gapmetric

Разорвите метрику и Vinnicombe (разрыв ню) метрика для расстояния между двумя системами

Синтаксис

[gap,nugap] = gapmetric(P1,P2)

[gap,nugap] = gapmetric(P1,P2,tol)

Описание

[gap,nugap] = gapmetric(P1,P2) вычисляет разрыв и Vinnicombe (ν - разрыв) метрики для расстояния между динамическими системами P1 и P2. Метрические значения разрыва удовлетворяют 0 ≤ nugap ≤ gap ≤ 1. Значения близко к нулю подразумевают, что любой контроллер, который стабилизирует P1 также стабилизирует P2 с подобными усилениями с обратной связью.

[gap,nugap] = gapmetric(P1,P2,tol) задает относительную точность для вычисления разрывов.

Примеры

свернуть все

Вычислите метрики разрыва для устойчивых и нестабильных моделей объекта управления

Скрипт Open Live Script

Создайте две модели объекта управления. Один объект, P1, нестабильная система первого порядка с передаточной функцией 1 / (s–0.001). Другой объект, P2, устойчиво, с передаточной функцией 1 / (s +0.001).

P1 = tf(1,[1 -0.001]); 
P2 = tf(1,[1 0.001]);

Несмотря на то, что один объект нестабилен, и другой устойчиво, эти объекты близки, как измерено gap и nugap метрики.

[gap,nugap] = gapmetric(P1,P2)

gap = 0.0021

nugap = 0.0020

Разрыв очень мал по сравнению с 1. Таким образом контроллер, который дает к устойчивой системе с обратной связью с P2 также имеет тенденцию стабилизировать P1. Например, контроллер обратной связи C = 1 стабилизирует и объекты и рендеринг почти идентичные усиления с обратной связью. Чтобы видеть это, исследуйте функции чувствительности двух систем с обратной связью.

C = 1; 
H1 = loopsens(P1,C); 
H2 = loopsens(P2,C); 
subplot(2,2,1); bode(H1.Si,'-',H2.Si,'r--'); 
subplot(2,2,2); bode(H1.Ti,'-',H2.Ti,'r--'); 
subplot(2,2,3); bode(H1.PSi,'-',H2.PSi,'r--'); 
subplot(2,2,4); bode(H1.CSo,'-',H2.CSo,'r--');

Затем рассмотрите две устойчивых модели объекта управления, которые отличаются системой первого порядка. Один объект, P3, передаточная функция 50 / (s+50), и другой объект, P4, передаточная функция [50 / (s+50)] *8 / (s+8).

P3 = tf(50,[1 50]); 
P4 = tf(8,[1 8])*P3;
figure
bode(P3,P4)

Figure contains 2 axes. Axes 1 contains 2 objects of type line. These objects represent P3, P4. Axes 2 contains 2 objects of type line. These objects represent P3, P4.

Несмотря на то, что эти две системы имеют подобную высокочастотную динамику и то же усиление единицы в низкой частоте gap и nugap метрики, объекты справедливо далеко друг от друга.

[gap,nugap] = gapmetric(P3,P4)

gap = 0.6148

nugap = 0.6147

Вычислите метрику разрыва и запас устойчивости

Скрипт Open Live Script

Рассмотрите объект и стабилизировавшийся контроллер.

P1 = tf([1 2],[1 5 10]);
C = tf(4.4,[1 0]);

Вычислите запас устойчивости для этого объекта и контроллера.

b1 = ncfmargin(P1,C)

b1 = 0.1961

Затем вычислите разрыв между P1 и встревоженный объект, P2.

P2 = tf([1 1],[1 3 10]);
[gap,nugap] = gapmetric(P1,P2)

gap = 0.1391

nugap = 0.1390

Поскольку запас устойчивости b1 = b(P1,C) больше разрыва между этими двумя объектами, C также стабилизирует P2. Как обсуждено в Метриках Разрыва и Запасах устойчивости, запасе устойчивости b2 = b(P2,C) удовлетворяет неравенству asin(b(P2,C)) ≥ asin(b1)-asin(gap). Подтвердите этот результат.

b2 = ncfmargin(P2,C);
[asin(b2) asin(b1)-asin(gap)]

ans = 1×2

    0.0997    0.0579

Входные параметры

свернуть все

`P1,P2` — Введите системы
модели динамической системы

Введите системы в виде моделей динамической системы. P1 и P2 должен иметь те же размерности ввода и вывода. Если P1 или P2 обобщенная модель в пространстве состояний (genss или ussто gapmetric использует текущее значение или номинальную стоимость всех блоков системы управления.

`tol` — Относительная точность
0,001 (значения по умолчанию) | положительная скалярная величина

Относительная точность для вычисления метрик разрыва в виде положительной скалярной величины. Если _gapactual является истинным значением разрыва (или разрыва Vinnicombe), возвращенное значение gap (или nugap) как гарантируют, удовлетворит

|1 – gap/_gapactual | <tol.

Выходные аргументы

свернуть все

`gap` — Разорвите между `P1` и `P2`
скаляр в [0,1]

Разорвите между P1 и P2, возвращенный как скаляр в области значений [0,1]. Значение близко к нулю подразумевает, что любой контроллер, который стабилизирует P1 также стабилизирует P2 с подобными усилениями с обратной связью. Значение близко к 1 среднему значению, что P1 и P2 далеко друг от друга. Значение 0 средних значений, что эти две системы идентичны.

`nugap` — Разрыв Vinnicombe (ν - разрыв) между `P1` и `P2`
скаляр в [0,1]

Разрыв Vinnicombe (ν - разрыв) между P1 и P2, возвращенный как скалярное значение в области значений [0,1]. Как с gap, значение близко к нулю подразумевает, что любой контроллер, который стабилизирует P1 также стабилизирует P2 с подобными усилениями с обратной связью. Значение близко к 1 среднему значению, что P1 и P2 далеко друг от друга. Значение 0 средних значений, что эти две системы идентичны. Поскольку 0 ≤ nugap ≤ gap ≤ 1, ν - разрыв может обеспечить более строгий тест для робастности как описано в Метриках Разрыва и Запасах устойчивости.

Больше о

свернуть все

Метрика разрыва

Для объектов P ₁ и P ₂, позволить $P_{1} = N_{1} M_{1}^{- 1}$ и $P_{2} = N_{2} M_{2}^{- 1}$ будьте правильными нормированными взаимно-простыми факторизациями (см. rncf). Затем метрикой разрыва _δg дают:

$δ_{g} (P_{1}, P_{2}) = \max {{\vec{δ}}_{g} (P_{1}, P_{2}), {\vec{δ}}_{g} (P_{2}, P_{1})} .$

Здесь, ${\vec{δ}}_{g} (P_{1}, P_{2})$ directed gap, данный

${\vec{δ}}_{g} (P_{1}, P_{2}) = \min_{устойчивый Q (s)} {‖ [\begin{matrix} M_{1} \\ N_{1} \end{matrix}] - [\begin{matrix} M_{2} \\ N 2 \end{matrix}] Q ‖}_{\infty} .$

Для получения дополнительной информации см. [1] и Глава 17 [2].

Метрика разрыва Vinnicombe

Для P ₁ и P ₂, метрикой разрыва Vinnicombe дают

$δ_{ν} (P_{1}, P_{2}) = \max_{ω} {‖ {(I + P_{2} P_{2}^{*})}^{- 1 / 2} (P_{1} - P_{2}) {(I + P_{1} P_{1}^{*})}^{- 1 / 2} ‖}_{\infty},$

при условии, что $\det (I + P_{2}^{*} P_{1})$ имеет правильный извилистый номер. Здесь, * обозначает сопряженное (см. ctranspose). Это выражение является взвешенным различием между этими двумя частотными характеристиками P ₁ (jω) и P ₂ (jω). Для получения дополнительной информации см. Главу 17 [2].

Разорвите метрики и запасы устойчивости

Разрыв и ν - метрики разрыва дают численному значению δ (P ₁, P ₂) для расстояния между двумя системами LTI. Для обеих метрик следующий устойчивый результат эффективности содержит:

arcsin b (P ₂, C ₂) ≥ arcsin b (P ₁, C ₁) – arcsin δ (P ₁, P ₂) – arcsin δ (C ₁, C ₂),

где запас устойчивости b (см. ncfmargin), при принятии архитектуры отрицательной обратной связи, дают

$b (P, C) = {‖ [\begin{matrix} I \\ C \end{matrix}] {(I + P C)}^{- 1} [\begin{matrix} I & P \end{matrix}] ‖}_{\infty}^{- 1} = {‖ [\begin{matrix} I \\ P \end{matrix}] {(I + C P)}^{- 1} [\begin{matrix} I & C \end{matrix}] ‖}_{\infty}^{- 1} .$

Чтобы интерпретировать этот результат, предположите, что номинальный объект P ₁ стабилизируется контроллером C ₁ с запасом устойчивости b (P ₁, C ₁). Затем если P ₁ встревожен к P ₂, и C ₁ встревожен к C ₂, запас устойчивости ухудшается не больше, чем вышеупомянутой формулой. Для примера смотрите, Вычисляют Метрику Разрыва и Запас устойчивости.

ν - разрыв всегда меньше чем или равен разрыву, таким образом, его предсказания с помощью вышеупомянутого результата робастности более трудны.

Количество b (P, C) ^–1 является усилением сигнала от воздействий на вводе и выводе объекта к вводу и выводу контроллера.

Разорвите метрики в устойчивом проекте

Чтобы использовать метрики разрыва в устойчивом проекте, необходимо ввести функции взвешивания. В устойчивой формуле эффективности замените P W _2PW1 и замените C $W_{1}^{- 1} C W_{2}^{- 1}$ . Можно сделать подобные замены на P ₁, P ₂, C ₁ и C ₂. Эта форма делает функции взвешивания совместимыми со структурой взвешивания в H _∞ цикл, формирующий процедуру системы управления используемый функциями такой как loopsyn и ncfsyn.

Ссылки

[1] Джорджио, Трифон Т. “На Расчете Метрики Разрыва”. Systems & Control Letters 11, № 4 (октябрь 1988): 253–57. https://doi.org/10.1016/0167-6911 (88) 90067-9.

[2] Чжоу, K., Дойл, J.C., основы устойчивого управления. Лондон, Великобритания: Пирсон, 1997.

Представлено до R2006a

Документация

gapmetric

Синтаксис

Описание

Примеры

Вычислите метрики разрыва для устойчивых и нестабильных моделей объекта управления

Вычислите метрику разрыва и запас устойчивости

Входные параметры

`P1,P2` — Введите системы
модели динамической системы

`tol` — Относительная точность
0,001 (значения по умолчанию) | положительная скалярная величина

Выходные аргументы

`gap` — Разорвите между `P1` и `P2`
скаляр в [0,1]

`nugap` — Разрыв Vinnicombe (ν - разрыв) между `P1` и `P2`
скаляр в [0,1]

Больше о

Метрика разрыва

Метрика разрыва Vinnicombe

Разорвите метрики и запасы устойчивости

Разорвите метрики в устойчивом проекте

Ссылки

Смотрите также

Документация Robust Control Toolbox

Поддержка

Документация

gapmetric

Синтаксис

Описание

Примеры

Вычислите метрики разрыва для устойчивых и нестабильных моделей объекта управления

Вычислите метрику разрыва и запас устойчивости

Входные параметры

P1,P2 — Введите системы модели динамической системы

tol — Относительная точность 0,001 (значения по умолчанию) | положительная скалярная величина

Выходные аргументы

gap — Разорвите между P1 и P2 скаляр в [0,1]

nugap — Разрыв Vinnicombe (ν - разрыв) между P1 и P2 скаляр в [0,1]

Больше о

Метрика разрыва

Метрика разрыва Vinnicombe

Разорвите метрики и запасы устойчивости

Разорвите метрики в устойчивом проекте

Ссылки

Смотрите также

Документация Robust Control Toolbox

Поддержка

`P1,P2` — Введите системы
модели динамической системы

`tol` — Относительная точность
0,001 (значения по умолчанию) | положительная скалярная величина

`gap` — Разорвите между `P1` и `P2`
скаляр в [0,1]

`nugap` — Разрыв Vinnicombe (ν - разрыв) между `P1` и `P2`
скаляр в [0,1]