0 & 0 & λ_{n} \end{matrix}] \\ V_{D}^{T} P Q V_{D} = [\begin{matrix} λ_{n} & \dots & \dots \\ 0 & \dots & \dots \\ 0 & 0 & λ_{1} \end{matrix}] \end{array}$
Найдите слева/справа ортонормированные собственные базисы PQ сопоставленными с ^kth большими сингулярными значениями Ганкеля все-передачи phase matrix (W ^*(s))–1G(s).
k
$\begin{array}{l} V_{A} = [V_{R, S M A L L}, \overset{k}{\overset{︷}{V_{L, B I G}}}] \\ V_{D} = [\overset{}{\overset{︷}{V_{R, B I G}}}, V_{L, S M A L L}] \end{array}$
Найдите SVD (^VT_L,BIG _VR,BIG) = U Σ ςΤ
Сформируйтесь слева/справа, преобразование для итогового ^kth заказывает упрощенную модель
_{SL,BIG = VL,BIG} U Σ (1:k, 1:k) ^–½
_{SR,BIG = VR,BIG} V Σ (1:k, 1:k) ^–½
Наконец,

$[\begin{matrix} \hat{A} & \hat{B} \\ \hat{C} & \hat{D} \end{matrix}] = [\begin{matrix} S_{L, B I G}^{T} A S_{R, B I G} & S_{L, B I G}^{T} B \\ C S_{R, B I G} & D \end{matrix}]$

Доказательство алгоритма BST Шура может быть найдено в [1].

Примечание

Теория снижения сложности модели BST требует, чтобы исходная матрица модели D была полным рангом, так как иначе решатель Riccati перестал работать. Для любой проблемы со строго соответствующей моделью можно переключить ω j - ось через bilin таким образом, что приближение BST/REM может быть достигнуто до конкретного частотного диапазона интересов. В качестве альтернативы можно присоединить маленький, но полный ранг матрица D к исходной проблеме, но удалить матрицу D уменьшаемой модели порядка впоследствии. Пока размер матрицы D незначителен в пропускной способности управления, уменьшаемая модель порядка должна быть справедливо близко к истинной модели. По умолчанию, bstmr программа присвоит полный ранг матрица D, масштабируемая 0.001 из минимального собственного значения исходной модели, если ее матрица D не будет полным рангом для начала. Это служит цели для большинства проблем, если пользователь не хочет проходить проблему предварительного преобразования модели.

Ссылки

[1] Чжоу, K., “Взвешенное частотой снижение сложности модели с L ∞ ошибочные границы”, Систематический латыш Противоречия., Издание 21, 115-125, 1993.

[2] Сафонов, M.G., и Р.И. Чанг, “Снижение сложности модели для Устойчивого Управления: Метод Относительной погрешности Шура”, Международный J. Адаптивного управления и Обработки сигналов, Издания 2, p. 259-272, 1988.

Представлено до R2006a

Документация

bstmr

Синтаксис

Описание

Примеры

Алгоритмы

Ссылки

Смотрите также

Документация Robust Control Toolbox

Поддержка