Логарифмически нормальное распределение

Обзор

Логарифмически нормальное распределение, иногда названное распределением Galton, является вероятностным распределением, логарифм которого имеет нормальное распределение. Логарифмически нормальное распределение применимо, когда количество интереса должно быть положительным, потому что журнал (x) существует только, когда x положителен.

Statistics and Machine Learning Toolbox™ предлагает несколько способов работать с логарифмически нормальным распределением.

Создайте объект LognormalDistribution вероятностного распределения путем строения распределения вероятности к выборочным данным (fitdist) или настройкой значений параметров (makedist). Затем используйте объектные функции, чтобы вычислять распределение, сгенерировать случайные числа, и так далее.
Работа с логарифмически нормальным распределением в интерактивном режиме при помощи приложения Distribution Fitter. Можно экспортировать объект из приложения и использовать объектные функции.
Используйте специфичные для распределения функции (logncdf, lognpdf, logninv, lognlike, lognstat, lognfit, lognrnd) с заданными параметрами распределения. Специфичные для распределения функции могут принять параметры нескольких логарифмически нормальных распределений.
Используйте типовые функции распределения (cdf, icdf, pdf, random) с заданным именем распределения ('Lognormal') и параметры.

Параметры

Логарифмически нормальное распределение использует эти параметры.

Параметр	Описание	Поддержка
`mu`(μ)	Среднее значение логарифмических значений	$- \infty < μ < \infty$
`sigma`(σ)	Стандартное отклонение логарифмических значений	$σ \geq 0$

Если X следует за логарифмически нормальным распределением параметрами µ и σ, то регистрируйте (X), следует за нормальным распределением со средним µ и стандартным отклонением σ.

Оценка параметра

Чтобы соответствовать логарифмически нормальному распределению к данным и найти оценки параметра, использовать lognfit, fitdist, или mle.

Для не прошедших цензуру данных, lognfit и fitdist найдите объективные оценки параметров распределения, и mle находит оценки наибольшего правдоподобия.
Для подвергнутых цензуре данных, lognfit, fitdist, и mle найдите оценки наибольшего правдоподобия.

В отличие от этого, lognfit и mle, который возвращаемый параметр оценивает, fitdist возвращает подходящий объект LognormalDistribution вероятностного распределения. Свойства объектов mu и sigma сохраните оценки параметра.

Описательная статистика

Средний m и отклонение v логарифмически нормальной случайной переменной являются функциями логарифмически нормальных параметров распределения µ и σ:

$\begin{array}{l} m = \exp (μ + σ^{2} / 2) \\ v = \exp (2 μ + σ^{2}) (\exp (σ^{2}) - 1) \end{array}$

Кроме того, можно вычислить логарифмически нормальные параметры распределения µ и σ от среднего m и отклонения v:

$\begin{array}{l} μ = \log (m^{2} / \sqrt{v + m^{2}}) \\ σ = \sqrt{\log (v / m^{2} + 1)} \end{array}$

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности (PDF) логарифмически нормального распределения

$y = f (x | μ, σ) = \frac{1}{x σ \sqrt{2 π}} \exp {\frac{- {(\log x - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}}, для x > 0.$

Для примера смотрите, Вычисляют Логарифмически нормальное Распределение PDF.

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения (cdf) логарифмически нормального распределения

$p = F (x | μ, σ) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} \int_{0}^{x} \frac{1}{t} \exp {\frac{- {(\log t - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}} d t, для x > 0.$

Для примера смотрите, Вычисляют Логарифмически нормальное Распределение cdf.

Примеры

Вычислите Логарифмически нормальное Распределение PDF

Скрипт Open Live Script

Предположим, что доход семейства четыре в Соединенных Штатах следует за логарифмически нормальным распределением с mu = log(20,000) и sigma = 1. Вычислите и постройте доходную плотность.

Создайте логарифмически нормальный объект распределения путем определения значений параметров.

pd = makedist('Lognormal','mu',log(20000),'sigma',1)

pd = 
  LognormalDistribution

  Lognormal distribution
       mu = 9.90349
    sigma =       1

Вычислите значения PDF.

x = (10:1000:125010)';
y = pdf(pd,x);

Постройте PDF.

plot(x,y)
h = gca;
h.XTick = [0 30000 60000 90000 120000];
h.XTickLabel = {'0','$30,000','$60,000',...
                    '$90,000','$120,000'};

Figure contains an axes. The axes contains an object of type line.

Вычислите Логарифмически нормальное Распределение cdf

Скрипт Open Live Script

Вычислите cdf значения, оцененные в значениях в x для логарифмически нормального распределения со средним mu и стандартное отклонение sigma.

x = 0:0.2:10;
mu = 0;
sigma = 1;
p = logncdf(x,mu,sigma);

Постройте cdf.

plot(x,p)
grid on
xlabel('x')
ylabel('p')

Figure contains an axes. The axes contains an object of type line.

Отношение между нормальными и логарифмически нормальными распределениями

Скрипт Open Live Script

Если X следует за логарифмически нормальным распределением параметрами µ и σ, то регистрируйте (X), следует за нормальным распределением со средним значением µ и стандартное отклонение σ. Используйте объекты распределения, чтобы смотреть отношение между нормальными и логарифмически нормальными распределениями.

Создайте логарифмически нормальный объект распределения путем определения значений параметров.

pd = makedist('Lognormal','mu',5,'sigma',2)

pd = 
  LognormalDistribution

  Lognormal distribution
       mu = 5
    sigma = 2

Вычислите среднее значение логарифмически нормального распределения.

mean(pd)

ans = 1.0966e+03

Среднее значение логарифмически нормального распределения не равно mu параметр. Среднее значение логарифмических значений равно mu. Подтвердите это отношение путем генерации случайных чисел.

Сгенерируйте случайные числа от логарифмически нормального распределения и вычислите их логарифмические значения.

rng('default');  % For reproducibility
x = random(pd,10000,1);
logx = log(x);

Вычислите среднее значение логарифмических значений.

m = mean(logx)

m = 5.0033

Среднее значение журнала x близко к mu параметр x, потому что x имеет логарифмически нормальное распределение.

Создайте гистограмму logx с подгонкой нормального распределения.

histfit(logx)

Figure contains an axes. The axes contains 2 objects of type bar, line.

График показывает что логарифмические значения x нормально распределены.

histfit использование fitdist соответствовать распределению к данным. Используйте fitdist получить параметры, используемые в подборе кривой.

pd_normal = fitdist(logx,'Normal')

pd_normal = 
  NormalDistribution

  Normal distribution
       mu = 5.00332   [4.96445, 5.04219]
    sigma = 1.98296   [1.95585, 2.01083]

Предполагаемые параметры нормального распределения близко к логарифмически нормальным параметрам распределения 5 и 2.

Сравните Логарифмически нормальный и Распределение Шума pdfs

Скрипт Open Live Script

Сравните логарифмически нормальную PDF с доходными данными об использовании PDF Берра, сгенерированными от логарифмически нормального распределения.

Сгенерируйте доходные данные.

rng('default') % For reproducibility
y = random('Lognormal',log(25000),0.65,[500,1]);

Соответствуйте распределению Шума.

pd = fitdist(y,'burr')

pd = 
  BurrDistribution

  Burr distribution
    alpha = 26007.2   [21165.5, 31956.4]
        c = 2.63743   [2.3053, 3.0174]
        k = 1.09658   [0.775479, 1.55064]

Постройте и Шум и логарифмически нормальный pdfs поступивших данных по той же фигуре.

p_burr = pdf(pd,sortrows(y));
p_lognormal = pdf('Lognormal',sortrows(y),log(25000),0.65);
plot(sortrows(y),p_burr,'-',sortrows(y),p_lognormal,'-.')
title('Burr and Lognormal pdfs Fit to Income Data')
legend('Burr Distribution','Lognormal Distribution')

Figure contains an axes. The axes with title Burr and Lognormal pdfs Fit to Income Data contains 2 objects of type line. These objects represent Burr Distribution, Lognormal Distribution.

Связанные распределения

Нормальное распределение — логарифмически нормальное распределение тесно связано с нормальным распределением. Если X распределяется логарифмически нормально параметрами μ и σ, то регистрируйте (x), обычно распределяется со средним μ и стандартным отклонением σ. Смотрите Отношение Между Нормальными и Логарифмически нормальными Распределениями.
Подпилите Распределение Типа XII — распределение Шума является гибким семейством распределений, которое может описать широкий спектр форм распределения. Это имеет как ограничивающий случай много обычно используемых распределений, таких как гамма, логарифмически нормальная, loglogistic, колоколообразные, и J-образные бета распределения (но не U-образное). Смотрите Выдерживают сравнение Логарифмически нормальный и Распределение Шума pdfs.

Ссылки

[1] Abramowitz, Милтон, и Ирен А. Стегун, руководство редакторов Математических функций: С Формулами, Графиками и Математическими Таблицами. 9. Дуврская печать.; [Nachdr. der Ausg. von 1972]. Дуврские Книги по Математике. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Дувр Publ, 2013.

[2] Эванс, M., Н. Гастингс и Б. Пикок. Статистические Распределения. 2-й редактор, Хобокен, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 1993.

[3] Беззаконный, J. F. Статистические модели и методы для пожизненных данных. Хобокен, NJ: Wiley-межнаука, 1982.

[4] Marsaglia, G. и В. В. Цанг. “Быстрый, Легко Реализованный метод для Выборки от Уменьшения или Симметричных Одномодовых Функций плотности”. SIAM Journal на Научном и Статистическом Вычислении. Издание 5, Номер 2, 1984, стр 349–359.

[5] Более кроткий, W. Q. и Л. А. Эскобар. Статистические методы для данных о надежности. Хобокен, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 1998.

[6] Настроение, утра, Ф. А. Грейбилл и Д. К. Боес. Введение в Теорию Статистики. 3-й редактор, Нью-Йорк: McGraw-Hill, 1974. стр 540–541.

Документация