Найдите MLEs набора данных с цензурированием при помощи normfit, и затем найдите отрицательную логарифмическую правдоподобность MLEs при помощи normlike.

Загрузите выборочные данные.

load lightbulb

Первый столбец данных содержит время жизни (в часах) двух типов ламп. Второй столбец содержит бинарную переменную, указывающую, флуоресцентна ли лампа или накалена. 1 указывает, что лампа флуоресцентна, и 0 указывает, что лампа является лампой накаливания. Третий столбец содержит информацию о цензуре, где 0 указывает, что лампа наблюдается, пока отказ, и 1 не указывает, что элемент (лампа) подвергается цензуре.

Найдите индексы для флуоресцентных ламп.

idx = find(lightbulb(:,2) == 0);

Найдите MLEs параметров нормального распределения. Второй входной параметр normfit задает доверительный уровень. Передайте в [] использовать его значение по умолчанию 0.05. Третий входной параметр указывает информацию цензуры.

censoring = lightbulb(idx,3) == 1;
[muHat,sigmaHat] = normfit(lightbulb(idx,1),[],censoring)

muHat = 9.4966e+03

sigmaHat = 3.0640e+03

Найдите отрицательную логарифмическую правдоподобность MLEs.

nlogL = normlike([muHat,sigmaHat],lightbulb(idx,1),censoring)

nlogL = 376.2305

Функциональный normfit находит демонстрационное среднее значение и квадратный корень из несмещенного средства оценки отклонения без цензурирования. Демонстрационное среднее значение равно MLE среднего параметра, но квадратный корень из несмещенного средства оценки отклонения не равен MLE параметра стандартного отклонения.

Найдите параметры нормального распределения при помощи normfit, преобразуйте их в MLEs, и затем сравните отрицательные логарифмические вероятности оценок при помощи normlike.

Сгенерируйте 100 нормальных случайных чисел от стандартного нормального распределения.

rng('default') % For reproducibility
n = 100;
x = normrnd(0,1,[n,1]);

Найдите демонстрационное среднее значение и квадратный корень из несмещенного средства оценки отклонения.

[muHat,sigmaHat] = normfit(x)

muHat = 0.1231

sigmaHat = 1.1624

Преобразуйте квадратный корень из несмещенного средства оценки отклонения в MLE параметра стандартного отклонения.

sigmaHat_MLE = sqrt((n-1)/n)*sigmaHat

sigmaHat_MLE = 1.1566

Различие между sigmaHat и sigmaHat_MLE незначительно для большого n.

В качестве альтернативы можно найти MLEs при помощи функционального mle.

phat = mle(x)

phat = 1×2

    0.1231    1.1566

phat(1) и phat(2) MLEs среднего значения и параметра стандартного отклонения, соответственно.

Подтвердите что логарифмическая вероятность MLEs (muHat и sigmaHat_MLE) больше логарифмической вероятности несмещенных средств оценки (muHat и sigmaHat) при помощи normlike функция.

logL = -normlike([muHat,sigmaHat],x)

logL = -156.4424

logL_MLE = -normlike([muHat,sigmaHat_MLE],x)

logL_MLE = -156.4399

Найдите оценки наибольшего правдоподобия (MLEs) параметров нормального распределения, и затем найдите доверительный интервал соответствующей инверсии cdf значением.

Сгенерируйте 1 000 нормальных случайных чисел от нормального распределения со средним значением 5 и стандартное отклонение 2.

rng('default') % For reproducibility
n = 1000; % Number of samples
x = normrnd(5,2,[n,1]);

Найдите MLEs для параметров распределения (среднее и стандартное отклонение) при помощи mle.

phat = mle(x)

phat = 1×2

    4.9347    1.9969

muHat = phat(1);
sigmaHat = phat(2);

Оцените ковариацию параметров распределения при помощи normlike. Функциональный normlike возвращает приближение в асимптотическую ковариационную матрицу, если вы передаете MLEs, и выборки раньше оценивали MLEs.

[~,pCov] = normlike([muHat,sigmaHat],x)

pCov = 2×2

    0.0040   -0.0000
   -0.0000    0.0020

Найдите инверсию cdf значением в 0,5 и его 99%-й доверительный интервал.

[x,xLo,xUp] = norminv(0.5,muHat,sigmaHat,pCov,0.01)

x = 4.9347

xLo = 4.7721

xUp = 5.0974

x инверсия cdf значение с помощью нормального распределения параметрами muHat и sigmaHat. Интервал [xLo,xUp] 99%-й доверительный интервал инверсии cdf значение, оцененное в 0,5, рассматривая неопределенность в muHat и sigmaHat использование pCov. 99% доверительного интервала означают вероятность что [xLo,xUp] содержит истинную инверсию cdf, значение 0.99.