gapmetric

Разорвите метрику и Vinnicombe (разрыв ню) метрика для расстояния между двумя системами

Описание

пример

[gap,nugap] = gapmetric(P1,P2) вычисляет разрыв и Vinnicombe (ν - разрыв) метрики для расстояния между динамическими системами P1 и P2. Метрические значения разрыва удовлетворяют 0 ≤ nugapgap ≤ 1. Значения близко к нулю подразумевают, что любой контроллер, который стабилизирует P1 также стабилизирует P2 с подобными усилениями с обратной связью.

[gap,nugap] = gapmetric(P1,P2,tol) задает относительную точность для вычисления разрывов.

Примеры

свернуть все

Создайте две модели объекта управления. Один объект, P1, нестабильная система первого порядка с передаточной функцией 1 / (s–0.001). Другой объект, P2, устойчиво, с передаточной функцией 1 / (s +0.001).

P1 = tf(1,[1 -0.001]); 
P2 = tf(1,[1 0.001]);

Несмотря на то, что один объект нестабилен, и другой устойчиво, эти объекты близки, как измерено gap и nugap метрики.

[gap,nugap] = gapmetric(P1,P2)
gap = 0.0021
nugap = 0.0020

Разрыв очень мал по сравнению с 1. Таким образом контроллер, который дает к устойчивой системе с обратной связью с P2 также имеет тенденцию стабилизировать P1. Например, контроллер обратной связи C = 1 стабилизирует и объекты и рендеринг почти идентичные усиления с обратной связью. Чтобы видеть это, исследуйте функции чувствительности двух систем с обратной связью.

C = 1; 
H1 = loopsens(P1,C); 
H2 = loopsens(P2,C); 
subplot(2,2,1); bode(H1.Si,'-',H2.Si,'r--'); 
subplot(2,2,2); bode(H1.Ti,'-',H2.Ti,'r--'); 
subplot(2,2,3); bode(H1.PSi,'-',H2.PSi,'r--'); 
subplot(2,2,4); bode(H1.CSo,'-',H2.CSo,'r--');

Figure contains 8 axes. Axes 1 with title From: du To: u contains 2 objects of type line. These objects represent untitled1, untitled2. Axes 2 contains 2 objects of type line. These objects represent untitled1, untitled2. Axes 3 with title From: du To: uC contains 2 objects of type line. These objects represent untitled1, untitled2. Axes 4 contains 2 objects of type line. These objects represent untitled1, untitled2. Axes 5 with title From: du To: yP contains 2 objects of type line. These objects represent untitled1, untitled2. Axes 6 contains 2 objects of type line. These objects represent untitled1, untitled2. Axes 7 with title From: dy To: uC contains 2 objects of type line. These objects represent untitled1, untitled2. Axes 8 contains 2 objects of type line. These objects represent untitled1, untitled2.

Затем рассмотрите две устойчивых модели объекта управления, которые отличаются системой первого порядка. Один объект, P3, передаточная функция 50 / (s+50), и другой объект, P4, передаточная функция [50 / (s+50)] *8 / (s+8).

P3 = tf(50,[1 50]); 
P4 = tf(8,[1 8])*P3;
figure
bode(P3,P4)

Figure contains 2 axes. Axes 1 contains 2 objects of type line. These objects represent P3, P4. Axes 2 contains 2 objects of type line. These objects represent P3, P4.

Несмотря на то, что эти две системы имеют подобную высокочастотную динамику и то же усиление единицы в низкой частоте gap и nugap метрики, объекты справедливо далеко друг от друга.

[gap,nugap] = gapmetric(P3,P4)
gap = 0.6148
nugap = 0.6147

Рассмотрите объект и стабилизировавшийся контроллер.

P1 = tf([1 2],[1 5 10]);
C = tf(4.4,[1 0]);

Вычислите запас устойчивости для этого объекта и контроллера.

b1 = ncfmargin(P1,C)
b1 = 0.1961

Затем вычислите разрыв между P1 и встревоженный объект, P2.

P2 = tf([1 1],[1 3 10]);
[gap,nugap] = gapmetric(P1,P2)
gap = 0.1391
nugap = 0.1390

Поскольку запас устойчивости b1 = b(P1,C) больше разрыва между этими двумя объектами, C также стабилизирует P2. Как обсуждено в Метриках Разрыва и Запасах устойчивости, запасе устойчивости b2 = b(P2,C) удовлетворяет неравенству asin(b(P2,C)) ≥ asin(b1)-asin(gap). Подтвердите этот результат.

b2 = ncfmargin(P2,C);
[asin(b2) asin(b1)-asin(gap)]
ans = 1×2

    0.0997    0.0579

Входные параметры

свернуть все

Введите системы в виде моделей динамической системы. P1 и P2 должен иметь те же размерности ввода и вывода. Если P1 или P2 обобщенная модель в пространстве состояний (genss или ussто gapmetric использует текущее значение или номинальную стоимость всех блоков системы управления.

Относительная точность для вычисления метрик разрыва в виде положительной скалярной величины. Если gapactual является истинным значением разрыва (или разрыва Vinnicombe), возвращенное значение gap (или nugap) как гарантируют, удовлетворит

|1 – gap/gapactual | <tol.

Выходные аргументы

свернуть все

Разорвите между P1 и P2, возвращенный как скаляр в области значений [0,1]. Значение близко к нулю подразумевает, что любой контроллер, который стабилизирует P1 также стабилизирует P2 с подобными усилениями с обратной связью. Значение близко к 1 среднему значению, что P1 и P2 далеко друг от друга. Значение 0 средних значений, что эти две системы идентичны.

Разрыв Vinnicombe (ν - разрыв) между P1 и P2, возвращенный как скалярное значение в области значений [0,1]. Как с gap, значение близко к нулю подразумевает, что любой контроллер, который стабилизирует P1 также стабилизирует P2 с подобными усилениями с обратной связью. Значение близко к 1 среднему значению, что P1 и P2 далеко друг от друга. Значение 0 средних значений, что эти две системы идентичны. Поскольку 0 ≤ nugapgap ≤ 1, ν - разрыв может обеспечить более строгий тест для робастности как описано в Метриках Разрыва и Запасах устойчивости.

Больше о

свернуть все

Метрика разрыва

Для объектов P 1 и P 2, позволить P1=N1M11 и P2=N2M21 будьте правильными нормированными взаимно-простыми факторизациями (см. rncf). Затем метрикой разрыва δg дают:

δg(P1,P2)=max{δg(P1,P2),δg(P2,P1)}.

Здесь, δg(P1,P2) directed gap, данный

δg(P1,P2)=minустойчивый Q(s)[M1N1][M2N2]Q.

Для получения дополнительной информации см. [1] и Глава 17 [2].

Метрика разрыва Vinnicombe

Для P 1 и P 2, метрикой разрыва Vinnicombe дают

δν(P1,P2)=maxω(I+P2P2*)1/2(P1P2)(I+P1P1*)1/2,

при условии, что det(I+P2*P1) имеет правильный извилистый номер. Здесь, * обозначает сопряженное (см. ctranspose). Это выражение является взвешенным различием между этими двумя частотными характеристиками P 1 () и P 2 (). Для получения дополнительной информации см. Главу 17 [2].

Разорвите метрики и запасы устойчивости

Разрыв и ν - метрики разрыва дают численному значению δ (P 1, P 2) для расстояния между двумя системами LTI. Для обеих метрик следующий устойчивый результат эффективности содержит:

arcsin b (P 2, C 2) ≥ arcsin b (P 1, C 1) – arcsin δ (P 1, P 2) – arcsin δ (C 1, C 2),

где запас устойчивости b (см. ncfmargin), при принятии архитектуры отрицательной обратной связи, дают

b(P,C)=[IC](I+PC)1[IP]1=[IP](I+CP)1[IC]1.

Чтобы интерпретировать этот результат, предположите, что номинальный объект P 1 стабилизируется контроллером C 1 с запасом устойчивости b (P 1, C 1). Затем если P 1 встревожен к P 2, и C 1 встревожен к C 2, запас устойчивости ухудшается не больше, чем вышеупомянутой формулой. Для примера смотрите, Вычисляют Метрику Разрыва и Запас устойчивости.

ν - разрыв всегда меньше чем или равен разрыву, таким образом, его предсказания с помощью вышеупомянутого результата робастности более трудны.

Количество b (P, C) –1 является усилением сигнала от воздействий на вводе и выводе объекта к вводу и выводу контроллера.

Разорвите метрики в устойчивом проекте

Чтобы использовать метрики разрыва в устойчивом проекте, необходимо ввести функции взвешивания. В устойчивой формуле эффективности замените P W 2PW1 и замените C W11CW21. Можно сделать подобные замены на P 1, P 2, C 1 и C 2. Эта форма делает функции взвешивания совместимыми со структурой взвешивания в H цикл, формирующий процедуру системы управления используемый функциями такой как loopsyn и ncfsyn.

Ссылки

[1] Джорджио, Трифон Т. “На Расчете Метрики Разрыва”. Systems & Control Letters 11, № 4 (октябрь 1988): 253–57. https://doi.org/10.1016/0167-6911 (88) 90067-9.

[2] Чжоу, K., Дойл, J.C., основы устойчивого управления. Лондон, Великобритания: Пирсон, 1997.

Смотрите также

| | | | |

Представлено до R2006a
Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте